7.Systèmes linéaires

FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE
SYSTEMES LINEAIRES
1.
GENERALITES
1.1.
DEFINITIONS
Un système linéaire à coefficients dans K ( en général  ou  ) est une famille d'équations
du type :
 a 11 x 1
a x
( S )  21 1

a x
 p1 1
aij  K
xj  K
bi  K
1ip
1jn
1ip
+ a 12 x 2 + 
+ a 22 x 2 + 
+
 + 
+ a p2 x 2 + 
,
+ a 1n x n
+ a 2n x n
+

+ a pn x n
1jn
=
=
=
=
b1
b2

bp
: coefficients
: inconnues ( ou variables )
: seconds membres
( S ) est un système linéaire de p équations à n inconnues à coefficients dans K.
Une solution de ( S ) est un n-uplet ( x1, x2, . . . , xn )  Kn vérifiant les p équations.
Définition :
Un système est homogène si et seulement si tous les seconds membres sont
nuls.
Le système homogène associé à ( S ) est noté ( S* ).
( S ) n'a pas toujours de solution.

( S* ) a toujours au moins la solution ( 0, 0, . . . , 0 ) = 0 K n dans Kn.
Définition :
Un système ( S ) est dit de Cramer s'il est carré ( c'est à dire si n = p ) et s'il admet
une solution unique.
1.2.
TRADUCTION VECTORIELLE DE ( S )
 a 11 
  a 21 
V1  
 a 
 p1 
J.P. LENOIR
 a 12 
  a 22 
V2  
 a 
 p2 
.
.
PAGE 41
.
 a 1n 
  a 2n 
Vn  
 a 
 pn 
 b1 
 b2 
b 
 b 
 p
CHAPITRE 7
FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE

Vj  Kp
pour 1  j  n

et b  Kp
Equation vectorielle à résoudre :
(E)




x1 V1 + x 2 V2 +  + x n Vn = b
Remarques sur le plan vectoriel au sujet des solutions de ( S ) donc de ( E ) :

 

1. Une solution de ( S ) est une décomposition de b sur la famille { V1 , V2 , . . . , Vn }
 

2. Une solution de ( S* ) est une relation de dépendance linéaire entre V1 , V2 , . . . , Vn

3. Conséquence de 2 : ( S* ) a une solution unique (0,0, . . . ,0) = 0 K n dans K si et
 

seulement si la famille { V1 , V2 , . . . , Vn } est libre.

 

4. Conséquence de 1 : ( S ) a une solution si et seulement si b  [ V1 , V2 , . . . , Vn ].
 

5. Si { V1 , V2 , . . . , Vn } est une famille libre alors

 

 ou bien ( S ) n'a pas de solution ( lorsque b  [ V1 , V2 , . . . , Vn ] )
 ou bien ( S ) a une solution solution unique

 

6. Le système ( S ) a au moins une solution si et seulement si [ V1 , V2 , . . . , Vn ] = KP
 

( ce qui signifie que { V1 , V2 , . . . , Vn } est une famille génératrice de KP )
 

7. Si { V1 , V2 , . . . , Vn } est une famille libre alors n  p
 

Si { V1 , V2 , . . . , Vn } est une famille génératrice de KP alors n  p.

b
Le système a une
solution
unique
pour
tout
 KP si et seulement si n = p.
 

Dans ce cas { V1 , V2 , . . . , Vn } est une base de KP.
On obtient alors un système de Cramer.
D'où le théorème
Théorème :
 

Un système ( S ) est de Cramer si et seulement si n = p et si { V1 , V2 , . . . , Vn } est
une base de Kn.
 

 

Soit r = dim [ V1 , V2 , . . . , Vn ] le rang de la famille { V1 , V2 , . . . , Vn }.

 

Si r < n la décomposition de tout vecteur b  [ V1 , V2 , . . . , Vn ] se fait d'une infinité de
 

manières en fonction de V1 , V2 , . . . , Vn .
On peut ainsi séparer en quatre cas les résultats précédents :
 Si r = n = p le système est de Cramer et admet une solution unique.
 Si r = n < p le système admet une solution unique ou n'en admet pas.
 Si r = p < n le système admet une infinité de solutions.
 Si r < n et r < p le système n'admet pas de solution ou en admet une
infinité.
J.P. LENOIR
PAGE 42
CHAPITRE 7
FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE
1.3.
TRADUCTION MATRICIELLE DE ( S )
Matrice du système :
jème colonne

 a 11
a
 21

A = a
 i1
 
a
 p1
a 12
a 22
a i2
a p2
 a1j
 a2j

 a ij

 a pi
 a 1n 
 a 2n 

 
 a in   i ème ligne
 
 a pn 
A = ( ( aij ) )
Notation condensée :

indice
indice
de la ligne Li de la colonne Cj
A est une matrice ayant p lignes et n colonnes.
 b1 
b 
b =  2  est la matrice des seconds membres ayant p lignes et 1 colonne.
 b 
 p
 x1 
x 
X =  2  est la matrice des inconnues ayant n lignes et 1 colonne.
 
 xn 
Matriciellement le système ( S ) se note :
AX = b
 a 11
a
 21

 a p1
a 12  a 1n   x1   b 1 
a 22  a 2 n   x 2   b 2 

      =   
   
a p 2  a pn   x n   b p 
Tableau du système ( S ) :
a 11
a
[ S ] =  21

a p1
a 12  a 1n
a 22  a 2 n


a p 2  a pn
| b1 
| b2 
| 

| bp 
p lignes, n+1 colonnes
Le système ( S ) est entièrement déterminé par son tableau [ S ].
J.P. LENOIR
PAGE 43
CHAPITRE 7
FIIFO
2.
ALGÈBRE LINEAIRE
RESOLUTION D'UN SYSTEME LINEAIRE
Problème : Déterminer l'ensemble S des solutions du système ( S ).
On a S  Kn
Théorème 1 :
L'ensemble S* des solutions du système homogène ( S* ) est un sous-espace vectoriel
de Kn.
Preuve :
*
0 K n  S* donc S*  
 x1 
 x '1 
  x2 
  x' 2 
*
Soit u =   et u' =   deux solutions de ( S* ) et (,)  K2, on a :
  
 
 x' n 
 xn 








et
x1 V1 + x 2 V2 +  + x n Vn = 0Kp
x'1 V1 + x' 2 V2 +  + x' n Vn = 0 Kp




Donc
(x1  x'1 ) V1 + (x 2  x' 2 ) V2 +  + (x n  x' n ) Vn = 0Kp


et  u +  u'  S* d'où le résultat.
Exemple
 xyz  0
( S* )  x  y
0





x V1 + y V2 + z V3 = 0 R2
 y x
( S* )   z  2 x

 x = 

donc ( S* )   y = 
 z = 2

S* = {  u 1 /    }

S* = [ u 1 ]
p=2 ,n=3


1
1
1 
avec V1 =  1 , V2 =   1 et V3 =  0


avec u 1 =
 1
 1
 
 2

S* est la droite vectorielle engendrée par u 1 .
Théorème 2 :
 x 10 
  0
Si ( S ) a au moins une solution ( x 10 , x 02 ,, x 0n ) et si l'on note u 0  x 2 
 0 
 xn 
  
Alors S = { u 0 + u / u  S* }.
J.P. LENOIR
PAGE 44
CHAPITRE 7
FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE
L’ensemble S est formé de la somme d'une solution particulière de S et des solutions de
S*.
 x 10 
 0
Notation :
X0 =  x 2 
S = X0  S *
 0 
 xn 
Preuve :

 

Soit u 0 + u avec u 0  S et u  S *





u 0  S donc x 10 V1 + x 02 V2 +  + x 0n Vn = b





u  S * donc x1 V1 + x 2 V2 +  + x n Vn = 0 Kp




 
u0+ u  S
d’où ( x 10  x 1 ) V1 + ( x 02  x 2 ) V2 +  + ( x 0n  x n ) Vn = b
et
 y1 





  y2 
Réciproquement soit w  S avec w   donc y1 V1 + y 2 V2 +  + y n Vn = b
 
 yn 





Or u 0  S donc x 10 V1 + x 02 V2 +  + x 0n Vn = b
En soustrayant les deux égalités on
 obtient :


0
0
( y1  x1 ) V1 + ( y 2  x 2 ) V2 +  + ( y n  x 0n ) Vn = 0 Kp
 y 1  x 10 
0

d’où u  y 2  x 2   S * et
  0
 yn  xn 



soit encore w = u 0 + u avec
 

w - u0 = u ,


u 0  S et u  S*.
Conséquence :
Une méthode de résolution de ( S ) consiste à :
1) Résoudre ( S* ) et pour cela déterminer S*.
2) Trouver une solution particulière X0 de ( S ).
3) S = X0  S*
3.
METHODE DU PIVOT DE GAUSS
3.1.
SYSTEMES EQUIVALENTS
Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.
On considère les opérations élémentaires suivantes sur les lignes du système :
 On échange deux lignes Li et Lj.
On note :
 On multiplie une ligne Li par   0. On note :
 On remplace la ligne Li par Li + Lj. On note :
Li  Lj
Li   Li
Li  Li + Lj
Une autre opération élémentaire consiste à échanger deux colonnes Ci et Cj.
J.P. LENOIR
PAGE 45
CHAPITRE 7
FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE
Attention cette opération a pour effet d'échanger les deux inconnues xi et xj.
J.P. LENOIR
PAGE 46
CHAPITRE 7
FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE
Théorème :
Les opérations élémentaires précédentes permettent de transformer le système ( S ) en
un système équivalent.
Preuve :
L'échange Li  Lj ( ou Ci  Cj ) effectué deux fois de suite transforme ( S ) en ( S' )
puis de nouveau en ( S ).
1
Il en est de même avec les opérations Li   Li puis Li 
Li ou avec les

opérations Li  Li + Lj puis Li  Li - Lj.
3.2.
METHODE DU PIVOT DE GAUSS
C'est un algorithme de résolution dont le principe est fondé sur la transformation du
système ( S ) en une suite de systèmes équivalents à l'aide d'opérations élémentaires sur les
lignes ou d'échange de colonnes, jusqu'à l'obtention d'un système "triangulé".
A chaque étape k de l'algorithme on fait apparaître des zéros dans la colonne k pour
tous les termes du tableau dont l'indice de ligne est strictement supérieur à k.
Décrivons l'étape k :
1) Si a (kkk)  0, les opérations suivantes
Li  Li -
a (ikk )
Lk
a (kkk)
pour i > k
permettent de faire apparaître des zéros dans la kième colonne sous le terme a (kkk) qui
joue le rôle du pivot. Puis on passe à l'étape k+1.
2) Si a (kkk) = 0, on cherche si l'un des a (ikk ) pour i > k est non nul, auquel cas on se
ramène au cas 1 en échangeant les lignes Lk et Li.
3) Si a (ikk ) = 0 pour tout i  k, on cherche j tel que a (kjk )  0 et on se ramène au cas 1
par échange des colonnes Ck et Cj, ce qui dans le système revient à intervertir les
inconnues xk et xj.
4) Si a (ikk ) = 0 pour tout i  k et a (kjk ) = 0 pour tout j  k, on effectue sur les lignes
Lk à Lp une permutation circulaire
et on se ramène au cas 3.
Lp  Lk et Li  Li+1 pour k  i  p-1
Une fois l'algorithme terminé on obtient l'un des 4 cas indiqués dans la suite.
Le nombre r qui apparaît sur les tableaux triangulés est le rang du système.
C'est le nombre de termes non nuls de la diagonale.
 

On verra que c'est aussi le rang de la famille{ V1 , V2 , . . . , Vn }.
J.P. LENOIR
PAGE 47
CHAPITRE 7
FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE
1. Système de Cramer ( r = n = p )
( n)
a 11
 0
n 


 0
  a 1( nn )   b 1(n ) 

    
=
     ( n ) 
( n) 
 0 a nn   b n 
n
a (iin ) tous non nuls ( i = 1, . . . , n )
Le rang du système est r = n = p.
Le système admet une solution unique quels que soient les seconds
membres.
2. Système indéterminé ( r = p < n )
( p)
a 11
 0
p 
 
 0
( p)
  a 1( pp )  a 1n   b 1(p ) 
    


 =  
  

( p)
( p)
( p)
 0 a pp  a pn   b p 
p
n-p
a (iin ) tous non nuls ( i = 1, . . . , p )
Le rang du système est r = p < n.
On donne des valeurs arbitraires aux (n - p) inconnues non principales ou
paramètres;
les p inconnues principales sont alors déterminées de manière unique.
Le système admet une infinité de solutions.
J.P. LENOIR
PAGE 48
CHAPITRE 7
FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE
3. Système conditionnel ( r = n < p )
( n)
a 11
 0
n 

 0
 0
pn  
 0
( n)
  a 1( nn )   b 1 

    


     ( n ) 
( n) 
 0 a nn  =  b n 
( n)
  0   b n 1 
    
  0   b (pn ) 
n
a (iin ) tous non nuls ( i = 1, . . . , n )
Le rang du système est r = n < p.
Si l'un des ( p - n ) seconds membres b (i n ) ( i = n+1, . . . , p ) est non nul,
le système n'admet pas de solution.
Si tous ces seconds membres sont nuls,
le système admet une solution unique.
4. Système mixte ( r < n et r < p )
(r)
a 11
 0
r  
 0
 0
pr  
 0
  a 1( rr )


  
 0 a (rrr )
  0

  0
r
a 1( rr ) 1


(r)
a rr 1
0

0
 a 1( rn)   b 1( r ) 
    
   ( r ) 
 

 a (rnr)  =  b(rr ) 
 0   b r 1 
    
(r)
 0   b p 
n-r
a (iir ) tous non nuls ( i = 1, . . . , r )
Le rang du système est r < n et r < p.
Si l'un des ( p - r ) seconds membres b (i r ) ( i = r+1, . . . , p ) est non nul,
le système n'admet pas de solution.
Si tous ces seconds membres sont nuls,
on donne des valeurs arbitraires aux (n - r) inconnues non principales ou
paramètres;
les r inconnues principales sont alors déterminées de manière unique,
J.P. LENOIR
PAGE 49
CHAPITRE 7
FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE
le système admet une infinité de solutions.
Théorème :
 

Le rang du système ( S ) est égal au rang de la famille de vecteurs{ V1 , V2 , . . . , Vn }.
Preuve :
A un changement d'indice prés, le rang étant r, on peut exprimer r inconnues
principales x1, x2, . . . ,xr en fonction des n - r inconnues non principales ( ou paramètres ),
xr+1, . . . ,xn.
Lorsqu’on fixe les valeurs des paramètres xr+1, . . . ,xn on obtient x1, x2, . . . ,xr de manière
unique.
Le système ( S* ) équivaut à l’équation vectorielle :






( E* )
x 1V1 + x 2 V2 +  + x r Vr + x r 1Vr 1 +  + x n Vn = 0 K p
Si l’on pose xr+1 = . . . = xn = 0, on a donc l’équation :


 
x 1V1 + x 2 V2 +  + x r Vr = 0 K p
Or x1, x2, . . . , xr sont combinaisons linéaires de xr+1, . . . ,xn donc toutes nulles ce qui

 
entraîne que la famille { V1 , V2 , . . . , Vr }est libre.

 
Comme on peut choisir les paramètres xr+1, . . . ,xn non nuls, la famille { V1 , V2 , . . . , Vr }est
 
 
libre maximale, ce qui signifie que toute famille { V1 , V2 , . . . , Vr , Vr  k }est liée pour tout k
 

avec 1  k  n - r. C’est donc une base de [ V1 , V2 , . . . , Vn ] d’où le résultat.
Conséquences :
1. On retrouve les mêmes cas qui dépendent de la valeur de r par rapport à n et p.
2. La résolution du système ( S* ) se résume à 2 cas :

Si r = n le système ( S* ) admet une solution unique qui est 0 K n .
Si r < n le système ( S* ) admet une infinité de solutions.
L’ensemble des solutions de ( S* ) est un sous-espace vectoriel de Kn de dimension n – r.
En effet soit ( x1, x2, . . . , xr, xr+1, . . . ,xn ) un élément de S*.
A un changement d’indice prés on peut exprimer les inconnues principales x1, x2, . . . , xr en
fonction des n – r paramètres xr+1, . . . ,xn.
Si
x1 = 1,r+1 xr+1 + 1,r+2 xr+2 + . . . + 1,n xn




xr = r,r+1 xr+1 + r,r+2 xr+2 + . . . + r,n xn
alors ( x1, x2, . . . ,xn ) = xr+1 (1,r+1, 2,r+1, . . . , r,r+1, 1, 0, . . . ,0 )
+ xr+2 (1,r+2, 2,r+2, . . . , r,r+2, 0, 1, . . . ,0 )




+ xn (1,n, 2,n, . . . , r,n, 0, 0, . . . ,1 )

 
On en déduit une base de n – r vecteurs de S* : { u r 1 , u r 2 , . . . , u n }
  1,r 1 
  1,r  2 
  1,n 






  2,r 1 
  2,r  2 
  2,n 
  
  
  
 
 
  


u r  2 r ,r  2 
u n r , n1 .
Avec u r 1 r , r 1

 1 
 0 
 0 
 0 
 1 
  
  
  
 0 
 0 
 0 
 1 






J.P. LENOIR
PAGE 50
CHAPITRE 7
FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE
3.3.
1.
EXEMPLES
 x  3y  2z  b1

 2x  4y  7z  b 2
 5x  13y - 3z  b 3
Le tableau du système est :
L 2  L 2  2L1
L 3  L 3  5L1
L3  L3  L 2
ce qui donne le système :
On obtient
puis
et
2.
 1 3 2 | b1 
2 4 7 | b 2 
 5 13 - 3 | b 
3

2 |
b1 
1 3
0 - 2
3 | b 2  2b1 
0 - 2 - 13 | b  5b 
3
1

2 |
b1 
1 3
0 - 2
3 |
b 2  2b 1 
0 0 - 16 | b  b  3b 
3
2
1

 x  3y  2z  b1

- 2y  3z  b 2  2b1


- 16z  b 3  b 2  3b1
1
( 3b1 + b2 – b3 )
16
1
y=
( 41b1 - 13b2 – 3b3 )
32
1
x=
( -103b1 + 35b2 + 13b3 )
32
z=
 x  4y  z  t  b1

 2x  7y  3z  t  b 2
 x  5y  2z - 5t  b 3
Le tableau du système est :
L 2  L 2  2L1
L 3  L 3  L1
L 2  L 2
L 3  L 3  9L 2
 1 4  1 1 | b1 
2 7 - 3 1 | b 2 
1 - 5 2 - 5 | b 
3

b1 
1 4 1 1 |
0 - 1 - 1 - 1 | b 2  2 b 1 
0 - 9
3 - 6 | b 3  b1 

b1 
1 4 1 1 |
0 1 1 1 |
2b 1  b 2 
0 0 12 3 | 17b  9b  b 
1
2
3

Le système est de rang 3 et le nombre de paramètres est 4 – 3 = 1.
J.P. LENOIR
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CHAPITRE 7
FIIFO
ALGÈBRE LINEAIRE
En paramétrant t on trouve :
7
1
1
5

 x  4   12 b1  4 b 2  12 b 3

3
7
1
1
 y     b1  b 2  b 3

4
12
4
12

1
17
3
1
 z     b1  b 2  b 3
4
12
 t  4  12

3.

 x  3y  2z  b1
 2x  4y  7z  b 2
 5x  13y - 3z  b
3

6
x

14
y

2
z

b
4

La méthode du pivot donne ( voir exemple 1 ) :
 x  3y  2z  b1

- 2y  3z  b 2  2b1

- 16z  b 3  b 2  3b1

0  b 4  b 3  b 2  b1

Le rang est égal à 3.
Si b4 – b3 – b2 + b1  0 le système n’a pas de solution.
Si b4 – b3 – b2 + b1 = 0 le système a une solution unique ( voir exemple 1 ).
4.
 x  2y  2z  3t  b1

 2x  4y  3z  4t  b 2
5x  10y  8z  11t  b 3
On obtient par la méthode du pivot au cours de laquelle on est amené à échanger les
colonnes 2 et 3 du tableau donc à permuter les colonnes les inconnues y et z :
 x  2z  2y  3t  b1

z
 2t  b 2  2b1


0  b 3  2b 2  b 1

Le système est de rang 2, le nombre de paramètres est 4 – 2 = 2 qui peuvent être y et t
ou x et z, mais pas z et t. Le système n’a pas de solution si b3 – b1 – 2b2  0.
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CHAPITRE 7
FIIFO
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ALGÈBRE LINEAIRE
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CHAPITRE 7