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L’´etude des actions sur le cercle b´en´eficie d’un excellent survey de ´
E Ghys
([Gh2001]“Groups acting on the circle”, L’Enseignement Math´ematique) qui
privil´egie les aspects topologiques (parfois PL). Ici, nous avons choisi de mettre
en avant certains aspects et m´ethodes typiques des situations C2et/ou PL.
Dans le premier chapitre de ce cours, nous d´efinissons les principales notions
dynamiques (actions, orbites, minimaux, conjugaison).
Dans le second chapitre, nous ´enon¸cons et montrons un th´eor`eme dit “d’al-
ternatives dynamiques” qui d´ecrit les comportements dynamiques possibles pour
un groupe Gd’hom´eomorphismes du cercle : (1)- Ga une orbite finie ou (2)-
toutes les orbites de Gsont denses ou (3)- Gposs`ede un minimal exceptionnel
(i.e. hom´eomorphe `a l’ensemble triadique de Cantor).
Ensuite, nous donnons des exemples de ces diff´erents types de dynamiques y
compris en grande r´egularit´e pour (3) ce qui constitue un ph´enom`ene nouveau
par rapport au cas d’un seul diff´eomorphisme. Nous ´enon¸cons et montrons un
Th´eor`eme de Sacksteder qui dit qu’un groupe de C2-diff´eomorphismes du cercle
avec minimal exceptionnel poss`ede toujours des points hyperboliques. La preuve
de ce th´eor`eme illustre bien les m´ethodes utilis´ees en dynamique des actions
diff´erentiables sur le cercle (contrˆole de la distortion des d´eriv´ees).
Dans le troisi`eme chapitre, suivant Plante, nous utilisons ce r´esultat de Sacks-
teder pour montrer qu’un groupe de C2-diff´eomorphismes du cercle qui pr´eserve
une mesure sur le cercle n’a pas de minimal exceptionnel et en d´eduire qu’un
groupe de C2-diff´eomorphismes du cercle non ab´elien et qui pr´eserve une mesure
a une orbite finie.
Dans le quatri`eme chapitre, nous consid´erons le cas d’actions PL et illustrons
par quelques r´esultats l’id´ee que des arguments de nature dynamique permettent
de d´emontrer des r´esultats de nature alg´ebrique.
Nous regrettons de n’avoir pu aborder les importants r´esultats de E. Ghys
sur les actions de r´eseaux de rang au moins 2 [´
E Ghys : Actions de r´eseaux sur
le cercle, Invent. Math. 137 (1999), 199-231] et de A. Navas sur les actions de
groupes de Kazdhan [A.Navas : Actions de groupes de Kazhdan sur le cercle,
Ann. Sci. ´
Ecole Norm. Sup. 35 (2002), 749-758].
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