corrigé Contrôle

Université Constantine 2
Faculté des NTIC
Tronc commun «MI»
Algèbre I
Année 2015–2016
Corrigé type du contrôle
Exercice 1 (10 pts)
1. : « L’application n’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts »
(a) 12   1 2 1  2.(1 pt)
(b) La contraposée : 12   1  2  1 2.(1 pt)
(c) La négation : 12   1 2et  1   2.(1 pt)
(d) est l’injectivité. (1 pt)
2. On considère l’application de dans telle que   2 .
(a)    et   .(1 pt)
Nous avons    et     , donc n’est donc pas injective. (0,5 pt)
(b) Résolvons l’équation   .
    2     2 
Cette équation n’a pas de solution, donc  n’a pas d’antécédent dans .
(1 pt)
n’est donc pas surjective. (0,5 pt)
(c) — Injectivité : Soit 12 , alors
1  2  2
1   2 2   1 2
or 12 , ils sont de même signe, donc 1 2,est donc bien
injective. (1,5 pt)
— Surjectivité : Soit   ,
      2     
    ,a bien un antécédent et est bien surjective. (1,5 pt)
Donc est bijective.
Exercice 2 (6 pts)
1. Soit   , alors       2 2     2 2     .
Donc la loi est commutative. (1 pt)
1

2. Pour montrer que la loi n’est pas associative, il sut de trouver    tels
que           . Si nous prenons   ,   et   , alors
       2 2 
     2 2 
     2 2   
     2 2 
La loi n’est pas associative. (1 pt)
3. L’élément neutre pour est si et seulement si             .
La loi étant commutative, il sut alors de montrer que         .
Soit   , alors         2 2   .
L’élément neutre est bien .(1 pt)
4. Soit   . Comme est commutative, il sut de résoudre l’équation ′ .
′   ′ 2 ′2    
 ′ 2′2  2 ′2    
 2 ′2  ′ 2 
— Si    ou    alors l’équation devient ′ 2  donc ′ .
— Sinon l’équation est du deuxième degré et
  2 2 2  2 4 2 22 
— Si    ou    ou   , alors    et l’équation a une racine
double
′
2 
— Si   alors    et l’équation
a deux solutions
′  22 
2  ″  22  2 
— Sinon, c’est à dire si    ,   et l’équation n’a pas de
solutions. (2 pts)
On remarque que certains éléments de ont deux symétriques par rapport à .
Ceci est possible car n’est pas associative. (1 pt)
2

Exercice 3 (4 pts)
— Soit   ∗alors +
2   ∗donc .
est donc réexive. (1 pt)
— Soit   ∗tels que  alors
 ∗  ∗ 
est donc symétrique. (1 pt)
—est transitive si et seulement si   ∗  et   .
Si   ∗, alors même lorsqu’on a    premier et    premier,
 peut ne pas être premier. Pour prouver ceci cherchons un contre-exemple.
Nous avons       ∗et       ∗mais       ∗.
Donc n’est pas transitive. (2 pts)
3