I Equations de droites

Chap 8 : Droites et systèmes
I Equations de droites :


Le plan est muni d’un repère (O ; i , j ) orthonormal
1) Définitions
Théorème : Toute droite du plan à une équation de la forme :
 y  mx  p où m et p sont deux nombres réels, si elle est non parallèle à l’axe des ordonnées.
 x  k où k est un réel, si elle est parallèle à l’axe des ordonnées.
Rq : - toute droite du plan admet une unique équation de la forme y  mx  p et cette équation est
appelée équation réduite de la droite
- m est le coefficient directeur
- p est l’ordonnée à l’origine
Exemples :
1
y= x  1
2
x –4 2
f(x) –1 2
x2
4 y
4 y
3
3
2
2
1
-4
-3
-2
-1
1
x
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
x
0
-1
-1
-2
-2
1
2
3
4
2) Déterminer l’équation d’une droite :
a) A partir de deux points
Trouver l’équation de la droite D passant par A(-1 ;3) et B(4 ;5)

Calcul du coefficient directeur m :
y  yA
53
2
m B


x B  x A 4   1 5

Calcul de l’ordonnée à l’origine p :
On a l’équation y  mx  p
Or le point A appartient à la droite D donc ces coordonnées vérifient l’équation
on a donc y A  mxA  p (Remarque on peut aussi utiliser le point B)
2
2 17
d’où p  y A  mx A  3    1  3  
5
5 5

L’équation de D est donc :
y
2
17
x
5
5
b) A partir d’un point et d’un vecteur directeur

 2
Trouver l’équation de la droite D passant par A(-1 ;-2) et de vecteur directeur u   
1 
Soit M(x ;y) un point de la droite D
 

Les vecteurs AM et u sont colinéaires on en déduit donc que leurs coordonnées sont
proportionnelles :
 
 x  x A   x   1   x  1 
 2
  
  

u    et AM   M


y

y
y


2
y

2
1 




A
 M

On a donc (voir chapitre 4 sur les vecteurs)
2   y  2   1   x  1  0
 2y  4  x 1  0
 2y  4  x 1  0
 2y  x  3
x 3
 y 
2 2
L’équation de la droite D est donc :
x 3
y 
2 2
c) A partir de la représentation graphique
Trouver l’équation de la droite D dont la représentation graphique est :
5 y
4
3
2
+1
1
-3
-2
-1
-3
0
1
x
2
3
-1
-2
La droite coupe l’axe des ordonnée au point d’ordonnée 2. La valeur de p est donc 2
Ensuite graphiquement on constate que si le déplacement horizontal vaut +1(flèche bleue)
Alors le déplacement vertical vaut -3 (flèche verte)
La valeur de m est donc -3
L’équation de la droite D est donc :
y  3 x  2
3) Parallélisme de deux droites :
Théorème : Les droites D et D’ d’équations respectives y  mx  p et y  m' x  p' sont parallèles si et
seulement si m=m’
Remarque : Si p=p’ alors D et D’ sont confondues.
Si p  p’ alors D et D’ sont strictement parallèles.
Exemple : les droites d’équation y  3 x  4 et y  3 x  2 sont parallèles.
Soit D : y  3 x  4 et le point A(-2 ;5) Déterminer l’équation de la droite D’ parallèle à D et
passant par A.
D’ a une équation de la forme y  m' x  p'
 Calcul du coefficient directeur
D et D’ sont parallèles donc en appliquant le théorème précédent on en déduit que m'  3
L’équation de D’ est : y  3x  p'
 Calcul de l’ordonnée a l’origine
Le point A appartient à la droite D’ donc ces coordonnées vérifient l’équation
on a donc y A  3x A  p'
d’où p'  y A  3x A  5  3   2  1
 Equation de D’
D’ a pour équation : y  3x  1
II Systèmes d’équations :
1) Définition
Def : On appelle système de deux équations linéaires à deux inconnues tout système qui peut se mettre
sous la forme : { ax + by = c;a’x + b’y = c’ où a, b, c, a’, b’, c’ sont des réels donnés.
Def : Une solution d’un tel système est un couple (x ; y) tels que (x ; y) soit solution de chacune des deux
équations.
Def : Résoudre un système c’est déterminer tous les couples solutions du système.
Exemple :
{ 2x + 3y = 11;3x – 5y = 7 est un système linéaire. Le couple (4 ; 1) est une solution de ce système.
En effet 2  4  3 1  11
et 3  4  5 1  7
2) Existence et nombre de solutions
Théorème : Soit le système linéaire { ax + by = c;a’x + b’y = c’
1) Si ab'a' b  0 , alors ce système admet une unique solution.
2) Si ab'a' b  0 , alors ce système admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
Def : La quantité ab’-a’b est appelée déterminant du système.
Exemples :
 On revient sur le système de la partie 1)
{ 2x + 3y = 11;3x – 5y = 7
On calcule le déterminant de ce système : 2  (5)  3  3  19  0
Donc on en déduit, en utilisant le théorème précédent, que le système admet une unique solution.
Rq : On a vu que (4 ; 1) était une solution de ce système, on en déduit donc que cette solution est unique.
5 x  4 y  7
Soit le système : 
10 x  8 y  23
Ce système a pour déterminant 5  (8)  (4)  10  0
Donc on en déduit, en utilisant le théorème précédent, que le système admet soit aucune solution, soit une
infinité de solutions.

Voir Module partie 1
3) Interprétation graphique
Soit le système (S) { ax + by = c (1);a’x + b’y = c’ (2)
Les équations (1) et (2) du système sont les équations de deux droites (D1) et (D2) dans le repère


(O ; i , j ).
Def : Dire qu'un couple (x, y) est solution du système (S) revient donc à dire que le point M de
coordonnées (x ; y) est un point d'intersection des deux droites.
On a donc les trois cas de figure suivants :
determinant  0
determinant = 0
Les droites (D1) et (D2) sont
Les droites (D1) et (D2) sont
Les droites (D1) et (D2) sont
sécantes.
strictement parallèles.
confondues.
(D1)
(D2)
(D2)
(D1)
(D1)
(D2)
Le système (S) admet une
unique solution.
Le système (S) n'a pas de
solution.
4) Résolution d’un système
Le système (S) admet une
infinité de solutions.
a) Cas où ab'a' b  0
On est donc dans le cas où le système admet une unique solution (voir 2). On peut utiliser deux
méthodes vues en troisième pour résoudre le système : méthode par combinaisons linéaires et méthode
par substitution.
Exemple 1 : Méthode par combinaisons linéaires
Résoudre le système (S1) { 7x – 6y = 12;5x + 3y = 11
×5;×(–7)
det (S1) = 7×3 – 5×(–6) = 21 + 30 = 51  0 donc (S1) admet une solution unique.
Déterminons cette solution en multipliant les deux équations par des coefficients bien choisis qui
permettent d’« éliminer » les termes en x.
(S1) { 7x – 6y = 12;5x + 3y = 11
×5;×(–7)
(S1) équivaut à
{ 35x – 30y = 60;–35x – 21y = –77
On en déduit
–51y = –17
y = Error! =
Error!
On remplace y par sa valeur
dans l’une des équations :
1
7 x  6     12
 3
7 x  14
D’où x  2
Error!
Exemple 2 : Méthode par substitution
Résoudre le système (S2) { 2x – y = 2;6x + 5y = –6
det(S2) = 2×5 – 6×(–1) = 10 + 6 = 16  0 donc (S2) admet une solution unique.
Déterminons cette solution en exprimant y en fonction de x dans la première équation et en substituant la
valeur obtenue dans la deuxième équation.
(S2)  { y = 2x – 2;6x + 5(2x – 2) = –6  { y = 2x – 2;16x – 10 = –6  { y = 2x – 2;16x = 4
 Error!
 Error!  Error!.
Error!.
Voir Module partie 2.
b) Cas où ab'a' b  0
On est donc dans le cas où le système admet soit aucune solution : c’est le cas ou les droites sont
strictement parallèles, soit une infinité de solution : c’est le cas ou les droites sont confondues.
Pour distinguer ces deux cas il suffit de déterminer si les droites sont strictement parallèles ou
confondues.
Exemples 1 :
 2x  y  3
4 x  2 y  2
S1  
det(S1)=  2  (2)  4  1  0
On a vu dans le 3) que les systèmes sont constitués des équations de deux droites. On va donc déterminer
les équations réduites des droites de chacun de ces systèmes.
 y  2x  3
 y  2x  3
 y  2x  3

( S1 )  
 
4
2  
 2 y  4 x  2
 y  2x  1
 y   2 x   2
On en déduit donc que les deux droites du système sont strictement parallèles, donc le système n’a pas de
solution.
Exemple 2 :
4 x  2 y  10
 6 x  3 y  15
S 2  
det(S2)= 4  (3)  2  (6)  0
On a vu dans le 3) que les systèmes sont constitués des équations de deux droites. On va donc déterminer
les équations réduites des droites de chacun de ces systèmes.
4
10

y
x

2 y  4 x  10
 y  2 x  5

2
2
( S1 )  
 
 
 3 y  6 x  15
 y  2 x  5
 y  6 x  15

3
3
On en déduit donc que les deux droites du système sont confondues, donc le système a une infinité de
solution.
Voir Module partie 3