Groupes d`homéomorphismes PL du cercle

Actions sur le cercle.
Isabelle Liousse, Universit´e de Lille 1
19 juin 2006
Introduction.
♦♦♦♦♦
Tr`es peu d’´equations diff´erentielles peuvent ˆetre explicitement r´esolues. Par-
tant de ce constat, Henri Poincar´e initia la th´eorie des syst`emes dynamiques
“classiques” en substituant au calcul impossible des solutions d’une E.D.O
l’´etude qualitative des orbites du champs de vecteur associ´e. Pour d´ecrire l’´evolution
du syst`eme au cours du temps, plus particuli`erement pour d´ecrire le comporte-
ment assymptotique de ses solutions φt(x) lorsque le temps ttend vers l’infini,
Poincar´e inventa d’importants concepts. En introduisant la notion d’application
de premier retour, Poincar´e associa au syst`eme continu : le champs de vecteur
sur le tore un syst`eme discret : un hom´eomorphisme du cercle plus maniable et
dont les orbites ont les mˆemes comportements. Pour comprendre ces comporte-
ments, Poincar´e d´efinit entre autre le nombre de rotation d’un hom´eomorphisme
du cercle et montra que “ρ(f)∈Q
Zsi et seulement si fposs`ede au moins une
orbite p´eriodique.”
Un g´en´eralisation naturelle des syst`emes dynamiques “classiques” consiste `a
ne plus imposer au temps d’ˆetre r´eel ou entier mais seulement d’ˆetre l’´el´ement
d’un groupe Γ. Le syst`eme est alors param´etr´e par ce groupe. En conclusion,
sur un espace topologique Xest la donn´ee
d’un morphisme d’un groupe Γ dans le groupe des hom´eomorphismes de X,
autrement dit d’une action topologique de Γ sur X.
1

L’´etude des actions sur le cercle b´en´eficie d’un excellent survey de ´ E Ghys
([Gh2001]“Groups acting on the circle”, L’Enseignement Math´ematique) qui
privil´egie les aspects topologiques (parfois PL). Ici, nous avons choisi de mettre
en avant certains aspects et m´ethodes typiques des situations C2et/ou PL.
Dans le premier chapitre de ce cours, nous d´efinissons les principales notions
dynamiques (actions, orbites, minimaux, conjugaison).
Dans le second chapitre, nous ´enon¸cons et montrons un th´eor`eme dit “d’al-
ternatives dynamiques” qui d´ecrit les comportements dynamiques possibles pour
un groupe Gd’hom´eomorphismes du cercle : (1)- Ga une orbite finie ou (2)-
toutes les orbites de Gsont denses ou (3)- Gposs`ede un minimal exceptionnel
(i.e. hom´eomorphe `a l’ensemble triadique de Cantor).
Ensuite, nous donnons des exemples de ces diff´erents types de dynamiques y
compris en grande r´egularit´e pour (3) ce qui constitue un ph´enom`ene nouveau
par rapport au cas d’un seul diff´eomorphisme. Nous ´enon¸cons et montrons un
Th´eor`eme de Sacksteder qui dit qu’un groupe de C2-diff´eomorphismes du cercle
avec minimal exceptionnel poss`ede toujours des points hyperboliques. La preuve
de ce th´eor`eme illustre bien les m´ethodes utilis´ees en dynamique des actions
diff´erentiables sur le cercle (contrˆole de la distortion des d´eriv´ees).
Dans le troisi`eme chapitre, suivant Plante, nous utilisons ce r´esultat de Sacks-
teder pour montrer qu’un groupe de C2-diff´eomorphismes du cercle qui pr´eserve
une mesure sur le cercle n’a pas de minimal exceptionnel et en d´eduire qu’un
groupe de C2-diff´eomorphismes du cercle non ab´elien et qui pr´eserve une mesure
a une orbite finie.
Dans le quatri`eme chapitre, nous consid´erons le cas d’actions PL et illustrons
par quelques r´esultats l’id´ee que des arguments de nature dynamique permettent
de d´emontrer des r´esultats de nature alg´ebrique.
Nous regrettons de n’avoir pu aborder les importants r´esultats de E. Ghys
sur les actions de r´eseaux de rang au moins 2 [´ E Ghys : Actions de r´eseaux sur
le cercle, Invent. Math. 137 (1999), 199-231] et de A. Navas sur les actions de
groupes de Kazdhan [A.Navas : Actions de groupes de Kazhdan sur le cercle,
Ann. Sci. ´ Ecole Norm. Sup. 35 (2002), 749-758].
2

Table des mati`eres
IG´en´eralit´es sur les actions sur le cercle. 5
1 D´efinitions, notations. 5
1.1 Actions de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Dynamique d’une action de groupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Premiers exemples. 6
2.1 Le cercle S1. ............................. 6
2.2 Exemple 1. Action par translations. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Exemple 2. Actions par homographies. . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Exemple 3. Actions PL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II Alternatives dynamiques pour les actions
sur le cercle 9
3 Ensembles Invariants- Ensembles minimaux. 11
3.1 D´efinition. Ensemble invariant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 D´efinition. Ensemble minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Propri´et´es des minimaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Alternatives dynamiques. 12
4.1 Th´eor`eme d’alternatives dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Preuve du th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Exemples de dynamiques. 13
5.1 Actions de Z. ............................. 13
5.2 Autres exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Hom´eomorphismes de l’intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4 Minimaux exceptionnels dans Diff∞
+(S1) et P L+(S1). . . . . . 14
6 Le th´eor`eme de Sacksteder. 17
III Mesures invariantes. 22
7 Mesures invariantes. G´en´eralit´es. 22
7.1 Support d’une mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.2 Mesures invariantes, d´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.3 Existence d’une mesure invariante. ([Fathi1994] [Herman1979]) . . . . 24
7.4 Le th´eor`eme ergodique de Birkhoff. (Has.Kat p136) ......... 25
3

8 Cas du cercle. Nombre de rotation et mesure invariante. 25
8.1 Nombre de rotation d’un hom´eomorphisme du cercle. . . . . . . . 25
8.2 L’application nombre de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9 Th´eor`eme de Plante. 26
9.1 Enonc´e et corollaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9.2 Preuve du th´eor`eme de Plante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10 Th´eor`eme de Margulis. 27
IV Groupes d’hom´eomorphismes affines par mor-
ceaux. 28
11 Hom´eomorphismes affines par morceaux de l’intervalle I= [0,1]. 28
11.1 D´efinitions. Propri´et´es utiles. .................. 28
11.2 Le th´eor`eme de Brin-Squier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.2.1 Enonc´e. ([BrSq 1985]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.2.2 Preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.3 Le th´eor`eme de Plante-Thurston en PL. . . . . . . . . . . . . . . 29
11.3.1 Enonc´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.3.2 Preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
11.4 Le Lemme de Koppel PL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
12 Sous-Groupes de type fini de PL +(S1).30
12.1 D´efinitions. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12.2 Isomorphismes entre groupes de Bieri-Strebel. . . . . . . . . . . . 32
12.3 Etude des nombres de rotation. [Li2006] ............... 35
4

Premi`ere partie
G´en´eralit´es sur les actions sur le cercle.
♦♦♦♦♦
R´ef´erences
[Gh2001] ´ E Ghys : Groups acting on the circle, L’Enseignement Math´ematique
47 (2001), 329-407
1 D´efinitions, notations.
1.1 Actions de groupes.
Soit Γ un groupe et Xun espace topologique. Une (sous-entendue
topologique) de Γ sur Xest la donn´ee d’un morphisme φde Γ dans Homeo(X)
le groupe des hom´eomorphismes de X:
φ:Γ→Homeo(X)
γ7→ φ(γ)
Lorsque φest injective, on dit que l’action est . Dans ce cas φ(Γ) est un
sous-groupe de Homeo(X) isomorphe `a Γ, on dit aussi que Γ est
dans Homeo(X).
Exemple 0. Se donner une action de Zsur X´equivaut `a se donner un hom´eomor-
phisme f:X→X. De plus, l’action est fid`ele si et seulement si fest d’ordre
infini.
1.2 Dynamique d’une action de groupe.
Soit φune action du groupe Γ sur l’espace topologique X.
Soit x∈X, on appelle de xpour φou φle sous-ensemble de
Xnot´e φ(Γ).x d´efini par :
φ(Γ).x := {φ(γ)(x), γ ∈Γ}.
L’action φest dite si elle n’a qu’une seule orbite.
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