6ème -juin-14 – Chap.n°20–Sym.ax.,p.II:Médiatrices,bissectrices

6ème -avr.-17 – Chap.n°20–Sym.ax.,p.II:Médiatrices,bissectrices - 1
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Chapitre n°20 : Symétrie axiale – Médiatrices, bissectrices
Liste des objectifs :
5ème : [Abordable en 6ème] savoir quelle droite particulière est l’axe de symétrie d’un segment et
savoir la construire.
b. 5ème : [Abordable en 6ème] connaître et utiliser la caractérisation de la médiatrice par
l’équidistance des points.
a.
c.
5ème : [Abordable en 6ème] savoir quelle droite particulière est l’axe de symétrie d’un angle et
savoir la construire.
d. 5ème : [Abordable en 6ème] savoir construire ou compléter une figure symétrique d’une figure
donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l’aide du rapporteur.
Exercice n°1 – EXERCICE DIAGNOSTIQUE – à montrer au professeur
Cet exercice est UN EXERCICE DIAGNOSTIQUE :
- Il faut essayer de le faire UNE SEULE FOIS.
- Il faut ensuite essayer de compléter le cours qui suit.
- Si tu as UNE erreur ou plus, ou si tu NE SAIS PAS REPONDRE, passe
A L’EXERCICE QUI SUIT.
- Si tu as TOUT JUSTE (vérifie-le en regardant les solutions à la fin du
document) et si le COURS EST JUSTE aussi (fais le vérifier par le
professeur), va DIRECTEMENT à l’exercice n°7
- ATTENTION : tu peux quand même avoir une interrogation sur le
cours.
1. Construire à l’aide du compas les médiatrices des segments suivants :
K
N
M
L
2. Compléter : « Si un point est sur la médiatrice d’un segment, il est à é……………………..
d……………………………. des extrémités du segment. »
3. Compléter : « Si un point est à é…………………….. d…………………………………….. des extrémités
du segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment ».
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Exercice n°2 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR
COMPLETER LE COURS - (à montrer obligatoirement au professeur)
ABC est un triangle isocèle en A. On a AB=9,2 cm BC=5,7 cm.
1. Le construire ci-dessous (en utilisant un compas) :
2. On veut construire précisément son ou ses axes de symétrie.
a. Combien en a-t-il ?......
b. Comment doit être l’axe de symétrie du côté [BC] par rapport à
[BC] (deux conditions) ? Condition n°1 :
……………………………………………………………………………………………….
Condition n°2 :
……………………………………………………………………………………………….
c. A l’aide de l’équerre uniquement, construire l’axe de
symétrie de ce triangle.
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Exercice n°3 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR
COMPLETER LE COURS - (à montrer obligatoirement au professeur)
Définition à connaître :
La médiatrice d’un segment est l’axe de symétrie de ce segment.
En utilisant les deux conditions découvertes à l’exercice précédent,
construire les médiatrices (c'est-à-dire les axes de symétrie) des
segments ci-dessous à l’aide de l’équerre et de la règle graduée ou du
compas :
E
B
C
D
G
G
H
H
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Cours n°1--------------------------------------------Cours à
compléter,
à
montrer
au professeur :
Chapitre n°20 : Symétrie axiale – Médiatrices et bissectrices
I)
Médiatrice d’un segment
Définition n°1 :
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
La médiatrice d’un segment est l’……………………………………………………………… de ce
segment
Propriété n°1
La médiatrice d’un segment passe par …………………………………………… de ce
segment et est …………………………… à ce segment.
Fin du Cours n°1--------------------------------------Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
Coller l’accordéon, plié, dans votre cahier de cours (attention : le professeur peut vous
demander de montrer ce travail)
Recopier le cours dans le cahier de cours (à la maison ! ) – Pensez à changer
de page (Nouveau chapitre)
Exercice n°4 – INTRODUCTION DU COURS N°2 – INDISPENSABLE POUR
COMPLETER LE COURS
1. Complétez la figure ci-dessous à l’aide du compas et de la règle sans
se servir des graduations : vous devez construire au moins cinq
triangles isocèles dont la base est
toujours [MN].
N
M
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2. Que remarquez-vous ?
« les points sont a……………………………et la droite formée par ces points
- est p ……………………………………… à …………………………….
- passe par le m…………………………… de ………………………………..
3. En déduire ce qu’est la droite qui passe par tous ces sommets
principaux.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………….
4. Que peut-on dire de la distance des points construits par rapport aux
extrémités du segment MN ?
………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………
5. Complétez : « Si un point est à é………………………… d……………..………………… des
extrémités d’un segment, alors il est sur la ………………………………… de ce
segment.
6. Placez maintenant un point sur cette droite, et mesurez les distances
qui séparent ce point de M et N. Que semble-t-il se passer?
…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….
7. Complétez : « Si un point est sur la ……………………………………………………. De
ce segment, alors il est à ………………………………… ……………………………………… des
extrémités de ce segment. »
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Exercice n°5 – INTRODUCTION DU COURS N°2 – INDISPENSABLE POUR
COMPLETER LE COURS
En utilisant la règle et le compas, sans les graduations, sans l’équerre
et sans mesurer, construire l’axe de symétrie du segment [AB] cidessous :
A
B
Cours n°2--------------------------------------------Cours à
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
SF
compléter,
à
montrer
au professeur :
Propriété n°2
Si un point est à égale ………………….. des extrémités d’un segment, alors il
est sur la ………………………………. de ce segment.
Méthode n°1
Conséquence : comment construire la médiatrice d’un segment :
1. Avec le ………………………….., tracer deux cercles de centre les extrémités
du segment et de même rayon (plus grand que la moitié du segment).
2. Ces deux cercles se coupent en deux points. Tracer la droite qui passe
par ces deux points.
N
Construire la médiatrice de
[MN]
M
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S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
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Propriété n°3
Si un point est sur la …………………………………………………… de ce segment, alors il
est à ………………………………… ……………………………………… des extrémités de ce
SUITE PAGE SUIVANTE
segment
Fin du Cours n°2--------------------------------------Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
Coller l’accordéon, plié, dans votre cahier de cours (attention : le professeur peut vous
demander de montrer ce travail)
Recopier le cours dans le cahier de cours (à la maison ! )
Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier
de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Construire la médiatrice de
N
[MN]
SF
M
Exercice n°6 (à montrer obligatoirement au professeur)
Construire les médiatrices des segments ci-dessous, à l’aide cette fois
du compas et de la règle non graduée : K
J
L
I
O
N
M
P
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Exercice n°7 (attention : deux questions par figure)
Pour chacun des polygones suivants, construire :
a. En traits pleins, les médiatrices de tous les côtés.
b. Quand il y en a, en pointillés, les axes de symétries des
polygones.
Triangle rectangle
Rectangle
Triangle
isocèle
Losange
Exercice n°8 (suite de l’exercice précédent)
Dans l’exercice précédent :
1. Quels polygones ont :
a. 0 axe de symétrie ?
…………………………………………………………………………………………..
b. 1 axe de symétrie ?
…………………………………………………………………………………………..
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c. 2 axes de symétries ?
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
2. Dans quels polygones le(s) axe(s) de symétrie sont confondus avec des
médiatrices des côtés ?
……………………………………………………………………………………………………
Exercice n°9 – EXERCICE DIAGNOSTIQUE
Cet exercice est UN EXERCICE DIAGNOSTIQUE :
- Il faut essayer de le faire UNE SEULE FOIS.
- Il faut ensuite essayer de compléter le cours qui suit.
- Si tu as UNE erreur ou plus, ou si tu NE SAIS PAS REPONDRE, passe
A L’EXERCICE QUI SUIT.
- Si tu as TOUT JUSTE (vérifie-le en regardant les solutions à la fin du
document) et si le COURS EST JUSTE aussi (fais le vérifier par le
professeur), va DIRECTEMENT à l’exercice n°13
- ATTENTION : tu peux quand même avoir une interrogation sur le
cours.
Construire les bissectrices des angles suivants :
A
L
O
U
Z
X
A
H
R
C
O
S
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Exercice n°10 – INTRODUCTION AU COURS N°3 – INDISPENSABLE
POUR COMPLETER LE COURS.
Rappel (ou définition à connaître) :
La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.
1. Construire, en utilisant le compas et la règle, un losange, puis les
diagonales de ce losange (ce sont les droites qui passent par deux
sommets opposés du losange – il y en a deux). Rappel : un losange est un
quadrilatère qui a 4 côtés égaux.
2. Complétez : On constate (voir exercice précédent ) que dans un
losange, les bis………………………… des angles (c'est-à-dire les axes de
symétrie des angles) sont les diag………………………….. du losange
(c'est-à-dire les segments qui joignent deux sommets opposés).
3. Dans chacune des figures ci-dessous :
a. Complétez la figure de façon que le quadrilatère obtenu soit
un losange, en utilisant le compas (puisque les côtés sont tous
égaux).
b. Tracez les bissectrices des angles. G
G
B
A
J
GJKL est un losange.
C
ACBD
est un
losange
C
Figure 1
Figure 3
GCEF est un losange.
Figure 2
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Cours n°3--------------------------------------------Cours à compléter, à montrer au professeur :
II) Bissectrice d’un angle.
Définition n°2
SF
SF
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
La bissectrice d’un angle est l’………………………………………………. de cet angle.
Propriété n°3
Les ………………………… d’un losange sont les ……………………………… de ses angles.
Méthode n°2
Conséquence : comment construire la bissectrice d’un angle :
1. Construire un cercle de centre le sommet de l’angle et de rayon quelconque.
2. Ce cercle coupe les côtés de l’angle en deux points
A et B.
3. Construire deux cercles de même ………………. et de ………………….
A puis B.
4. Ces deux cercles se recoupent en un point C.
5. Tracer la droite qui passe par ce point …………… et le sommet de l’angle.
U
X
Construire la bissectrice de
;UXO
O
Fin du Cours n°3--------------------------------------Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
Coller l’accordéon, plié, dans votre cahier de cours (attention : le professeur peut vous
demander de montrer ce travail)
Recopier le cours dans le cahier de cours (à la maison ! )
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Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier
de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Construire la bissectrice de
;UXO
U
X
O
Exercice n°11
Dans chacune des figures ci-dessous :
a. Complétez la figure de façon que le quadrilatère obtenu soit un
losange.
b. Tracez les bissectrices des angles.
C
C
G
L
M
N
LCBD est un losange.
GCKL est un losange.
Figure 3
PMNO est un
losange.
Figure 1
Figure 2
Exercice n°12
En s’inspirant des exercices précédents, construire les bissectrices des
angles suivants :
A
O
E
C
R
G
T
M
H
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Exercice
1.
2.
3.
4.
n°13
Construire le triangle OLK tel que OL=6 cm, OK=8 cm et LK=5cm.
Construire les trois médiatrices de ce triangle.
On nomme V l’intersection des médiatrices. Le placer.
V est sur la médiatrice de [OL]. Que peut-on donc dire concernant les
longueurs OV et VL ? Justifier.
5. V est aussi sur la médiatrice de [KL]. Que peut-on en déduire pour OV,
VL et VK ?
6. Construire le cercle de centre V et de rayon [VO].
7. Que remarque-t-on ? (on ne demande pas de justifier).
Exercice
1.
2.
3.
4.
5.
n°14
Construire le triangle JHG tel que JH=9 cm, HG=7 cm et JG=4cm.
Construire les trois bissectrices de ce triangle. Elles se coupent en O.
Tracer la perpendiculaire à (JH) passant par O. Elle coupe (JH) en P.
Construire le cercle de centre O et de rayon [OP].
Que remarque-t-on ? (on ne demande pas de justifier).
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Résultats
Ex.1 : 1.
K
N
M
L
2. Si tu ne sais pas, fais les exercices n°2 et suivants.
3. Si tu ne sais pas, fais les exercices n°2 et suivants.
Ex.2 :1.
2. a.1 b. p…+mi…Ex.3 :
A
E
B
C
C
B
D
Ex.3 :
G
J
G
I
H
H
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Ex.4 :1.
1.
N
M
2. Dans le désordre : « le milieu », « [MN] », « alignés », « [MN] », « perpendiculaire »
3. Médiatrice
4. A égale dis……………………. 5. « égale distance », « médiatrice ». 6. Egales
7. Médiatrice, égale distance.
Ex.5 :
A
B
6ème -avr.-17 – Chap.n°20–Sym.ax.,p.II:Médiatrices,bissectrices - 17
Ex.6 :
/ 19
K
J
I
L
Ex.7 :
Triangle rectangle
Losange
Triangle
isocèle
Rectangle
Ex.n°8 : 1.a. Triangle rectangle. 1.b. Triangle isocèle 1.c. Losange, Rectangle. 2. Rectangle 3.
Ex.9 :
A
U
X
O
O
H
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D
Ex.10 :
/ 19
G
G
B
A
J
F
GJKL est un losange.
E
C
ACBD
est un
losange
GCEF est un losange.
C
Figure 1
Figure 2
Ex.11 :
C
C
G
L
LCBD est un losange.
M
PMNO est un
losange.
Figure 1
Figure 3
N
GCKL est un losange.
Figure 3
Figure 2
T
Ex.12 :
A
O
E
M
C
R
G
H
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Ex.13 :
L
6 cm
O
5 cm
K
V
8 cm
Ex.14 :
G
7 cm
4 cm
O
H
9 cm
P
J
O
/ 19