Activité / devoir maison

Devoir maison
Cette activité a pour but de vous faire découvrir les fonctions sinus et tangente comme vous
avez pu découvrir le cosinus l’année dernière. Elle est constituée de deux parties : révision de la
trigonométrie de 4ème, et découverte de nouvelles formules dans la deuxième. Les démonstrations que
vous aurez à faire sont bâties sur le même modèle que celle de la première partie.
Première partie : révisions
Le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse.
Si l’on considère l’angle
ABC
,
le côté qui lui fait face ,[AC], est appelé côté opposé,
et le dernier, [AB], est appelé côté adjacent
En quatrième on montre que dans tout triangle rectangle, le cosinus de n’importe lequel des deux
angles aigu est égal à
mesure du coté adjacent
mesure de l'hypoténuse
que l’on note plus rapidement
adjacent
hypoténuse
Sur la figure ça donnerait cosinus (
ABC
)=
AB
BC
Démonstration de 4ème On dessine un triangle rectangle sans avec les angles aigus quelconques. On
l’appelle ABC, il est rectangle en A, si on prolonge (AB) et (BC) et que le
l’on place A’ sur (AB), et que l’on appelle C’ l’intersection de (BC) et de la
perpendiculaire à (BA) en A. on obtient la figure si contre.
En fait n’importe quel triangle ayant les mêmes angles peut être obtenus en faisant glisser
[A’C’] le long de (AB).
'
' d'après le théorème de Thalès
( )//( ' ')
C BC
A BA donc
AC A C
On a :
''
AB BC
A B BC
Je multiplie les deux membres par :
'AB
BC
et j’ai ainsi :
''
''
AB A B BC A B
A B BC BC BC
'' AB A B
BC BC
Donc pour tous les triangles ayant les mêmes angles on aura le rapport du côté adjacent par
l’hypoténuse qui aura la même valeur. Ce rapport a un nom, dans notre cas on l’appelle cosinus de
l’angle
ABC
, noté cos (
ABC
).

Seconde partie : à vous de démontrer
I
1) Dessiner deux triangles (de bonne taille) MNO rectangles en O, et dont l’angle
OMN
mesure 30°.
2) Mesurez les côtés de chaque triangle, puis calculez dans chaque cas les quotients
suivants :
NO
MO
et
NO
MN
.
3) Comparez les valeurs trouvées dans les deux cas, que remarquez vous ? (ayez en tête que
vos mesures ne sont pas parfaites ce qui induit de petites variations dans les quotients).
II 1) Sur le premier triangle que vous avez dessiné au I.1, placer un point O’ sur [MO], puis
tracez la perpendiculaire à [MO] passant par O’, elle coupera [MN] en N’.
2) A l’aide du théorème de Thalès prouvez que
' ' 'N O MN
NO MN
et que
' ' 'MO O N
MO ON
3) A la manière de ce qui est présenté dans la première parte déduire de la première égalité
de la question précédente que
NO
MN
=
''
'
NO
MN
et de la seconde que
NO
MO
=
''
'
NO
MO
(vous
pouvez aussi utiliser vos connaissance en équation ou encore le produit en croix, si la
méthode de la première partie vous semble obscure)
Conclusion peut importe les dimensions du triangles MNO rectangle en O, du moment que
l’angle
OMN
mesure 30°. Les quotients
NO
MO
et
NO
MN
auront là même valeur (chacun la leur).
III 1) tapez sin(30) à la calculatrice et comparez la valeur obtenue lorsque vous avez effectué
NO
MN
dans le I.2, puis effectuer tan (30) à l’aide de votre calculatrice, et comparez la
valeur obtenue et le résultat de
NO
MO
ce qui est valable quand
OMN
= 30°, l’est aussi quand il prend d’autres valeurs, on se retrouvera
encore avec des quotient de même valeur en changeant les dimensions du triangle, du moment que
les angles demeure inchangé.
2) déduisez une formule liant le sinus d’un angle et les mesures
des côtés adjacent, opposé et de l’hypoténuse, faite de même
pour la tangente d’un angle (pour le cosinus on a la formule
suivante :
cos( ) adjacent Whypoténuse
)