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1
Équations différentielles linéaires
I) Équations différentielles linéaires à coefficients constants d’ordre un :
1) généralités:
Définitions :
1 - On appelle équation différentielle linéaire à coefficients constants d’ordre un ,toute équation sous
la forme :
( ):E y cy f
ou c est une constante ,
f
est une fonction définie sur un intervalle
I
et
y
est la fonction inconnue.
2 - On appelle solution de l’équation différentielle
()E
, toute fonction
y
dérivable sur l’intervalle
I
et
qui vérifie :
: ( ) ( ) ( )x I y x cy x f x
Exemple :
3
( ): 2 ( 2) x E y y x e
.
La fonction
03
: ( 1) x y x x e
est une solution de
()E
.
2) Résolution d’une équation différentielles linéaires à coefficients constants d’ordre un :
Définition: ( Equation homogène )
On appelle équation homogène associée à l’équation différentielle
()E
,l’équation différentielle :
( ): ( ) ( ) 0
H
E y x cy x
.
Exercice :
Montrer que si
1
y
et
2
y
sont deux solutions de l’équation
()
H
E
, alors pour tout
2
( , )ab
la fonction
12
ay by
est solution de
()
H
E
.
Proposition:
On considère l’équation différentielle ,
( ): 0
H
E y cy
. Alors
y
est solution de
()
H
E
si et seulement
s’il existe une constante telle que :
: ( ) cx x y x e
.
Exemples :
1
( ): 2 0E y y
;
2
( ):3 0E y y
Proposition:
On considère l’équation différentielle ,
( ):E y cy f
, alors Les solutions de
()E
sont les fonctions,
0
:cx y x y e
ou et
0
y
est une solution particulière de
()E
.
Exemple :
3
( ): 2 ( 2) x E y y x e
Proposition:
On considère l’équation différentielle ,
( ): ( )
y cy f
Ey a b
ou
2
( , )ab
, alors l’équation
()E
admet
une unique solution définie par ,
00
()
: ( ) c x a y x y b y e
.
3) Recherche d’une solution particulière de l’ équation différentielle
( ):E y cy f
:
On considère l’équation différentielle ,
( ):E y cy f
.
A)
f
est une fonction polynômiale de degré
n
:
i) Si
0c
, on cherche
0
y
sous la forme d’une fonction polynômiale de degré
1n
.
ii) Si
0c
, on cherche
0
y
sous la forme d’une fonction polynômiale de degré
n
.
Exemple :
2
( ): 3E y y x x
B)
( ) ( )
x
f x e P x
ou
()Px
est une fonction polynômiale de degré
n
:
On cherche
0
y
sous la forme :
0()
x
y e Q x
ou
Q
est une fonction polynômiale telle que :

2
i) Si
0c
, alors
deg( ) deg( ) 1QP
.
ii) Si
0c
, alors
deg( ) deg( )QP
.
Exemples :
1
( ): x E y y e
;
2
22
( ): 3 ( 1) x E y y x e
C)
( ) cos( )f x k x
ou
3
( , , )k
:
On cherche
0
y
sous la forme :
0cos( ) sin( )y a x b x
ou
2
( , )ab
.
Exemple :
( ): 3 2cos(2 )E y y x
II) Équations différentielles linéaires à coefficients constants d’ordre deux:
1) généralités:
Définitions :
1 - On appelle équation différentielle linéaire d’ordre deux à coefficients constants ,toute équation sous
la forme :
( ):E y ay by f
ou
et eb
sont des constantes ,
f
est une fonction définie sur un
intervalle
I
et
y
est la fonction inconnue.
2 - On appelle solution de l’équation différentielle
()E
, toute fonction
g
deux fois dérivable sur
l’intervalle
I
et qui vérifie :
: ( ) ( ) ( ) ( )x I g x ag x bg x f x
Exemple :
( ): x E y y e
.
La fonction
03
:x y x xe
est une solution de
()E
.
2) Résolution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants d’ordre deux :
Définition: ( Équation homogène )
On appelle équation homogène associée à l’équation différentielle
()E
, l’équation différentielle :
( ): 0
H
E y ay by
.
Exercice :
Montrer que si
1
y
et
2
y
sont deux solutions de l’équation
()
H
E
, alors pour tout
2
( , )
la fonction
12
yy
est solution de
()
H
E
.
Définition:
On considère l’équation différentielle ,
( ): 0
H
E y ay by
.
L’équation
2
( ): 0
C
E r ar b  
, s’appelle l’équation caractéristique de l’équation
()
H
E
.
Proposition: ( Résolution de l’équation homogène )
On considère l’équation différentielle ,
( ): 0
H
E y ay by
, son équation caractéristique
2
( ): 0
C
E r ar b  
, de discriminant
24ab  
.
i) Si
0
, l’équation
()
C
E
admet deux racines réelles distinctes
12
et rr
et l’ensembles des solutions de
l’équation
()
H
E
sont les fonctions :
12
:rrxx y x ae be
ou
2
( , )ab
.
ii) Si
0
, l’équation
()
C
E
admet une racine double réelle
2
a
r
et l’ensemble des solutions de
l’équation
()
H
E
sont les fonctions :
: ( ) rx y x ax b e
ou
2
( , )ab
.
iii) Si
0
, l’équation
()
C
E
admet deux racines complexes conjuguées
1
r p iq
;
2
r p iq
et
l’ensembles des solutions de l’équation
()
H
E
sont les fonctions :
: cos( ) sin( )
px
y x e a qx b qx
ou
2
( , )ab
.
Exemples :
1
( ): 2 0E y y y
;
2
( ):4 0E y y y
;
3
( ): 4 13 0E y y y
Théorème: ( Résolution de l’équation complète )
On considère l’équation différentielle ,
( ):E y ay by f
, d’équation homogène

3
( ): ( ) ( ) 0
H
E y ay x by x
. Soit
0
y
une solution particulière de
()E
et
1
y
la solution générale de
()
H
E
,
alors la solution générale de
()E
sont les fonctions :
01
: ( ) ( )y x y x y x
.
Exemples :
( ): 4 3 x E y y e
Vérifier que ;
1:x
y x e
est solution de
()E
puis résoudre
()E
.
2) Recherche d’une solution particulière de l’ équation
( ):E y ay by f
:
On considère l’équation différentielle ,
( ):E y ay by f
.
A)
f
est fonction polynômiale de degré
n
:
i) Si
0b
, on cherche
0
y
sous la forme d’une fonction polynômiale de degré
n
.
ii) Si
0 et 0ba
, on cherche
0
y
sous la forme d’une fonction polynômiale de degré
1n
.
iii) Si
0ab
, on cherche
0
y
sous la forme d’une fonction polynômiale de degré
2n
.
Exemple :
1
( ): 4 1E y y x
2
( ): 5 2E y y x
B)
( ) ( )
x
f x e P x
ou
()Px
est une fonction polynômiale de degré
n
:
On pose :
2
( ): 0
C
E r ar b  
On cherche
0
y
sous la forme :
0()
x
y e Q x
ou
Q
est une fonction
polynômiale telle que :
i) Si n’est pas racine de
()
C
E
, alors
deg( ) deg( )Q P n
.
ii) Si est racine simple de
()
C
E
, alors
deg( ) deg( ) 1 1Q P n   
.
iii) Si est racine double de
()
C
E
, alors
deg( ) deg( ) 2 2Q P n   
.
Exemple :
( ): 2 x E y y y e
C)
( ) ( )cos( ) ( )sin( )f x A x x B x x
ou et
et AB
sont des polynômes:
On pose :
2
( ): 0
C
E r ar b  
On cherche
0
y
sous la forme :
0( )cos( ) ( )sin( )y P x x Q x x
ou
P
et
Q
sont des fonctions polynômiales telles que :
i) Si
i
n’est pas racine de
()
C
E
, alors
sup deg( );deg( ) sup deg( );deg( )P Q A B
.
ii) Si
i
est racine de
()
C
E
, alors
sup deg( );deg( ) sup deg( );deg( ) 1P Q A B
.
Exemple :
( ): 4 cos( )E y y x x
D)
( ) ( )cos( ) ( )sin( ) mx f x A x x B x x e
ou
2
( , )m
et
et AB
sont des polynômes :
On posant :
( ) ( ) mx y x z x e
, on se ramène au cas précédent .
Exemple :
2
( ): 9 sin(3 )
x
E y y e x
Proposition: ( Superposition des solutions particulières )
On considère l’équation différentielle ,
12
( ):E y cy f f
ou
12
( ):E y ay by f f
.
Soit
1
y
une solution particulière de
11
( ):E y cy f
et
2
y
une solution particulière
de
22
( ):E y cy f
.Alors la fonction
12
yy
est une solution particulière de
12
( ):E y cy f f
.
Exemple :
2
( ): 2 2 x E y y x e
III) Équations différentielles linéaires d’ordre un (Cas général) :
1)Définitions :
1 - On appelle équation différentielle linéaire d’ordre un toute équation sous la forme :
( ):E y cy f
ou c et
f
sont des fonctions continues sur un intervalle
I
et
y
est la fonction inconnue.
2 - On appelle solution de l’équation différentielle
()E
, toute fonction
y
dérivable sur l’intervalle
I
et
qui vérifie :
: ( ) ( ) ( ) ( )x I y x c x y x f x

4
Exemple :
2
( ): 2 (2 3) x E y xy x e
.
Proposition:
On considère l’équation différentielle ,
( ): 0E y cy
.
Soit
C
une primitive de la fonction
c
sur l’intervalle
I
. Alors l’ensemble des solutions de l’équation
sont les fonctions:
()
:Cx y x e
ou .
Exemples :
1
( ): 0 , E y xy I
;
2
( ):cos( ) sin( ) 0 , ;
22
E x y x y I
Proposition:
On considère l’équation différentielle ,
( ):E y cy f
. alors les solutions de
()E
sont les fonctions :
0()
:Cx y x y e
ou et
0
y
est une solution particulière de
()E
.
Exemple :
4
( ): 2E y y x
x
.
La fonction
2
0:y x x
est une solution particulière de
()E
puis résoudre
()E
.
2) Recherche d’une solution particulière –Méthode de variation de la constante :
On considère l’équation différentielle ,
( ):E y cy f
. Soit
0
y
la solution générale de
( ): 0
H
E y cy
.
La méthode de variation de la constante consiste à chercher une solution particulière de l’équation
()E
sous la forme :
10
; ( ) ( )y x x y x
ou est une fonction à déterminer .
Exemples :
2
12
( ): ( 1) ; 0;E y y x I
x
;
2
2
( ): tan( ) cos ( ) , ;
22
E y x y x I