Activité / devoir maison

Devoir maison
Seconde partie : à vous de démontrer
I
2) Mesurez les côtés de chaque triangle, puis calculez
dans chaque cas les quotients suivants :
NO
MO
0,576
et
0,499
NO
MN
3) quand vous comparez, les rapports obtenus
pour les deux triangles vous devez trouver à peut prés les
mêmes valeurs
II 1) Sur le premier triangle que vous avez dessiné au I.1, placer un
point O’ sur [MO], puis tracez la perpendiculaire à [MO]
passant par O’, elle coupera [MN] en N’.
2) A l’aide du théorème de Thalès prouvez que
' ' 'N O MN
NO MN
et que
' ' 'MO O N
MO ON
Dans le triangle OMN,
N' [MN]
O' [MO] d'après le théorème de Thalès
(ON) // (O'N')
donc
on a
' ' ' 'MO MN N O
MO MN NO
donc :
' ' 'N O MN
NO MN
et
' ' 'MO O N
MO ON
.
3) A la manière de ce qui est présenté dans la première parte déduire de la première égalité de
la question précédente que
NO
MO
=
''
'
NO
MO
et de la seconde que
NO
MN
=
''
'
NO
MN
(vous pouvez aussi
utiliser vos connaissance en équation ou encore le produit en croix, si la méthode de la première
partie vous semble obscure)
Version rapide :
' ' 'MO O N
MO ON
avec le produit en croix, on obtient MO’×ON = MO × O’N’
en divisant les deux membres par MO×MO’ on obtient :
NO
MO
=
''
'
NO
MO
.
Version lente :
On a :
' ' 'N O MN
NO MN
et on veut montrer que
''
'
NO
MN
=
NO
MN
, donc on regarde le membre de gauche,
on se rend compte que ne numérateur est le même que celui de l’objectif mais pas le dénominateur,
donc je vais me débarrasser du dénominateur NO (c'est-à-dire que je vais multiplier ma fraction par
NO) qui me gène et je vais le remplacer par MN’ (c'est-à-dire que je vais diviser ma fraction par

MN’). Multiplier par NO puis Diviser par MN’ revient à multiplier par
'
NO
MN
, mais je ne dois pas
oublier que si je multiplie un membre par un nombre, je dois multiplier aussi l’autre membre par le
même nombre pour équilibrer.
' ' 'N O MN
NO MN
' ' '
''
N O NO MN NO
NO MN MN MN
' ' '
''
N O NO MN NO
NO MN MN MN
''
'
NO
MN
=
NO
MN
Conclusion : peut importe les dimensions du triangles MNO rectangle en O, du moment que
l’angle
OMN
mesure 30°. Les quotients
NO
MO
et
NO
MN
auront là même valeur (chacun la leur).
III 1) tapez sin(30) à la calculatrice et comparez la valeur obtenue lorsque vous avez effectué
NO
MO
dans le I.2, puis effectuer tan (30) à l’aide de votre calculatrice, et comparez la
valeur obtenue et le résultat de
NO
MN
En tapant tan (30) j’obtient 0,57735026919… ce qui est proche du 0,576 trouvé à la première
question lorsque j’ai effectué
NO
MO
, toujours avec la calculatrice sin(30) = 0.5 (là ça tombe juste)
ce qui est très proche du 0,499 valeur approchée de
NO
MN
.
ce qui est valable quand
OMN
= 30°, l’est aussi quand il prend d’autres valeurs, on se
retrouvera encore avec des quotient de même valeur en changeant les dimensions du triangle, du
moment que les angles demeure inchangé.
2) déduisez une formule liant le sinus d’un angle et les mesures
des côtés adjacent, opposé et de l’hypoténuse, faite de même
pour la tangente d’un angle (pour le cosinus on a la formule
suivante :
cos( ) adjacent Whypoténuse
)
sin( ) opposé Whypoténuse
tan( ) opposé Wadjacent