ENSI de Sidi-Bel-Abbès. Cycle Préparatoire Intégré Première année

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E. N. S. I. de Sidi-Be`-Abbès.
Cycle Préparatoire Intégré
Première année Module : Algebre1
Responsables du module : A. E. K. Gheriballah, M. M echab .
Fiche de T.D.No4
2014/15
Structures Algebriques
Exercice 1. Soit ∗et ?les l.c.i. définies dans Rpar : ∀x, y ∈R,
x∗y=xy + (x2−1)(y2−1)
x?y=
x3+y3
x2+y2si (x, y)6= (0,0)
0si (x, y) = (0,0)
i) Vérifier que les lois ∗et ?sont commutatives, admettent un élément neutre chacune et qu’elles ne
sont pas associatives.
ii) Résoudre les équations suivantes 2∗x= 5 ;x∗x= 1,x?x= 1,x ? 1=0.
Réponse :
i)
i)a∗est commutative car la multiplication est commutative dans R, et ?est commutative car l’addition
est aussi commutative dans R.
i)bL’élément neutre de ∗. Soit e∈R;∗étant commutative ; alors :
eest l’élément neutre de ∗ ⇐⇒ ∀x∈R, x ∗e=x
⇐⇒ ∀x∈R, xe + (x2−1)(e2−1) = x
⇐⇒ ∀x∈R, xe + (x2−1)(e2−1) −x= 0
⇐⇒ ∀x∈R, x(e−1) + (x2−1)(e2−1) = 0
⇐⇒ ∀x∈R,(e−1)[x+ (x2−1)(e+ 1)] = 0
⇐⇒ ∀x∈R,(e= 1) ∨[x+ (x2−1)(e+ 1) = 0]
⇐⇒ e= 1
donc l’élément neutre de ∗est e= 1 .
i)cL’élément neutre de ?. Soit e∈R, alors
eest l’élément neutre de ?=⇒ ∀x∈R\{0}, x ? e =x
=⇒ ∀x∈R\{0},x3+e3
x2+e2=x
=⇒ ∀x∈R\{0}, x3+e3=x3+xe2
=⇒ ∀x∈R\{0}, e3−xe2= 0
=⇒ ∀x∈R\{0}, e2(e−x) = 0
=⇒e= 0
et il est facile alors de vérifier que e= 0 est effectivement l’élément neutre de ?.
i)d∗n’est pas associative, car pour x= 2,y= 2 et z= 0, on a :
(x∗y)∗z= (2 ∗2) ∗0 = 13 ∗0 = −168 et x ∗(y∗z)=2∗(2 ∗0) = 2 ∗(−3) = 18
donc : ∃x= 2,y= 2 et z= 0; (x∗y)∗z6=x∗(y∗z),
ce qui montre que ∗n’est pas associative.

2
i)f?n’est pas associative, car pour x=−1,y= 1 et z= 2, on a :
(x?y)?z = ((−1)?1)?2=0?2 = 2 et x?(y?z)=(−1)?(1?2) = (−1)?9
5=−1 + 9
53
1 + 9
52=604
5.106 6= 2
donc : ∃x=−1, y = 1, z = 2 ∈R; (x?y)? z 6=x ? (y ? z)
ce qui montre que ?n’est pas associative.
ii) On a :
2∗x= 5 ⇐⇒ 2x+ (4 −1)(x2−1) = 5 ⇐⇒ 3x2+ 2x−8=0⇐⇒ (x1=4
3)∨(x2=−2)
x∗x= 1 ⇐⇒ x2+ (x2−1)(x2−1) = 1 ⇐⇒ (x2−1)x2⇐⇒ (x=−1) ∨(x= 0) ∨(x= 1)
x?x= 1 ⇐⇒ x3+x3
x2+x2= 1 ⇐⇒ x= 1
x ? 1=0⇐⇒ x3+ 1
x2+ 1 = 0 ⇐⇒ x3+ 1 = 0 ⇐⇒ x=−1
Exercice 2. Etant donnée ?une l.c.i. commutative ; dans un ensemble E; telle que :
∀x, y, z ∈E, x ? (y ? z) = z ? (x?y).
Montrer que ?est associative.
Réponse : Si on suppose que :
∀x, y, z ∈E, x ? (y ? z) = z ? (x?y).
?étant commutative, alors z ? (x?y) = (x?y)? z, donc :
∀x, y, z ∈E, x ? (y ? z)=(x?y)? z.
ce qui montre que ?est associative.
Exercice 3. Étudier la loi Tdéfinie dans ]0,+∞[par : ∀x, y ∈]0,+∞[, xT y =px2+y2.
Calculer n
Tx=xT xT . . . T x
| {z }
nfois
.
Réponse :
i) Test une l.c.i. dans ]0,+∞[.
ii) Test commutative, car la somme est commutative dans R.
iii) Test associative, car : ∀x, y, z ∈]0,+∞[,
xT (yT z) = px2+ (yT z)2=rx2+py2+z22 =px2+y2+z2
=rpx2+y22 +z2=px2+y2T z
= (xT y)T z
ce qui montre que Test associative.
iv) L’élément neutre de T. Soit e∈]0,+∞[, alors
eélément neutre de T⇐⇒ ∀x∈]0,+∞[, eT x =xcar Tcommutative
⇐⇒ ∀x∈]0,+∞[,√e2+x2=x
⇐⇒ ∀x∈]0,+∞[, e2+x2=x2
⇐⇒ e= 0
ce qui montre que e=0 est l’élément neutre de T.
Calcul de n
Tx.
On a : 2
Tx=xT x =√2x2=x√2, car x > 0.

3
3
Tx= ( 2 Tx)T x =rx√22
+x2=x√3, car x > 0.
De proche en proche, on voit que :
∀n∈N∗\{1},∀x∈]0,+∞[,n
Tx=x√n
Exercice 4. Soit ?la loi de composition interne dans Rdéfinie par : ∀x, y ∈R, x ? y =x+y−xy.
1. Étudiez la commutativité, l’associativité, l’existence de l’élément neutre de la loi ?.
2. Déterminer les éléments inversibles et les éléments absorbants 1de R.
3. Pour n∈N∗, calculer n
x=
nfois
z }| {
x ? x ? ··· ? x.
Réponse :
1)i?est commutative, car le produit et l’addition sont commutatives dans R.
1)ii ?est associative, car : ∀x, y, z ∈R,
x ? (y ? z) = x+ (y ? z)−x(y ? z) = x+ (y+z−yz)−x(y+z−yz)
=x+y+z−yz −xy −xz +xyz
(x?y)? z = (x?y) + z−(x?y)z= (x+y−xy) + z−(x+y−xy)z
=x+y+z−xy −xz −yz +xyz
donc
∀x, y, z ∈R, x ? (y ? z) = (x?y)? z
1)iii L’élément neutre de ?. Soit e∈R, alors
eélément neutre de ?⇐⇒ ∀x∈R, x ? e =x, car ? commutative.
⇐⇒ ∀x∈R, x +e−xe =x
⇐⇒ ∀x∈R, e(1 −x)=0
⇐⇒ e= 0
d’où on déduit que e= 0 est l’élément neutre de ?.
2)aLes éléments inversibles. Soit x∈R, on résout l’équation “x?x0=e”. On a :
x?x0=e⇐⇒ x+x0−xx0= 0
⇐⇒ x0(1 −x) = −x
⇐⇒ x0=x
x−1si x 6= 1
donc, l’ensemble des éléments inversibles est R\{1}et comme ?est commutative, on déduit :
∀x∈R\{1}, x−1=x
x−1∈R
2)bLes éléments absorbants. Soit a∈R, alors :
aélément absorbant ⇐⇒ ∀x∈R, x ? a =a
⇐⇒ ∀x∈R, x +a−xa =a
⇐⇒ ∀x∈R, x(1 −a)=0
⇐⇒ a= 1
donc le seul élément absorbant de ?est a= 1 .
3) Calcul de n
x.
Pour n= 2,
2
x=x?x=x+x−x2= 2x−x2= 1 −(1 −2x+x2)=1−(x−1)2.
1. aest absorbant si : ∀x∈E a ? x =x?a=a.

4
Pour n= 3,
n
x=x ? 2 x=x+ [1 −(x−1)2]−x[1 −(x−1)2]=1−(x−1)2+x(x−1)2
= 1 + (x−1)2(x−1) = 1 + (x−1)3
Pour n= 4,
n
x=x ? 3 x=x+ [1 + (x−1)3]−x[1 + (x−1)3] = 1 + (x−1)3−x(x−1)3
= 1 −(x−1)3(x−1) = 1 −(x−1)4.
On remarque que pour n= 2,3et 4, on a la formule :
(Hn)n
x= 1 + (−1)n+1 (x−1)n
Supposons que (HN)est vraie et montrons que (HN+1)est alors vraie.
On a : N+1
x=x ? N x=x+ [1 + (−1)N+1(x−1)N]−x[1 + (−1)N+1(x−1)N]
= 1 + [(−1)N+1(x−1)N](1 −x)=1−(−1)N+1(x−1)N+1
= 1 + (−1)N+2(x−1)N+1
ce qui montre que (HN+1)est vraie et du théorème de récurrence on déduit que :
∀n∈N∗\{1},n
x= 1 + (−1)n+1 (x−1)n
Remarque : On a :
(−1)n+1(x−1)n= (−1)n+1(−1)n(1 −x)n=−(1 −x)n
donc
∀n∈N∗\{1},n
x= 1 −(1 −x)n
Exercice 5. Soit E= [0,1]. On définit une loi de composition ?par : ∀x, y ∈E, x ? y =x+y−xy.
a) Montrer que ?une loi de composition interne commutative et associative dans E.
b) Montrer que ?possède un élément neutre.
c) Quels sont les éléments symétrisables et les éléments réguliers de E, par rapport à ?.
Réponse :
a)1?est une l.c.i. dans E, car ∀x y,
x, y ∈E=⇒(0 ≤x≤1) ∧(y≥0) =⇒(xy ≤y)∧(0 ≤x)
=⇒(y−xy ≥0) ∧(x≥0) =⇒x+y−xy ≥0
=⇒x?y≥0
De même, on a :
x?y−1 = x+y−xy −1 = x−1 + y(1 −x) = (1 −x)(y−1)
donc, si x, y ∈E, alors (1 −x≥0) ∧(y−1≤0), par suite :
∀x, y ∈E,0≤x?y≤1
ce qui montre que ?est une l.c.i. dans E.
a)2?est commutative, car la somme et le produit sont commutatives dans R.
a)3?est associative, car : ∀x, y, z ∈E,
x ? (y ? z) = x+ (y ? z)−x(y ? z) = x+ (y+z−yz)−x(y+z−yz)
=x+y+z−yz −xy −xz +xyz
(x?y)? z = (x ? y) + z−(x?y)z= (x+y−xy) + z−(x+y−xy)z
=x+y−xy +z−xz −yz +xyz
d’où on déduit que
∀x, y, z ∈E, x ? (y ? z)=(x?y)? z

5
donc ?est associative.
b) L’élément neutre de ?. Soit e, alors :
eélément neutre de ?⇐⇒ ∀x∈E, x ? e =x, car ?est commutative
⇐⇒ ∀x∈E, x +e−xe =x⇐⇒ ∀x∈E, e(1 −x) = 0
⇐⇒ e= 0
ce qui montre que e= 0 est l’élément neutre de ?.
c)1Les éléments symétrisables. Soit x∈E, on résout l’équation “(x?x0=e)”. On a :
x ? x0=e⇐⇒ x+x0−xx0= 0 ⇐⇒ x0(1 −x) = −x⇐⇒ x0=x
x−1si x 6= 1
reste à vérifier si x0∈E, or ∀x /∈ {0,1},
x∈E=⇒(0 <x<1) =⇒(x > 0) ∧(x−1<0) =⇒x
x−1<0 =⇒x0=x x−1/∈E
donc le seul élément symétrisable dans Eest x0= 0 (l’élément neutre de ?).
c)2Les éléments réguliers. Soit x0∈E,?étant commutative, alors :
x0élément régulier ⇐⇒ ∀x, y ∈E,(x0? x =x0? y) =⇒(x=y)
⇐⇒ ∀x, y ∈E,(x0+x−x0x=x0+y−x0y) =⇒(x=y)
⇐⇒ ∀x, y ∈E,(x−x0x= +y−x0y) =⇒(x=y)
⇐⇒ ∀x, y ∈E,(x−y)(1 −x0) = 0 =⇒(x=y)
⇐⇒ 1−x06= 0
donc l’ensemble des éléments réguliers de ?est E\{1}.
Remarque : On sait que tout élément inversible est régulier, cette loi nous donne un exemple où des éléments
sont réguliers sans qu’ils soient inversibles.
Exercice 6. Soit C > 0. Sur G=] −C, +C[, on définit une loi de composition ?par
x?y=x+y
1 + xy
c2
.
Montrer que (G, ?)est un groupe abélien.
Réponse :
i) ?est une l.c.i. dans G? Soit x, y ∈G, montrons que x?y∈G. On a :
∀x, y ∈G, x ? y =x+y
1 + xy
C2
=C2x+y
C2+xy
et
x, y ∈G=⇒(|x|< C)∧(|y|< C) =⇒ |xy|< C2=⇒C2+xy > 0car C2+xy ≥C2− |xy|
donc :
x?y∈G⇐⇒ C2x+y
C2+xy < C
⇐⇒ C|x+y|< C2+xy, car C2+xy > 0
⇐⇒ −(C2+xy)< Cx +Cy < C2+xy
⇐⇒ Cx +Cy +C2+xy > 0∧Cx +Cy −C2−xy < 0
⇐⇒ C(x+C) + y(C+x)>0∧C(x−C) + y(C−x)<0
⇐⇒ (x+C)(C+y)>0∧(x−C)(C−y)<0(H)