feuille 1 - CMAP, Polytechnique

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2016/2017
Feuille d’exercices no 1 – Espaces vectoriels et applications linéaires
Dans tout ce qui suit, k désignera un corps commutatif, comme par exemple Q, R ou C. Sauf mention explicite
du contraire, l’expression « espace vectoriel » signifiera « k-espace vectoriel ».
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
1 ê Soit E un espace vectoriel.
1) Soit (Fi )iœI une famille de sous-espaces vectoriels de E. Montrer que :
u
Fi = {x œ E | ’ i œ I, x œ Fi }
iœI
est un sous-espace vectoriel de E.
2) Soient n œ Nú , et F1 , . . . , Fn des sous-espaces vectoriels de E. Montrer que :
F1 + · · · + Fn = {x1 + · · · + xn | x1 œ F1 , . . . , xn œ Fn }
est un sous-espace vectoriel de E.
3) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
a. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) F fi G est un sous-espace vectoriel de E.
(ii) F µ G ou G µ F .
b. Expliciter des espaces E, F et G tels que F fi G ne soit pas un sous-espace vectoriel de E.
2 ê On suppose k = R et on se place dans l’espace vectoriel E = RN des suites numériques à valeurs réelles.
Dans chacun des cas suivants, l’ensemble F proposé est-il un sous-espace vectoriel de E ?
1) F est l’ensemble des suites (un )nœN œ E telles que u0 œ Z.
2) F est l’ensemble des suites constantes de E.
3) F est l’ensemble des suites monotones de E, c’est-à-dire croissantes ou décroissantes.
4) F est l’ensemble des suites bornées de E.
5) F est l’ensemble des suites convergentes de E.
6) F est l’ensemble des suites divergentes de E.
7) F est l’ensemble des suites presque nulles (un )nœN œ E , c’est-à-dire pour lesquelles il existe N œ N tel que
un = 0 dès que n > N .
8) F est l’ensemble des suites de (un )nœN œ E vérifiant un+2 = aun+1 + bun pour tout n œ N, avec a, b œ R.
3 ê On suppose k = R. Dans chacun des cas suivants, montrer que l’ensemble E proposé est un espace vectoriel.
1) E est l’ensemble des fonctions constantes de R dans R.
2) Pour · > 0, E est l’ensemble des fonctions f : R æ R · -périodiques, c’est-à-dire telles que f (t + · ) = f (t)
pour tout t œ R.
3) E = C 0 (R, R) est l’ensemble des fonctions de R dans R continues sur R.
4) E est l’ensemble des fonctions de R dans R dérivables sur R.
5) Pour n œ Nú , E = Dn (R, R) est l’ensemble des fonctions de R dans R n fois dérivables sur R.
6) Pour n œ Nú , E = C n (R, R) est l’ensemble des fonctions de R dans R n fois dérivables sur R et de dérivée
n-ième continue sur R.
7) E = C Œ (R, R) est l’ensemble des fonctions f : R æ R telles que f œ C n (R, R) pour tout n œ N.
8) E est l’ensemble des fonctions paires de R dans R.
9) E est l’ensemble des fonctions impaires de R dans R.
1
2M371 – Algèbre linéaire 2
Feuille d’exercices no 1
4 ê Dans chacun des cas suivants, montrer que l’ensemble E proposé est un espace vectoriel.
1) Pour n œ N, E = kn [X] est l’ensemble des polynômes à coefficients dans k de degré au plus n.
2) E est l’ensemble des polynômes pairs à coefficients dans k.
3) E est l’ensemble des polynômes impairs à coefficients dans k.
5 ê On suppose k = R. Dans chacun des cas suivants, l’ensemble E proposé est-il un espace vectoriel ?
1) E est l’ensemble des triplets (x, y, z) œ R3 vérifiant x2 + y 2 + z 2 6 1.
2) E est l’ensemble des quadruplets (x, y, z, t) œ R4 vérifiant t = 3x ≠ 2y + 4z.
3) E est l’ensemble des triplets (x, y, z) œ R3 solutions du système :
;
x + 5y ≠ 3z = 0
.
≠x + y ≠ 4z = 0
Familles libres, familles génératrices, bases
6 ê Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
1) Tous les sous-espaces vectoriels de E sont-ils de dimension finie ? Si oui, que peut-on dire de leur dimension ?
2) Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E. Démontrer que F = E.
3) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
a. Établir la formule de Grassmann : dim(F + G) = dim F + dim G ≠ dim(F fl G).
b. On suppose E de dimension 5, et F et G de dimension 3. Montrer que F fl G ”= {0E }.
7 ê On suppose k = R. Dans chacun des cas suivants, les vecteurs proposés forment-ils une famille libre de
R3 ? une famille génératrice de R3 ? une base de R3 ? S’ils forment d’une base de R3 , déterminer les coordonnées
du vecteur u = (1, 1, 1) dans cette base.
1) v1 = (≠1, 4, 1), v2 = (2, 2, ≠3).
2) v1 = (1, 0, 4), v2 = (≠1, 3, 0), v3 = (0, 0, 0).
3) v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 1, 1).
4) v1 = (1, 2, 3), v2 = (4, 5, 6), v3 = (7, 8, 9).
5) v1 = (1, 0, ≠2), v2 = (≠1, 1, 0), v3 = (≠2, 1, 3).
6) v1 = (1, 0, 2), v2 = (0, ≠3, 1), v3 = (≠1, ≠5, 0), v4 = (1, 2, 1).
8 ê Dans chacun des cas suivant, déterminer une base de l’ensemble E proposé.
1) k = Q, et E est l’ensemble des quadruplets (x1 , x2 , x3 , x4 ) œ Q4 vérifiant x1 + x2 + x3 + x4 = 0.
2) k = C, et E est l’ensemble des quadruplets (z1 , z2 , z3 , z4 ) œ C4 solutions du système :
;
z1 ≠ iz2 + 2z3 + 2iz4 = 0
.
iz1 + z2 + iz3 ≠
z4 = 0
9 ê Le corps C des nombres complexes est à la fois un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel.
1) a. Rappeler la dimension de C en tant que R-espace vectoriel, et en donner une base.
b. Rappeler la dimension de C en tant que C-espace vectoriel, et en donner une base.
c. Soient z1 = 1 + i œ C et z2 = 1 ≠ i œ C. La famille (z1 , z2 ) est-elle libre sur R ? et sur C ?
2) a. Déterminer la dimension de C2 en tant que R-espace vectoriel, et en donner une base.
b. Déterminer la dimension de C2 en tant que C-espace vectoriel, et en donner une base.
c. Une famille de C2 libre sur C est-elle libre sur R ? et réciproquement ?
10 ê Soient E un espace vectoriel et u, v, w œ E tels que la famille (u, v, w) soit libre.
1) On suppose, dans cette question seulement, E de dimension finie. Que peut-on dire de dim E ?
2) La famille (u + v, v + w, w + u) est-elle libre ?
3) La famille (u ≠ v, v ≠ w, w ≠ u) est-elle libre ?
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2M371 – Algèbre linéaire 2
Feuille d’exercices no 1
Applications linéaires
11 ê Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels, et f : E1 æ E2 une application linéaire.
1) Soit F1 un sous-espace vectoriel de E1 .
a. Démontrer que f (F1 ) = {f (x) | x œ F1 } est un sous-espace vectoriel de E2 .
b. En déduire que im f est un sous-espace vectoriel de E2 .
2) Soit F2 un sous-espace vectoriel de E2 .
a. Démontrer que f ≠1 (F2 ) = {x œ E1 | f (x) œ F2 } est un sous-espace vectoriel de E1 .
b. En déduire que ker f est un sous-espace vectoriel de E1 .
12 ê On suppose k = R. Dans chacun des cas suivants, l’application f proposée est-elle linéaire ? Si oui, est-ce
un endomorphisme ? une forme linéaire ?
1) f : R2 æ R, (x, y) ‘æ xy.
7) f : RN æ RN , (un )nœN ‘æ (un+1 )nœN .
8) f : B æ R, (un )nœR ‘æ sup{un | n œ N}, où B est
l’ensemble des suites bornées de RN .
2) f : R æ R, x ‘æ sin x.
3
3
3) f : R æ R , (x1 , x2 , x3 ) ‘æ (x2 ≠ x1 , x3 ≠ x2 , x3 ).
Ô "
!
9) f : C æ R, (un )nœR ‘æ lim un , où C est l’ensemble
4) f : R æ R3 , x ‘æ 2x, ≠x, x 2 .
des suites convergentes de RN .
5) f : R4 æ R, (x1 , x2 , x3 , x4 ) ‘æ 3x2 ≠ 2x4 .
10) f : D æ D, u ‘æ uÕ , où D est l’ensemble des fonctions
6) f : R[X] æ R, P ‘æ P (0).
dérivables de R dans R.
13 ê 1) On munit C de sa structure de R-espace vectoriel. Étudier la linéarité des applications suivantes :

Re : C æ R, x + iy ‘æ x,
Im : C æ R, x + iy ‘æ y,
| · | : C æ R, x + iy ‘æ x2 + y 2 .
2) Pour z = x + iy œ C, on rappelle que z = x ≠ iy est le conjugué de z. Soit alors f : C æ C, z ‘æ z.
a. On suppose C muni de sa structure de R-espace vectoriel. L’application f est-elle linéaire ?
b. On suppose C muni de sa structure de C-espace vectoriel. L’application f est-elle linéaire ?
14 ê On rappelle que l’espace vectoriel k[X] n’est pas de dimension finie. On considère les opérateurs D de
dérivation et L de multiplication par X définis par :
q
q
q
q
k
Õ
k
k
k+1
D : k[X] æ k[X], P (X) =
kœN
ak X ‘æ P (X) =
(k + 1)ak+1 X
kœN
et
L : k[X] æ k[X],
kœN
ak X ‘æ
ak X
.
kœN
1) Montrer que D et L sont des endomorphismes de k[X].
2) Déterminer les images et noyaux de D et L. Qu’en déduisez-vous ?
15 ê Soit f : R5 æ R2 , (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ‘æ (x1 + x2 + x3 , x1 ≠ x4 ≠ x5 ).
1) Montrer que f est linéaire.
2) Déterminer des bases de ker f et im f . L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
16 ê On suppose k = R, et on considère E = R3 [X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de
degré au plus 3. Soit f l’application définie, pour P œ E, par f (P ) = 2P (X) ≠ (X ≠ 1)P Õ (X).
1) Montrer que f est un endomorphisme de E.
2) Déterminer des bases de ker f et im f .
17 ê 1) Soient E1 , E2 , E3 trois espaces vectoriels et f : E1 æ E2 , g : E2 æ E3 deux applications linéaires.
Montrer que g ¶ f est nulle si et seulement si im f µ ker g.
2) On suppose k = R, et on !considère
„ : R3 æ R3 , (x, y, z) ‘æ (2y + z, z, 0).
"
3
a. Montrer que „ œ End R , et que ker „ = im „2 .
b. En déduire que „ est nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe n œ N tel que „n = 0.
18 ê Soit E un espace vectoriel.
1) Soit „ œ End(E). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Pour tout v œ E, la famille (v, „(v)) est liée.
(ii) Pour tout v œ E, il existe ⁄v œ k tel que „(v) = ⁄v v.
(iii) „ est une homothétie, c’est-à-dire qu’il existe ⁄ œ k tel que „(v) = ⁄v pour tout v œ E.
2) On suppose E de dimension finie n > 0. Déduire de la question précédente que le centre du groupe GL(E),
c’est-à-dire l’ensemble des „ œ GL(E) vérifiant „ ¶  =  ¶ „ pour tout  œ GL(E), est l’ensemble des
homothéties inversibles de E.
19 ê Soient E un espace vectoriel et f une forme linéaire non nulle sur E. Que peut-on dire de f ?
3
2M371 – Algèbre linéaire 2
Feuille d’exercices no 1
Matrices
20 ê On rappelle que, pour p, q œ Nú et M = (mij )(i,j)œ 1,p ◊ 1,q œ Mp,q (k), la transposée de la matrice M
est la matrice t M = (mÕij )(i,j)œ 1,q ◊ 1,p œ Mq,p (k) où mÕij = mji pour tout (i, j) œ 1, q ◊ 1, p .
1) Soient p, q œ Nú .
a. Vérifier que l’application Mp,q (k) æ Mq,p (k) , M ‘æ t M est linéaire.
b. Montrer que t (t M ) = M pour toute matrice M œ Mp,q (k).
c. En déduire que l’application Mp,q (k) æ Mq,p (k) , M ‘æ t M est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
2) Soient p, q, r, n œ Nú .
a. Montrer que t (AB) = t B t A pour toutes matrices A œ Mp,q (k) et B œ Mq,r (k).
b. En déduire que t M œ GLn (k) pour toute matrice M œ GLn (k), avec (t M )≠1 = t (M ≠1 ).
3) Soient p, q œ Nú et M œ Mp,q (k). Montrer que M et t M sont de même rang.
21 ê Soit n œ Nú . Dans chacun des cas suivants, montrer que l’ensemble F proposé est un sous-espace vectoriel
de Mn (k), et préciser sa dimension.
1) F est l’ensemble des matrices M œ Mn (k) symétriques, c’est-à-dire telles que t M = M .
2) On suppose que 2 ”= 0 dans k, et que F est l’ensemble des matrices M œ Mn (k) antisymétriques, c’est-à-dire
telles que t M = M .
3) F est l’ensemble des matrices M = (mij )i,jœ
i, j œ 1, n sont distincts.
1,n
4) F est l’ensemble des matrices M = (mij )i,jœ
mij = 0 dès que i, j œ 1, n vérifient i > j.
1,n
œ Mn (k) diagonales, c’est-à-dire telles que mij = 0 dès que
œ Mn (k) triangulaires supérieures, c’est-à-dire telles que
22 ê On suppose k = R. Dans chacun des cas suivants, les produits matriciels AB et BA sont-ils bien définis ?
Si oui, les calculer.
Q
R
Q
R
3
4
3
4
1 0
1 0
1 2 1
1
2
1) A =
, B = a 2 1 b.
3) A =
, B = a 2 1 b.
3 4 ≠1
3 4
0 1
0 1
Q
R
Q
R
3
4
3
4
1 0 1
1
1 ≠1
0 1
0 0
2) A =
, B=
.
1
2 b.
4) A = a 1 2 ≠1 b, B = a 0
0 1
1 ≠1
3 1 0
≠1 ≠2 0
23 ê On suppose k = R, et on se place dans M2 (R), où l’on considère les matrices :
3
4
3
4
1 2
1 1
A =
et
B =
.
3 4
1 2
Calculer AB, BA, (A ≠ B)2 et A2 ≠ 2AB + B 2 . Que remarque-t-on ?
24 ê On suppose k = R, et on considère la matrice de M3 (R) suivante :
Q
R
1 ≠2 ≠2
1a
≠2 1 ≠2 b .
A =
3
≠2 ≠2 1
Calculer t AA. La matrice A est-elle inversible. Si oui, déterminer son inverse.
25 ê On suppose k = R, et on considère les matrices :
Q
1
A = a 1
0
1
0
1
R
0
1 b,
1
Q
1
B = a 2
1
R
1 1
0 1 b,
3 2
1) Déterminer le rang des matrices A, B et C.
Q
1
c ≠2
C = c
a 4
1
2) Les matrices A, B et C sont-elles inversibles ? Si oui, calculer leur inverse.
4
2
≠3
9
≠1
1
0
6
≠5
R
2
≠5 d
d.
7 b
5
2M371 – Algèbre linéaire 2
Feuille d’exercices no 1
26 ê On suppose k = R. Soient E = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 , et f l’endomorphisme de R3 défini,
pour (x, y, z) œ R3 , par :
f (x, y, z) = (x + y, 2x ≠ y + z, x + z).
1)
2)
3)
4)
5)
Expliciter M = matE (f ), la matrice de f dans la base E.
Calculer f (1, 2, 3) de deux manières : en utilisant la définition de f d’une part, et la matrice M d’autre part.
Montrer que f est un automorphisme de E.
Montrer que la famille B = (b1 , b2 , b3 ), où b1 = (1, 1, 0), b2 = (1, 2, 1) et b3 = (1, 3, 1), est une base de R3 .
Soit M Õ = matB (f ) la matrice de f dans la base B.
a. Déterminer les coordonnées de f (b1 ), f (b2 ) et f (b3 ) dans la base B. En déduire les composantes de M Õ .
b. Retrouver le résultat de 5.a en utilisant la formule du changement de base.
27 ê On suppose k = Q, et on considère la matrice :
Q
3
M = a 0
0
R
1 0
3 2 b.
0 3
1) a. Déterminer une matrice N œ M3 (Q) telle que M = 3 I3 +N .
b. Calculer N 2 , N 3 , puis N k pour tout entier k > 3.
c. En déduire la valeur de M k , pour tout entier k œ Z.
2) Soient (xn )nœN , (yn )nœN , (zn )nœN les suites à coefficients dans Q définies par :
Y
Y
] x0 = 1
] xn+1 = 3xn + yn
y0 = 2
yn+1 = 3yn + 2zn .
puis, pour tout n œ N,
[
[
z0 = 7
zn+1 = 3zn
a. Pour n œ N, on note Xn = t (xn , yn , zn ). Démontrer que Xn = M n X0 pour tout n œ N.
b. En déduire les valeurs de xn , yn et zn pour tout n œ N.
28 ê On suppose k = R. On désigne par E la base canonique de R3 , et on note f l’endomorphisme de R3 dont
la matrice M = matE (f ) dans la base E est :
Q
R
2
0
0
M = a 4 ≠2 ≠4 b .
≠2 2
4
1) Montrer que f ¶ f = 2f .
2) Démontrer, sans étudier im f , que f (v) = 2v pour tout v œ im f .
3) a. Déterminer des bases de ker f et im f .
b. En déduire que ker f et im f sont supplémentaires dans R3 , c’est-à-dire que ker f fl im f = {(0, 0, 0)} et
R3 = ker f + im f .
4) Montrer qu’il existe une base B = (b1 , b2 , b3 ) de R3 telle que matB (f ) = D, où :
Q
R
0 0 0
D = a 0 2 0 b.
0 0 2
5) Soit P la matrice de M3 (R) dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs b1 , b2 , b3 dans la base E.
a. Justifier que la matrice P est inversible.
b. Exprimer M en fonction de D, P et P ≠1 .
c. En déduire l’expression de M n , pour tout entier n œ N.
29 ê Soit n œ Nú . On rappelle que la trace sur Mn (k) est définie par :
tr : Mn (k) æ k, (mij )i,jœ
1,n
‘æ
n
q
mkk .
k=1
1) Montrer que tr est une forme linéaire vérifiant, pour tous A, B œ Mn (k), tr(AB) = tr(BA).
2) Soit „ une forme linéaire sur Mn (k). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Pour tous A, B œ Mn (k), on a „(AB) = „(BA).
(ii) „ est proportionnelle à la trace, c’est-à-dire qu’il existe ⁄ œ k tel que „ = ⁄ tr.
5