feuille 1 - CMAP, Polytechnique

2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie
Mathématiques Année 2016/2017
Feuille d’exercices no1 – Espaces vectoriels et applications linéaires
Dans tout ce qui suit, kdésignera un corps commutatif, comme par exemple Q,Rou C. Sauf mention explicite
du contraire, l’expression « espace vectoriel » signifiera « k-espace vectoriel ».
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
1êSoit Eun espace vectoriel.
1) Soit (Fi)iœIune famille de sous-espaces vectoriels de E. Montrer que :
u
iœI
Fi={xœE|’iœI, x œFi}
est un sous-espace vectoriel de E.
2) Soient nœNú,etF1,...,F
ndes sous-espaces vectoriels de E. Montrer que :
F1+···+Fn={x1+···+xn|x1œF1,...,x
nœFn}
est un sous-espace vectoriel de E.
3) Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
a. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)FfiGest un sous-espace vectoriel de E.
(ii)FµGou GµF.
b. Expliciter des espaces E,Fet Gtels que FfiGne soit pas un sous-espace vectoriel de E.
2êOn suppose k=Ret on se place dans l’espace vectoriel E=RNdes suites numériques à valeurs réelles.
Dans chacun des cas suivants, l’ensemble Fproposé est-il un sous-espace vectoriel de E?
1) Fest l’ensemble des suites (un)nœNœEtelles que u0œZ.
2) Fest l’ensemble des suites constantes de E.
3) Fest l’ensemble des suites monotones de E, c’est-à-dire croissantes ou décroissantes.
4) Fest l’ensemble des suites bornées de E.
5) Fest l’ensemble des suites convergentes de E.
6) Fest l’ensemble des suites divergentes de E.
7) Fest l’ensemble des suites presque nulles (un)nœNœE, c’est-à-dire pour lesquelles il existe NœNtel que
un=0dès que n>N.
8) Fest l’ensemble des suites de (un)nœNœEvérifiant un+2 =aun+1 +bunpour tout nœN,aveca, b œR.
3êOn suppose k=R. Dans chacun des cas suivants, montrer que l’ensemble Eproposé est un espace vectoriel.
1) Eest l’ensemble des fonctions constantes de Rdans R.
2) Pour ·>0,Eest l’ensemble des fonctions f:RæR·-périodiques, c’est-à-dire telles que f(t+·)=f(t)
pour tout tœR.
3) E=C0(R,R)est l’ensemble des fonctions de Rdans Rcontinues sur R.
4) Eest l’ensemble des fonctions de Rdans Rdérivables sur R.
5) Pour nœNú,E=Dn(R,R)est l’ensemble des fonctions de Rdans Rnfois dérivables sur R.
6) Pour nœNú,E=Cn(R,R)est l’ensemble des fonctions de Rdans Rnfois dérivables sur Ret de dérivée
n-ième continue sur R.
7) E=CŒ(R,R)est l’ensemble des fonctions f:RæRtelles que fœCn(R,R)pour tout nœN.
8) Eest l’ensemble des fonctions paires de Rdans R.
9) Eest l’ensemble des fonctions impaires de Rdans R.
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2M371 – Algèbre linéaire 2 Feuille d’exercices no1
4êDans chacun des cas suivants, montrer que l’ensemble Eproposé est un espace vectoriel.
1) Pour nœN,E=kn[X]est l’ensemble des polynômes à coefficients dans kde degré au plus n.
2) Eest l’ensemble des polynômes pairs à coefficients dans k.
3) Eest l’ensemble des polynômes impairs à coefficients dans k.
5êOn suppose k=R. Dans chacun des cas suivants, l’ensemble Eproposé est-il un espace vectoriel ?
1) Eest l’ensemble des triplets (x, y, z)œR3vérifiant x2+y2+z261.
2) Eest l’ensemble des quadruplets (x, y, z, t)œR4vérifiant t=3x≠2y+4z.
3) Eest l’ensemble des triplets (x, y, z)œR3solutions du système :
;x+5y≠3z=0
≠x+y≠4z=0
.
Familles libres, familles génératrices, bases
6êSoit Eun espace vectoriel de dimension finie.
1) Tous les sous-espaces vectoriels de Esont-ils de dimension finie ? Si oui, que peut-on dire de leur dimension ?
2) Soit Fun sous-espace vectoriel de Etel que dim F=dimE. Démontrer que F=E.
3) Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
a. Établir la formule de Grassmann :dim(F+G)=dimF+dimG≠dim(FflG).
b. On suppose Ede dimension 5,etFet Gde dimension 3. Montrer que FflG”={0E}.
7êOn suppose k=R. Dans chacun des cas suivants, les vecteurs proposés forment-ils une famille libre de
R3? une famille génératrice de R3? une base de R3? S’ils forment d’une base de R3, déterminer les coordonnées
du vecteur u=(1,1,1) dans cette base.
1) v1=(≠1,4,1),v2=(2,2,≠3).
2) v1=(1,0,4),v2=(≠1,3,0),v3=(0,0,0).
3) v1=(1,1,0),v2=(1,0,1),v3=(0,1,1).
4) v1=(1,2,3),v2=(4,5,6),v3=(7,8,9).
5) v1=(1,0,≠2),v2=(≠1,1,0),v3=(≠2,1,3).
6) v1=(1,0,2),v2=(0,≠3,1),v3=(≠1,≠5,0),v4=(1,2,1).
8êDans chacun des cas suivant, déterminer une base de l’ensemble Eproposé.
1) k=Q,etEest l’ensemble des quadruplets (x1,x
2,x 3,x 4)œQ4vérifiant x1+x2+x3+x4=0.
2) k=C,etEest l’ensemble des quadruplets (z1,z
2,z 3,z 4)œC4solutions du système :
;z1≠iz2+2z3+2iz4=0
iz1+z2+iz3≠z4=0
.
9êLe corps Cdes nombres complexes est à la fois un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel.
1) a. Rappeler la dimension de Cen tant que R-espace vectoriel, et en donner une base.
b. Rappeler la dimension de Cen tant que C-espace vectoriel, et en donner une base.
c. Soient z1=1+iœCet z2=1≠iœC. La famille (z1,z
2)est-elle libre sur R?etsurC?
2) a. Déterminer la dimension de C2en tant que R-espace vectoriel, et en donner une base.
b. Déterminer la dimension de C2en tant que C-espace vectoriel, et en donner une base.
c. Une famille de C2libre sur Cest-elle libre sur R?etréciproquement?
10 êSoient Eun espace vectoriel et u, v, w œEtels que la famille (u, v, w)soit libre.
1) On suppose, dans cette question seulement, Ede dimension finie. Que peut-on dire de dim E?
2) La famille (u+v, v +w, w +u)est-elle libre ?
3) La famille (u≠v, v ≠w, w ≠u)est-elle libre ?
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2M371 – Algèbre linéaire 2 Feuille d’exercices no1
Applications linéaires
11 êSoient E1et E2deux espaces vectoriels, et f:E1æE2une application linéaire.
1) Soit F1un sous-espace vectoriel de E1.
a. Démontrer que f(F1)={f(x)|xœF1}est un sous-espace vectoriel de E2.
b.En déduire que im fest un sous-espace vectoriel de E2.
2) Soit F2un sous-espace vectoriel de E2.
a. Démontrer que f≠1(F2)={xœE1|f(x)œF2}est un sous-espace vectoriel de E1.
b.En déduire que ker fest un sous-espace vectoriel de E1.
12 êOn suppose k=R. Dans chacun des cas suivants, l’application fproposée est-elle linéaire ? Si oui, est-ce
un endomorphisme ? une forme linéaire ?
1) f:R2æR,(x, y)‘æ xy.
2) f:RæR,x‘æ sin x.
3) f:R3æR3,(x1,x
2,x 3)‘æ (x2≠x1,x 3≠x2,x 3).
4) f:RæR3,x‘æ !2x, ≠x, xÔ2".
5) f:R4æR,(x1,x
2,x 3,x 4)‘æ 3x2≠2x4.
6) f:R[X]æR,P‘æ P(0).
7) f:RNæRN,(un)nœN‘æ (un+1)nœN.
8) f:BæR,(un)nœR‘æ sup{un|nœN}, où Best
l’ensemble des suites bornées de RN.
9) f:CæR,(un)nœR‘æ lim un, où Cest l’ensemble
des suites convergentes de RN.
10) f:DæD,u‘æ uÕ, où Dest l’ensemble des fonctions
dérivables de Rdans R.
13 ê1) On munit Cde sa structure de R-espace vectoriel. Étudier la linéarité des applications suivantes :
Re : CæR,x+iy ‘æ x,Im : CæR,x+iy ‘æ y,|·| :CæR,x+iy ‘æ x2+y2.
2) Pour z=x+iy œC, on rappelle que z=x≠iy est le conjugué de z. Soit alors f:CæC,z‘æ z.
a. On suppose Cmuni de sa structure de R-espace vectoriel. L’application fest-elle linéaire ?
b. On suppose Cmuni de sa structure de C-espace vectoriel. L’application fest-elle linéaire ?
14 êOn rappelle que l’espace vectoriel k[X]n’est pas de dimension finie. On considère les opérateurs Dde
dérivation et Lde multiplication par Xdéfinis par :
D:k[X]æk[X],P(X)= q
kœN
akXk‘æ PÕ(X)= q
kœN
(k+1)ak+1Xket L:k[X]æk[X],q
kœN
akXk‘æ q
kœN
akXk+1.
1) Montrer que Det Lsont des endomorphismes de k[X].
2) Déterminer les images et noyaux de Det L. Qu’en déduisez-vous ?
15 êSoit f:R5æR2,(x1,x
2,x 3,x 4,x 5)‘æ (x1+x2+x3,x 1≠x4≠x5).
1) Montrer que fest linéaire.
2) Déterminer des bases de ker fet im f. L’application fest-elle injective ? surjective ? bijective ?
16 êOn suppose k=R, et on considère E=R3[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de
degré au plus 3. Soit fl’application définie, pour PœE, par f(P)=2P(X)≠(X≠1)PÕ(X).
1) Montrer que fest un endomorphisme de E.
2) Déterminer des bases de ker fet im f.
17 ê1) Soient E1,E2,E3trois espaces vectoriels et f:E1æE2,g:E2æE3deux applications linéaires.
Montrer que g¶fest nulle si et seulement si im fµker g.
2) On suppose k=R, et on considère „:R3æR3,(x, y, z)‘æ (2y+z, z,0).
a. Montrer que „œEnd!R3",etqueker „=im„2.
b.En déduire que „est nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe nœNtel que „n=0.
18 êSoit Eun espace vectoriel.
1) Soit „œEnd(E). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Pour tout vœE, la famille (v, „(v)) est liée.
(ii) Pour tout vœE,ilexiste⁄vœktel que „(v)=⁄vv.
(iii)„est une homothétie, c’est-à-dire qu’il existe ⁄œktel que „(v)=⁄vpour tout vœE.
2) On suppose Ede dimension finie n>0. Déduire de la question précédente que le centre du groupe GL(E),
c’est-à-dire l’ensemble des „œGL(E)vérifiant „¶Â=¶„pour tout ÂœGL(E),estl’ensembledes
homothéties inversibles de E.
19 êSoient Eun espace vectoriel et fune forme linéaire non nulle sur E. Que peut-on dire de f?
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2M371 – Algèbre linéaire 2 Feuille d’exercices no1
Matrices
20 êOn rappelle que, pour p, q œNúet M=(mij )(i,j)œ1,p◊1,qœMp,q (k),latransposée de la matrice M
est la matrice tM=(mÕ
ij )(i,j)œ1,q◊1,pœMq,p(k)où mÕ ij =mji pour tout (i, j)œ1,q◊1,p.
1) Soient p, q œNú.
a. Vérifier que l’application Mp,q(k)æMq,p(k),M‘æ tMest linéaire.
b. Montrer que t(tM)=Mpour toute matrice MœMp,q(k).
c. En déduire que l’application Mp,q(k)æMq,p(k),M‘æ tMest un isomorphisme d’espaces vectoriels.
2) Soient p, q, r, n œNú.
a. Montrer que t(AB)= tBtApour toutes matrices AœMp,q (k)et BœMq,r(k).
b.En déduire que tMœGLn(k)pour toute matrice MœGLn(k),avec(tM)≠1=t(M≠1).
3) Soient p, q œNúet MœMp,q(k). Montrer que Met tMsont de même rang.
21 êSoit nœNú. Dans chacun des cas suivants, montrer que l’ensemble Fproposé est un sous-espace vectoriel
de Mn(k), et préciser sa dimension.
1) Fest l’ensemble des matrices MœMn(k)symétriques, c’est-à-dire telles que tM=M.
2) On suppose que 2”=0dans k,etqueFest l’ensemble des matrices MœMn(k)antisymétriques, c’est-à-dire
telles que tM=M.
3) Fest l’ensemble des matrices M=(mij )i,jœ1,nœMn(k)diagonales, c’est-à-dire telles que mij =0dès que
i, j œ1,nsont distincts.
4) Fest l’ensemble des matrices M=(mij )i,jœ1,nœMn(k)triangulaires supérieures, c’est-à-dire telles que
mij =0dès que i, j œ1,nvérifient i>j.
22 êOn suppose k=R. Dans chacun des cas suivants, les produits matriciels AB et BA sont-ils bien définis ?
Si oui, les calculer.
1) A=312 1
34≠14,B=Q
a
10
21
01
R
b.
2) A=301
01
4,B=300
1≠14.
3) A=312
34
4,B=Q
a
10
21
01
R
b.
4) A=Q
a
10 1
12≠1
31 0R
b,B=Q a
11≠1
012
≠1≠20
R
b.
23 êOn suppose k=R, et on se place dans M2(R), où l’on considère les matrices :
A=312
34
4et B=311
12
4.
Calculer AB,BA,(A≠B)2et A2≠2AB +B2. Que remarque-t-on ?
24 êOn suppose k=R, et on considère la matrice de M3(R)suivante :
A=1
3Q
a
1≠2≠2
≠21≠2
≠2≠21
R
b.
Calculer tAA. La matrice Aest-elle inversible. Si oui, déterminer son inverse.
25 êOn suppose k=R, et on considère les matrices :
A=Q
a
110
101
011
R
b,B=Q a
111
201
132
R
b,C=Q
c
c
a
1212
≠2≠30≠5
4967
1≠1≠55
R
d
d
b
.
1) Déterminer le rang des matrices A,Bet C.
2) Les matrices A,Bet Csont-elles inversibles ? Si oui, calculer leur inverse.
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2M371 – Algèbre linéaire 2 Feuille d’exercices no1
26 êOn suppose k=R. Soient E=(e1,e
2,e 3)la base canonique de R3,etfl’endomorphisme de R3défini,
pour (x, y, z)œR3, par :
f(x, y, z)=(x+y, 2x≠y+z, x +z).
1) Expliciter M= matE(f), la matrice de fdans la base E.
2) Calculer f(1,2,3) de deux manières : en utilisant la définition de fd’une part, et la matrice Md’autre part.
3) Montrer que fest un automorphisme de E.
4) Montrer que la famille B=(b1,b
2,b 3), où b1=(1,1,0),b2=(1,2,1) et b3=(1,3,1), est une base de R3.
5) Soit MÕ= matB(f)la matrice de fdans la base B.
a. Déterminer les coordonnées de f(b1),f(b2)et f(b3)dans la base B. En déduire les composantes de MÕ.
b. Retrouver le résultat de 5.aen utilisant la formule du changement de base.
27 êOn suppose k=Q, et on considère la matrice :
M=Q
a
310
032
003
R
b.
1) a. Déterminer une matrice NœM3(Q)telle que M=3I
3+N.
b. Calculer N2,N3,puisNkpour tout entier k>3.
c. En déduire la valeur de Mk, pour tout entier kœZ.
2) Soient (xn)nœN,(yn)nœN,(zn)nœNles suites à coefficients dans Qdéfinies par :
Y
]
[
x0=1
y0=2
z0=7
puis, pour tout nœN,Y
]
[
xn+1 =3xn+yn
yn+1 =3yn+2zn
zn+1 =3zn
.
a. Pour nœN, on note Xn=t(xn,y
n,z n). Démontrer que Xn=MnX0pour tout nœN.
b. En déduire les valeurs de xn,ynet znpour tout nœN.
28 êOn suppose k=R. On désigne par Ela base canonique de R3, et on note fl’endomorphisme de R3dont
la matrice M= matE(f)dans la base Eest :
M=Q
a
200
4≠2≠4
≠22 4
R
b.
1) Montrer que f¶f=2f.
2) Démontrer, sans étudier im f,quef(v)=2vpour tout vœim f.
3) a. Déterminer des bases de ker fet im f.
b.En déduire que ker fet im fsont supplémentaires dans R3, c’est-à-dire que ker fflim f={(0,0,0)}et
R3=kerf+imf.
4) Montrer qu’il existe une base B=(b1,b
2,b 3)de R3telle que matB(f)=D, où :
D=Q
a
000
020
002
R
b.
5) Soit Pla matrice de M3(R)dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs b1,b
2,b 3dans la base E.
a. Justifier que la matrice Pest inversible.
b.Exprimer Men fonction de D,Pet P≠1.
c. En déduire l’expression de Mn, pour tout entier nœN.
29 êSoit nœNú. On rappelle que la trace sur Mn(k)est définie par :
tr : Mn(k)æk,(mij )i,jœ1,n‘æ
n
q
k=1
mkk.
1) Montrer que tr est une forme linéaire vérifiant, pour tous A, B œMn(k),tr(AB)=tr(BA).
2) Soit „une forme linéaire sur Mn(k). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Pour tous A, B œMn(k), on a „(AB)=„(BA).
(ii)„est proportionnelle à la trace, c’est-à-dire qu’il existe ⁄œktel que „=⁄tr.
5