II) Topologie des espaces métriques.

Topologie
Notion de topologie générale. Topologie des espaces métriques, des espaces
vectoriels normés et des espaces préhilbertiens. ............................................ 3
I) Structure topologique. Ensembles ouverts et fermés. ........................... 3
II) Topologie des espaces métriques. ........................................................ 3
1) Topologie associée à une distance. .................................................. 3
2) Topologie associée à une norme. .................................................... 4
3) Topologie associée à un produit scalaire. ........................................ 5
III) Voisinages. ...................................................................................... 5
IV) Intérieur et adhérence. .................................................................... 6
V) Point d’accumulation. Point isolé. ....................................................... 8
VI) Comparaison de topologies ............................................................. 8
VII) Sous espaces topologiques .............................................................. 8
VIII) Espaces topologiques produits et espaces métriques produit. ........ 9
IX) Parties et applications bornées ..................................................... 10
Suites dans un espace métrique. Espace métrique complet. ....................... 11
I) Suites convergentes ............................................................................ 11
II) Suites de Cauchy ................................................................................ 12
III) Espaces complets .......................................................................... 12
Limites et continuité. ...................................................................................... 15
I) Limites. ............................................................................................... 15
II) Continuité ........................................................................................... 16
III) Continuité et continuité uniforme dans les espaces métriques. ..... 18
IV) Un théorème du point fixe. ............................................................ 19
Espaces métriques compacts ......................................................................... 21
I) Espaces métriques compacts. ............................................................. 21
II) Parties compactes d'un espace métrique ........................................... 21

Index des notions ............................................................................................ 23

Notion de topologie générale. Topologie
des espaces métriques, des espaces
vectoriels normés et des espaces
préhilbertiens.
I) Structure topologique. Ensembles
ouverts et fermés.
Def (ouvert) : Sur un ensemble E. une structure topologique (ou
topologie) est définie par la donnée d'une famille de parties de E
appelées ouverts de E vérifiant les propriétés suivantes :
1. L'ensemble E et la partie vide sont des ouverts.
2. Toute réunion d'ouverts est un ouvert.
3. Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.
Un ensemble E muni d'une topologie, définie par une famille T
d'ouverts, est appelé espace topologique, noté
TE,
(ou E quand
aucune confusion n'est à craindre quant à la topologie considérée
sur E). Ses éléments sont appelés points.
Rq : Une intersection non finie d’ouverts n’est pas toujours un
ouvert.
Def (fermé) : Soit
TE,
un espace topologique, une partie F de E
est dite fermée si son complémentaire est ouvert.
Propriétés des fermés :
- L'ensemble E et la partie vide sont fermés.
- Toute intersection de fermés est un fermé.
- Toute réunion finie de fermés est un fermé.
Rq : Une réunion non finie de fermés n’est pas toujours un fermé.
II) Topologie des espaces métriques.
1) Topologie associée à une distance.
Def (distance) : Une distance sur un ensemble E est une
application
REd 2 :
vérifiant :

xydyxdEyx ,,, 2
zydyxdzxdEzyx ,,,,, 3
yxyxdEyx  0,, 2
dE,
est dit être un espace métrique.
Def (boule) : Soit
dE,
un espace métrique,
Ea
et
*
Rr
.
rxadExraB  ,,
s'appelle boule ouverte de centre a et
de rayon r.
rxadExraB  ,,
~
s'appelle boule fermée de centre a et
de rayon r.
Rq :
B
~
pour la boule fermée n’est pas une notation universelle.
Propriété des boules :
Si
21
0rr 
alors
211 ,,
~
,raBraBraB 
.
Def et prop (ouvert de
dE,
) : Soit
dE,
un espace métrique.
On appelle ouvert de
dE,
toute partie A de E telle que tout point
de A est centre d'une boule ouverte contenue dans A. Les ouverts
ainsi définis sont ceux d'une topologie sur E, dite topologie
associée à la distance d. Les boules ouvertes sont des ouverts et
les ouverts sont exactement les réunions de boules ouvertes.
L'espace topologique ainsi défini est encore noté
dE,
.
2) Topologie associée à une norme.
Def (norme) : Une norme sur un K-espace vectoriel E (K = R ou
C) est une application de E dans
R
vérifiant :
-
xxEKx  ,
-
yxyxEyx  2 ,
-
E
xxEx 00 
,E
est dit être un espace vectoriel normé. C'est un espace
métrique pour la distance associée d définie par :
yxyxdEyx  ,, 2

3) Topologie associée à un produit
scalaire.
Def (produit scalaire) : Un produit scalaire sur un K-espace
vectoriel E (K = R ou C) est une application de
2
E
dans K qui
est : 1. linéaire par rapport à la première variable (pour
tout
Ey 
, l'application
yxx 
est linéaire)
2. symétrique dans le cas où
RK 
(pour
tout
xyyxEyx  2 ,
)
3. à symétrie hermitienne dans le cas où K = C (pour
tout
xyyxEyx  2 ,
)
4. définie positive (pour tout
00  xxx
)
,E
est dit être un espace préhilbertien.
Prop : Soit
,E
un espace préhilbertien. On a, pour
tout
2
,Eyx 
,
1.
yyxxyx 
2
(inégalité de Cauchy-Schwarz)
2.
yyxxyx 
2
si et seulement si x et y sont liés
Prop : Un espace préhilbertien
,E
est un espace vectoriel
normé pour la norme associée définie par :
xxxEx 
L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit alors
yxyx 
III) Voisinages.
Def (voisinage) : Soit
TE,
un espace topologique et
Ex 
0
. On
appelle voisinage de
0
x
toute partie de E qui contient un ouvert
contenant
0
x
.