7.Systèmes linéaires

FIIFO ALGÈBRE LINEAIRE
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SYSTEMES LINEAIRES
1. GENERALITES
1.1. DEFINITIONS
Un système linéaire à coefficients dans K ( en général  ou  ) est une famille d'équations
du type :
( ) S
+ a + + a = b
+ a + + a = b
+ + + =
+ a + + a = b
1
2
p
a x x x
a x x x
a x x x
n n
n n
p p pn n
11 112 2 1
21 122 2 2
1 1 2 2
aij  K 1  i  p , 1  j  n : coefficients
xj  K 1  j  n : inconnues ( ou variables )
bi  K 1  i  p : seconds membres
( S ) est un système linéaire de p équations à n inconnues à coefficients dans K.
Une solution de ( S ) est un n-uplet ( x1, x2, . . . , xn )  Kn vérifiant les p équations.
Définition :
Un système est homogène si et seulement si tous les seconds membres sont
nuls.
Le système homogène associé à ( S ) est noté ( S* ).
( S ) n'a pas toujours de solution.
( S* ) a toujours au moins la solution ( 0, 0, . . . , 0 ) =
0Kn
dans Kn.
Définition :
Un système ( S ) est dit de Cramer s'il est carré ( c'est à dire si n = p ) et s'il admet
une solution unique.
1.2. TRADUCTION VECTORIELLE DE ( S )
V
a
a
ap
1
11
21
1
V
a
a
ap
2
12
22
2
. . .
V
a
a
a
n
n
n
pn
1
2
b
b
b
bp
1
2

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Vj
 Kp pour 1  j  n et
b
 Kp
Equation vectorielle à résoudre :
( E )
x V V V
n n1 1 2 2
+ x + + x = b
Remarques sur le plan vectoriel au sujet des solutions de ( S ) donc de ( E ) :
1. Une solution de ( S ) est une décomposition de
b
sur la famille {
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
}
2. Une solution de ( S* ) est une relation de dépendance linéaire entre
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
3. Conséquence de 2 : ( S* ) a une solution unique (0,0, . . . ,0) =
0Kn
dans K si et
seulement si la famille {
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
} est libre.
4. Conséquence de 1 : ( S ) a une solution si et seulement si
b
 [
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
].
5. Si {
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
} est une famille libre alors
ou bien ( S ) n'a pas de solution ( lorsque b [ V V , . . . ,V )
ou bien ( S ) a une solution solution unique 1 2 n
, ]
6. Le système ( S ) a au moins une solution si et seulement si [
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
] = KP
( ce qui signifie que {
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
} est une famille génératrice de KP )
7. Si {
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
} est une famille libre alors n  p
Si {
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
} est une famille génératrice de KP alors n  p.
Le système a une solution unique pour tout
b
 KP si et seulement si n = p.
Dans ce cas {
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
} est une base de KP.
On obtient alors un système de Cramer.
D'où le théorème
Théorème :
Un système ( S ) est de Cramer si et seulement si n = p et si {
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
} est
une base de Kn.
Soit r = dim [
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
] le rang de la famille {
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
}.
Si r < n la décomposition de tout vecteur
b
 [
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
] se fait d'une infinité de
manières en fonction de
V1
,
V2
, . . . ,
Vn
.
On peut ainsi séparer en quatre cas les résultats précédents :
 Si r = n = p le système est de Cramer et admet une solution unique.
 Si r = n < p le système admet une solution unique ou n'en admet pas.
 Si r = p < n le système admet une infinité de solutions.
 Si r < n et r < p le système n'admet pas de solution ou en admet une
infinité.

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1.3. TRADUCTION MATRICIELLE DE ( S )
Matrice du système :
jème colonne
A =
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
j n
j n
i i ij in
p p pi pn
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
ième ligne
Notation condensée : A = ( ( a i j ) )
indice indice
de la ligne Li de la colonne Cj
A est une matrice ayant p lignes et n colonnes.
b =
b
b
bp
1
2
est la matrice des seconds membres ayant p lignes et 1 colonne.
X =
x
x
xn
1
2
est la matrice des inconnues ayant n lignes et 1 colonne.
Matriciellement le système ( S ) se note :
AX = b
a a a
a a a
a a a
n
n
p p pn
11 12 1
21 22 2
1 2
n
x
x
x
2
1
=
b
b
bp
1
2
Tableau du système ( S ) :
[ S ] =
a a a b
a a a b
a a a b
n
n
p p pn p
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
|
|
|
|
p lignes, n+1 colonnes
Le système ( S ) est entièrement déterminé par son tableau [ S ].

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2. RESOLUTION D'UN SYSTEME LINEAIRE
Problème : Déterminer l'ensemble S des solutions du système ( S ).
On a S  Kn
Théorème 1 :
L'ensemble S* des solutions du système homogène ( S* ) est un sous-espace vectoriel
de Kn.
Preuve :
*
0Kn
 S* donc S*  
* Soit
u
=
x
x
xn
1
2
et
u'
=
x
x
xn
'
'
'
1
2
deux solutions de ( S* ) et (,)  K2, on a :
x V V V
n n1 1 2 2
+ x + + x = 0Kp
et
x V V V
n n
' ' '
1 1 2 2
+ x + + x = 0Kp
Donc
( ' ) ( ' ) ( ' )     x x V x x V x x V
n n n1 1 1 2 2 2
+ + + = 0Kp
et 
u
+ 
u'
 S* d'où le résultat.
Exemple
( S* )
x y z
x y
0
0
p = 2 , n = 3
x V V V
1 2 3
+ y + z = 0R2
avec
V1
=
1
1
,
V2
=
1
1
et
V3
=
1
0
( S* ) 
xy
z x
2
donc ( S* ) 
= y =
z = 2
x 
S* = {
u1
/   } avec
u1
=
1
1
2
S* = [
u1
]
S* est la droite vectorielle engendrée par
u1
.
Théorème 2 :
Si ( S ) a au moins une solution (
x1
0
,
x2
0
,,
xn
0
) et si l'on note
u0
x
x
xn
1
0
2
0
0
Alors S = {
u0
+
u
/
u
 S* }.

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L’ensemble S est formé de la somme d'une solution particulière de S et des solutions de
S*.
Notation : X0 =
x
x
xn
1
0
2
0
0
S = X0  S *
Preuve :
Soit
u0
+
u
avec
u0
 S et
u
 S *
u0
 S donc
x V V V
n n1
01 2 020
+ x + + x = b
u
 S * donc
x V V V
n n1 1 2 2
+ x + + x = 0Kp
d’où
( ) ) )x x V x x V x x V
n n n1
01 1 2 02 2 0
+ ( + + ( = b
et
u0
+
u
 S
Réciproquement soit
w
 S avec
w
y
y
yn
1
2
donc
y V V Vn1 1 2 + y + + y = b
2 n
Or
u0
 S donc
x V V V
n n1
01 2 020
+ x + + x = b
En soustrayant les deux égalités on obtient :
( ) ) )y x V y x V y x V
n n1 1
01 2 020
+ ( + + ( = 0
2 n Kp
d’où
u
y x
y x
y x
n n
1 1
0
2 2
0
0
 S * et
w
-
u0
=
u
,
soit encore
w
=
u0
+
u
avec
u0
 S et
u
 S*.
Conséquence :
Une méthode de résolution de ( S ) consiste à :
1) Résoudre ( S* ) et pour cela déterminer S*.
2) Trouver une solution particulière X0 de ( S ).
3) S = X0  S*
3. METHODE DU PIVOT DE GAUSS
3.1. SYSTEMES EQUIVALENTS
Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.
On considère les opérations élémentaires suivantes sur les lignes du système :
 On échange deux lignes Li et Lj. On note : Li  Lj
 On multiplie une ligne Li par   0. On note : Li   Li
 On remplace la ligne Li par Li + Lj. On note : Li  Li + Lj
Une autre opération élémentaire consiste à échanger deux colonnes Ci et Cj.