fonctions polynômes

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POLYNOMES
I. Fonction polynôme
1. Fonction polynôme de degré n
Définition : On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction P définie sur  de la forme :
P(x)  an xn  an–1 xn–1  ...  a1x  a0 où
 a0, a1, ... , an sont appelés coefficients de P.
 Le terme apxp s'appelle monôme de degré p.
 n  deg(P).
Exemples et contre-exemples :
1. La fonction P définie par P(x)  7x6 – 5x4  3x – 11 est une fonction polynôme de degré 6.
2. Les fonctions affines ax  b, avec a  0, sont des fonctions polynômes de degré 1.
3. Les fonctions constantes k, avec k  0, sont des fonctions polynômes de degré 0.
4. La fonction Q définie par : Q(x)  x3  x 
Error!
n'est pas une fonction polynôme.
Propriété : Soient P et Q des fonctions polynômes non nulles, alors :
 deg(PQ) = deg P  deg Q
 deg(P  Q)  max ( deg P ; deg Q )
Remarque : l'inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s'annuler.
2. Egalité de deux polynômes
Théorème : Soit P et Q deux fonctions polynômes, P = Q signifie que :
 deg P = deg Q et
 les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux
Cas particulier : P = 0 est le polynôme nul, ce qui signifie que tous les coefficients de P sont nuls.
Exemples :
1. Les deux polynômes Q(x) =( ) x  x  ( ) x  x   et P(x) = ,x4  1 sont-ils égaux ?
2. Donner les valeurs de a, b et c pour que rx  x  x   soit égal à R(x) = ax  bx  c.
3. Racine d’un polynôme

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Définition : On appelle racine d'une fonction polynôme P toute solution x0 de l’équation P(x)  0
Exemples :
1. Trouver les racines de la fonction polynôme P définie sur  par : P(x)  (x – 1)(x + 3)(x –  )
2. Les fonctions polynômes du 1er degré ax  b (a  0) admettent toutes une seule racine x0  –
Error!
3. Certaines fonctions polynômes n'ont aucune racine réelle. Par exemple x2  1 qui est strictement positif.
Remarque : une fonction polynôme sans racine réelle est nécessairement de signe constant.
4. Factorisation
Théorème : Si une fonction polynôme P à coefficients réels de degré n a une racine réelle x0 alors on peut
factoriser P(x) par (x – ) : P(x)  (x – ) Q(x) où Q est une fonction polynôme de degré n – 1.
Remarque : On peut essayer de remplacer la variable par 1, – 1, 2 ….si la valeur du polynôme est 0, on dit qu’on a
trouvé une « racine évidente »
a. Méthode 1 : Identification des coefficients
On considère le polynôme f défini par : f(x) = 3x4 – x3 + x2 + 11x + 6.
Une solution évidente est x0 = – 1.
Donc, il existe un polynôme g de degré 3 tel que pour tout réel x :
f(x) = (x + 1)g(x)
= (x + 1)(ax3 + bx2 + cx + d)
= ax4 + (a + b)x3 + (b + c)x2 + (c + d)x + d
Comme les polynômes f et (x + 1)g(x) sont égaux, leurs coefficients le sont aussi :
3x4 – x3 + x2 + 11x + 6 = ax4 + (a + b)x3 + (b + c)x2 + (c + d)x + d
Soit { a   ;a  b   ;b c  ;c d  ;d 
ou encore : { a  ;b  ;c  ;d 
Conclusion : f(x) = (x + 1)(3x3 – 4x2 + 5x + 6)
b. Méthode 2 : Division euclidienne
On considère le polynôme f défini par : f(x) = X4  7X3  17X2  17X  6.
Une solution évidente est X0 = 1 donc, f(X) est divisible par (X – 1).
On effectue la division euclidienne de f(X) par (X – 1) en utilisant les mêmes principes que pour la division des nombres
X4  7X3  17X2  17X  6 X  1
X4  X3 X3  6X2  11X – 6

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6X3  17X2  17X  6
6X3  6X2
11X2  17X  6
11X2  11X
 6X + 6
 6X + 6
0
Conclusion : f(X)  (X  1)( X3  6X2  11X – 6)
c. Méthode 3 : Schéma de Hörner ( à utiliser comme moyen de vérification)
On considère le polynôme f défini par : f(x) = 2x4 – 5x3 + 5x2 – 7x + 2.
Une solution est x0 = 2 on peut donc écrire f(x) = (x – 2)g(x)
On consigne les coefficients dans un tableau :
2
– 5
5
7
2
Coefficients de f(x)
 2
↓
4
– 2
6
– 2
2
– 1
3
– 1
0
Coefficients de g(x)
Conclusion : f(x) = (x – 2)(2x3 – x2 + 3x – 1)
Exemples :
1. On souhaite factoriser P(x)  x3 – 7x + 6. Calculer P(2) et trouver une racine évidente. Conclure sur la factorisation.
2. Factoriser Q(x) = x5 – 2x4 – 2x3  4x2  x – 2 en trouvant des racines évidentes.
Théorème : Une fonction polynôme P de degré n à coefficients réels possède au plus n racines réelles.
II. Second degré
1. Fonction polynôme du second degré
Définition : On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P de la forme
P(x)  ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a  0.
L'expression ax2 + bx + c est encore appelée trinôme du second degré.

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Exemples :
1. P(x) = x2 – 7x + 12, on obtient : a  1 ; b  7 ; c  12.
2. P(x) = 4x2, on obtient a  4 ; b  0 ; c  0.
3. P(x) = (x + 1)(x + 2) peut s’écrire x2 + 3x + 2 et on obtient a  1 ; b  3 ; c  2.
4. 2x + 1, 6x3 + 3x2 + 4x + 2 et (x – 1)2 – x2 ne sont pas du second degré.
2. Forme canonique
Définition : Une expression de la forme a(x  )2   s’appelle la forme canonique du trinôme.
Le principe est de transformer un trinôme du second degré en utilisant les identités remarquables :
Exemple :
x2 – 8x + 7  (x – 4)2 – 16 + 7
 (x – 4)2 – 9
Dans ce cas, les racines sont alors facilement identifiables : résoudre x2 – 8x + 7  0 revient à résoudre
(x – 4)2 – 9  0
ou encore : (x – 4)2 = 9
ce qui donne S  { 1; 7}
Transformation de l’écriture ax2 + bx + c :
ax2 + bx + c = a
 a
c
x
a
b
x2
= a
a
c
a
b
a
b
x2
2
2
4
2
= a
2
2
2
4
4
2a
acb
a
b
x
Pour simplifier cette écriture, on pose   b2 – 4ac,
On a ainsi : ax2 + bx + c  a
2
2
4
2a a
b
x
3. Solutions de l’équation
Résoudre ax2 + bx + c  0 revient à résoudre l'équation :
a
2
2
4
2a a
b
x
 0 qui s’écrit encore :
2
2
a
b
x
2
4a
Dans cette dernière expression, tout est positif sauf , ce qui nous permet d'énoncer le théorème suivant :
Théorème : Soit  = b2 – 4ac le discriminant du trinôme ax2 + bx + c.

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 Si  < 0 : l’équation n’a pas de solution réelle.
 Si   0 : l’équation a une seule solution double x0  
Error!
 Si  > 0 : l’équation possède alors 2 solutions réelles : x1 
Error!
et x2 
Error!
.
Exemples :
 – 6x2 + x + 1  0 ;   25 ; x1  –
Error!
; x2 
Error!
 5x2 + 6x + 2  0 ;   – 4 ; pas de racine réelle
 x  x 
Error!
  ;  = 0 ; x0 = 
Error!
4. Factorisation du trinôme ax² + bx + c
Théorème : Soit  = b2 – 4ac, le trinôme se factorise ainsi :
 Si  < 0, on ne peut pas factoriser.
 Si   0, ax2 + bx + c  a(x – x0)² où x0 est la racine du trinôme.
 Si  > 0, ax2 + bx + c  a(x – x1)(x – x2) où x1 et x2 sont les racines du trinôme.
Exemples :
 – 6x2 + x + 1 
Error!Error!
.
 5x2 + 6x + 2 ne se factorise pas dans 
 x  x 
Error!
Error!
2.
Remarque : Si est positif, on a : ax2 + bx + c  a(x – x1)(x – x2)
a[ ] x  x  x  x x
ax  aS  aP
en notant S la somme x1 + x2 et P le produit x1  x2 , on a alors :
Error!
 et
Error!
Exemple :
 Soit l’équation 2x2 – 5x + 3  0, elle possède une racine évidente x1  1.
L’autre racine peut facilement se déterminer grâce à S ou P :
P  1  x2 
Error!
d’où x2 
Error!
ou encore : S = 1 + x2 =
Error!
d’où x2 
Error!
.
5. Signe du trinôme
Étudions le signe de (x)  ax2 + bx + c :
 Si  > 0 : avec x1 < x2 : (x) = a(x – x1)(x – x2).
Faisons un tableau de signes :
x
– x1 x2 +
x – x1
– 0 + +
x – x2
– – 0 +
(x – x1)(x – x2)
+ 0 – 0 +
(x)
signe de a 0 opposé de a 0 signe de a
 Cas   0 : on utilise la forme canonique : (x)  a
 2
2
42 aa
b
x
Comme  est négatif, l’expression entre crochets est positive, le signe de (x) est donc le même que celui de a.
Théorème : Le trinôme ax2 + bx + c est toujours du signe de a sauf entre ses racines lorsqu’elles existent.