Devoir maison Cette activité a pour but de vous faire découvrir les fonctions sinus et tangente comme vous avez pu découvrir le cosinus l’année dernière. Elle est constituée de deux parties : révision de la trigonométrie de 4ème, et découverte de nouvelles formules dans la deuxième. Les démonstrations que vous aurez à faire sont bâties sur le même modèle que celle de la première partie. Première partie : révisions Le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse. Si l’on considère l’angle ABC , le côté qui lui fait face ,[AC], est appelé côté opposé, et le dernier, [AB], est appelé côté adjacent En quatrième on montre que dans tout triangle rectangle, le cosinus de n’importe lequel des deux mesure du coté adjacent adjacent angles aigu est égal à que l’on note plus rapidement mesure de l'hypoténuse hypoténuse AB Sur la figure ça donnerait cosinus ( ABC )= BC Démonstration de 4ème On dessine un triangle rectangle sans avec les angles aigus quelconques. On l’appelle ABC, il est rectangle en A, si on prolonge (AB) et (BC) et que le l’on place A’ sur (AB), et que l’on appelle C’ l’intersection de (BC) et de la perpendiculaire à (BA) en A. on obtient la figure si contre. En fait n’importe quel triangle ayant les mêmes angles peut être obtenus en faisant glisser [A’C’] le long de (AB). C BC ' AB BC A BA ' donc d'après le théorème de Thalès On a : A ' B BC ' ( AC ) //( A ' C ') Je multiplie les deux membres par : A'B et j’ai ainsi : BC AB A ' B BC A ' B A ' B BC BC ' BC AB A ' B BC BC ' Donc pour tous les triangles ayant les mêmes angles on aura le rapport du côté adjacent par l’hypoténuse qui aura la même valeur. Ce rapport a un nom, dans notre cas on l’appelle cosinus de l’angle ABC , noté cos ( ABC ). Seconde partie : à vous de démontrer I 1) 2) 3) Dessiner deux triangles (de bonne taille) MNO rectangles en O, et dont l’angle OMN mesure 30°. Mesurez les côtés de chaque triangle, puis calculez dans chaque cas les quotients NO NO suivants : et . MO MN Comparez les valeurs trouvées dans les deux cas, que remarquez vous ? (ayez en tête que vos mesures ne sont pas parfaites ce qui induit de petites variations dans les quotients). II 1) 2) 3) Sur le premier triangle que vous avez dessiné au I.1, placer un point O’ sur [MO], puis tracez la perpendiculaire à [MO] passant par O’, elle coupera [MN] en N’. N ' O ' MN ' MO ' O ' N ' A l’aide du théorème de Thalès prouvez que et que NO MN MO ON A la manière de ce qui est présenté dans la première parte déduire de la première égalité NO N 'O ' NO N ' O ' de la question précédente que = et de la seconde que = (vous MN MN ' MO MO ' pouvez aussi utiliser vos connaissance en équation ou encore le produit en croix, si la méthode de la première partie vous semble obscure) Conclusion peut importe les dimensions du triangles MNO rectangle en O, du moment que NO NO l’angle OMN mesure 30°. Les quotients et auront là même valeur (chacun la leur). MO MN III 1) tapez sin(30) à la calculatrice et comparez la valeur obtenue lorsque vous avez effectué NO dans le I.2, puis effectuer tan (30) à l’aide de votre calculatrice, et comparez la MN NO valeur obtenue et le résultat de MO ce qui est valable quand OMN = 30°, l’est aussi quand il prend d’autres valeurs, on se retrouvera encore avec des quotient de même valeur en changeant les dimensions du triangle, du moment que les angles demeure inchangé. 2) déduisez une formule liant le sinus d’un angle et les mesures des côtés adjacent, opposé et de l’hypoténuse, faite de même pour la tangente d’un angle (pour le cosinus on a la formule adjacent suivante : cos(W ) ) hypoténuse