Axes de symétrie

6ème cours : symétrie axiale
I. Points symétriques
Définition : Deux points M et M' sont symétriques par rapport à une droite (D) si :
 [MM']  (D)
 (D) coupe [MM'] en son milieu.
Construire un symétrique avec l'équerre.
Une droite (D) est donnée, et un point A est placé. Il s'agit de construire le symétrique du point A par rapport à (D); appelons-le A'.
a) Avec la règle graduée (ou le compas) et l'équerre:
 Tracer la perpendiculaire à (D) passant par A. Elle coupe (D) en H.
 Sur (AH), placer le point A' tel que
HA' = AH. (cette longueur peut être reportée avec le compas ou la règle graduée)
b) Construction avec le compas:
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Tracer un arc de cercle de centre A qui coupe (D) en M et en N.
Tracer deux arcs de même rayon, l'un de centre M, l'autre de centre N. Ils se coupent en A'
II. Figures symétriques
Deux figures sont symétriques par rapport à un axe si, en pliant suivant l’axe, les deux figures se superposent.
Exemple : Sur le dessin ci-dessous, les triangles ABC et A’B’C’ sont symétriques par rapport à la droite (d).
Lorsque deux figures sont symétriques : Dans la figure ci dessus :
les mesures de longueur sont égales AB = A’B’, par exemple
les mesures d’ angle sont égales
·
ACB
=
·
' ' 'A C B
, par exemple
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les mesures d’ aire sont égales les triangles ABC et A’B’B’ ont la même aire.
III. Axe de symétrie d’une figure :
Une droite d est un axe de symétrie d’une figure si les deux parties de la figure se superposent par pliage le long de cette droite.
IV. Médiatrice d’un segment :
Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Propriété : La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.
D’où les propriétés suivantes :
 Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
 Réciproquement, si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Construction de la médiatrice d’un segment :
On trace deux arcs de cercle, de même rayon, et de centres les extrémités du segment. Ils se coupent en deux points appartenant à la médiatrice de ce
segment.
V. Bissectrice d’un angle :
Définition : La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux angles égaux.
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Propriété : La bissectrice est l’axe de symétrie de cet angle.
Construction de la bissectrice d’un angle :
VI. Axes de symétrie et figures usuelles :
A - Triangle isocèle :
Un triangle isocèle a 1 axe de symétrie.
Cet axe passe par le sommet principal. Il est la bissectrice de son angle et la médiatrice du côté opposé.
Conséquence : Les deux angles à la base sont égaux.
B - Triangle équilatéral :
Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie. Ce sont les médiatrices des côtés et les bissectrices des angles.
Conséquence : Les trois angles sont égaux.
C - Losange :
Un losange a 2 axes de symétrie : ses diagonales.
Conséquences : Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
D - Rectangle :
Un rectangle a .... axes de symétrie : les médiatrices des côtés opposés.
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Conséquences : Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont égales.
E - Carré :
Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Il a .... axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices des côtés.
Conséquences : Ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et égales.
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