chapitre : iii

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Faculté de la technologie
Tronc Commun
Module Physique I
Cours ( 2016-2017)
NADIA. BENHALIMA
‫ وزدني علما‬،‫ وانفعني بما علمتني‬،‫اللهم علمني ما ينفعني‬
CHAPITRE : III
Dynamique du point
1.Première loi de Newton Principe d’inertie
2.Deuxième loi de Newton Principe fondamental de la dynamique (PFD)
2.1.Définition d’une force
2.2.Forces à distance
2.3.Forces de contact
2.4.Force de Tension
2.5.Forces de frottement dans un fluide (visqueux)
2.6.Forces de frottement (friction) statique et cinétique
3.Troisième loi de Newton Principe de l’action et de la réaction
4.Application de la relation fondamentale de la dynamique (RFD)
4.1.Chute libre sans frottement
4.2.pendule simple
4.3.Tension d'un ressort
5.Notion de quantité de mouvement
5.1.Domaine de validité de la conservation de la quantité de mouvement
5.2.Chocs élastiques – chocs inélastique
6.Moment cinétique
6.1.Théorème du moment cinétique
6.2.Etude du pendule simple
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Dynamique du point
La dynamique en physique est la science qui étudie la relation entre le corps en mouvement
et les causes qui provoquent ce mouvement. Elle prédit aussi le mouvement du corps situé
dans un milieu déterminé.
La dynamique, plus précisément, est l’analyse de la relation entre la force appliquée et les
changements du mouvement du corps.
1.Première loi de Newton Principe d’inertie
Les systèmes soumis à des forces extérieures dont la somme vectorielle est nulle sont appelés
systèmes pseudo-isolés (ou isolés s’ils ne subissent aucune force – cas idéal).
Le centre d’inertie d’un système isolé est en mouvement rectiligne et uniforme ou au repos
dans un référentiel galiléen.
De manière équivalente :
⃗ ⟺ (𝒗
⃗ 𝒆𝒙𝒕 = 𝟎
⃗ = 𝒄𝒕𝒆)
∑𝑭
On appelle référentiel galiléen un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié. Tout
référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est galiléen.
Un référentiel n’est donc pas galiléen s’il tourne, accélère ou freine par rapport à un
référentiel galiléen.
exemple
⃗ + 𝐹𝑔 = ⃗0 → 𝑇
⃗ + 𝑚𝑔 = ⃗0
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = ⃗0 → 𝑇
𝑇 − 𝑀𝑔 = 0 → 𝑇 = 𝑀𝑔
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2. Deuxième loi de Newton Principe fondamental de la dynamique (PFD)
2.1. Définition d’une force
On appelle force la grandeur vectorielle décrivant une interaction capable de produire un
mouvement ou encore de créer une déformation.
La force est représentée par un vecteur caractérisé par :
 son point d'application (le point matériel)
 sa direction
 son sens
 son intensité
L'intensité d'une force se mesure à l'aide d'un dynamomètre et s'exprime en Newton (N) dans
le système international d'unités.
Un point matériel est dit isolé s'il n'est soumis à aucune interaction mécanique avec
l'extérieur. C'est le cas d'un corps seul dans l'espace loin de tout autre masse.
2.2. Forces à distance
Il arrive souvent que deux corps interagissent, bien qu’ils soient séparés par un espace.
Dans un référentiel Galiléen la somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur
un point matériel est égale au produit du vecteur accélération et de la masse du point
matériel :
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎
a) Interaction de gravitation et poids
Deux corps A et B, assimilables à des points, s’attirent mutuellement. L’attraction qu’ils
exercent l’un sur l’autre est :
Proportionnelle à leur masse 𝑚𝐴 et 𝑚𝐵 .
Inversement
proportionnelle au carré de la distance d entre les deux points.
Les forces qui modélisent cette interaction mutuelle a les caractéristiques suivantes :
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
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Leur point d’application est tel que la force exercée par A sur B s’applique en B et la
force exercée par B sur A s’applique en A.

Direction : droite AB

Sens : vers le centre attracteur

Valeur : 𝐹𝐴⁄ = 𝐹𝐵⁄ = 𝐺
𝐵
𝑚𝐴 .𝑚𝐵
𝑑2
𝐴
et G est la constante universelle de la gravitation
( 𝐺 = 6,67 × 10−11 𝑁 ⋅ 𝑚2 . 𝑘𝑔−2 )
𝐹=𝐺
𝑚𝐴 . 𝑚𝐵
𝑢
⃗
𝑑2
La force de gravitation intervient pour expliquer la formation des planètes, des étoiles et des
galaxies ainsi que leur mouvement.
b) Interaction coulombienne, force électrostatique
Considérons deux charges électriques et ponctuelles 𝑞1 et 𝑞2 , placé dans le vide. La charge
𝑞1 exerce sur 𝑞2 une force 𝐹 qui peut être attractive ou répulsive suivant le signe du produit
𝑞1 𝑞2 .

1
Valeur : 𝐹𝐴⁄ = 𝐹𝐵⁄ = 4𝜋𝜀
𝐵
𝐴
𝑞𝐴 .𝑞𝐵
0
𝑑2
=𝑘
𝐹=
𝑞𝐴 .𝑞𝐵
𝑑2
1
avec 𝑘 = 4𝜋𝜀 = 9. 109 𝑆𝐼
0
1 𝑞𝐴 . 𝑞𝐵
𝑢
⃗
4𝜋𝜀0 𝑑 2
𝜀0 est appelée permittivité du vide
c) Force magnétique
Une charge q qui se déplace avec une vitesse 𝑣 dans un champ magnétique caractérisé par le
⃗ subit une force magnétique appelée force de Lorentz 𝑓𝑚 donnée par :
vecteur 𝐵
⃗
𝑓𝑚 = 𝑞 𝑣 ∧ 𝐵
2.3. Forces de contact
Elles apparaissent chaque fois que deux corps sont en contact.
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Exemples
⃗ + 𝑛⃗ + 𝐹𝑔 = 𝑚𝑎
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎 → 𝑇
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 → 𝑇 = 𝑚𝑎𝑥 → 𝑎𝑥 =
𝑇
𝑚
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 → 𝑛 − 𝐹𝑔 = 0 → 𝑛 = 𝐹𝑔
∑𝐹 = 𝑚 𝑎 → {
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚 𝑎𝑥 → 𝑚𝑔 sin 𝜃 = 𝑚 𝑎𝑥
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦 = 0 → 𝑛 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 = 0
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𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2
∑ 𝐹𝑥 = 𝑀 𝑎𝑥 → 𝐹 − 𝑀𝑔 sin 𝜃 = 𝑀 𝑎𝑥
∑𝐹 = 𝑚 𝑎 → {
∑ 𝐹𝑦 = 𝑀 𝑎𝑦 = 0 → 𝑁 − 𝑀𝑔 cos 𝜃 = 0 → 𝑁 = 𝑀𝑔 cos 𝜃
2.4.Force de Tension
{
∑ 𝐹𝑥 (𝑚1 ) = 𝑚1 𝑎𝑥 → 𝑇 = 𝑚1 𝑎𝑥
∑ 𝐹𝑦 (𝑚1 ) = 0 → 𝑁1 − 𝑚1 𝑔 = 0
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∑ 𝐹𝑥 (𝑚2 ) = 𝑚1 𝑎𝑥 → 𝐹 − 𝑇 = 𝑚2 𝑎𝑥
∑ 𝐹𝑦 (𝑚2 ) = 0 → 𝑁2 − 𝑚2 𝑔 = 0
Frottement dans l'air
Dans le vide
 Seule la force d'attraction terrestre agit sur l'objet.
 Tous les objets tombent avec la même accélération
Dans l'air
En présence d'air, une force de frottement apparait, dirigée dans le sens opposé au
mouvement.
Cette force de frottement dépend d'un grand nombre de paramètres:
 la densité du fluide
 la viscosité du fluide
 la surface effective de l'objet
 la forme de l'objet
 la vitesse de l'objet
2.5. Forces de frottement dans un fluide (visqueux)
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Frottements linéaires
Dans le cas d’une vitesse faible, la force de frottement est proportionnelle à la vitesse 𝑓 =
−𝑘𝑣
, avec k est une constante qui dépend de la nature du fluide et des caractéristiques de
l’objet.
Frottements quadratiques
Dans le cas d’une vitesse importante, la force de frottement est proportionnelle au carré de la
vitesse : 𝑓 = −𝑘 ′ 𝑣 𝑣
avec 𝑘 ′ est aussi une constante qui dépend du fluide et des
1
caractéristiques de l’objet mais elle prend une autre forme que k : 𝑘 ′ = 2 𝜂 𝐶𝑥 𝑆 ,avec 𝜂 la
viscosité du fluide, 𝑆 la surface frontale de l’objet et 𝐶𝑥 le coefficient de trainée qui dépend de
la géométrie du corps.
Cas de frottements linéaires
∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝑝 + 𝑓 = 𝑚𝑎
Le PFD donne : 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 = 𝑚𝑎
En projetant dans le sens du mouvement (l’axe Oz vertical ascendant) :
𝑑𝑣
+ 𝑘𝑣 = −𝑚𝑔
𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑘
𝑑𝑣 1
+ 𝑣 = −𝑔 →
+ 𝑣 = −𝑔
𝑑𝑡 𝑚
𝑑𝑡 𝜏
−𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 = 𝑚 𝑎 → 𝑚
Résolution de cette équation, la solution s’écrit comme:
𝑣(𝑡) = 𝑣𝑝 (𝑡) + 𝑣𝑠𝑠𝑚 (𝑡)
Avec 𝑣𝑝 est la solution particulière telle que v est constante donc
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=0
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𝑘
𝑚
𝑣𝑝 (𝑡) = −𝑔 ⟹ 𝑣𝑝 (𝑡) = − 𝑔
𝑚
𝑘
avec 𝜏 =
𝑚
𝑘
𝑣𝑝 (𝑡) = −𝜏 𝑔
𝑣𝑠𝑠𝑚 (𝑡) est la solution sans second membre telle que −𝑚𝑔 = 0
𝑑𝑣
+ 𝑘𝑣 = −𝑚𝑔
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑚
+ 𝑘𝑣 = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑣 1
+ 𝑣=0
𝑑𝑡 𝜏
𝑑𝑣 1 1
+ =0
𝑣 𝑑𝑡 𝜏
𝑑𝑣 1
1
=−
𝑣 𝑑𝑡
𝜏
𝑚
𝑑𝑣
𝑣
1
= − 𝜏 dt
𝑑𝑣
1 𝑡
𝑡
∫
= − ∫ 𝑑𝑡 ⟶ ln 𝑣 = − + 𝑐
𝑣
𝜏 0
𝜏
𝑡
𝑡
𝑡
𝑒 ln 𝑣 = 𝑒 −𝜏+𝑐 ⟶ 𝑣 = 𝑒 −𝜏 𝑒 𝑐 ⟶ 𝑣 = 𝐴𝑒 −𝜏 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 = 𝑒 𝑐
𝑡
𝑣𝑠𝑠𝑚 (𝑡) = 𝐴𝑒 −𝜏
Et enfin :
𝑡
𝑣(𝑡) = 𝑣𝑝 (𝑡) + 𝑣𝑠𝑠𝑚 (𝑡) = −𝜏 𝑔 + 𝐴𝑒 −𝜏
𝑡
𝑣(𝑡) = −𝜏 𝑔 + 𝐴𝑒 −𝜏
On peut maintenant déterminer A à l’aide des conditions initiales :
A = 0 : 𝑣(𝑡 = 0) = 0 = 𝐴 − 𝑔 𝜏 ⟹ 𝐴 = 𝑔 𝜏
𝑡
𝑡
𝑣(𝑡) = −𝜏 𝑔 + 𝑔 𝜏 𝑒 −𝜏 = 𝜏 𝑔 (−1 + 𝑒 −𝜏 )
𝑡
𝑣(𝑡) = 𝜏 𝑔 (𝑒 −𝜏 − 1)
Attention, rappelons que cette vitesse est négative puisque le corps qui chute se dirige suivant
l’axe Oz descendant.
2.6.Forces de frottement (friction) statique et cinétique
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Lorsqu’il y a deux objets en contact, il y a du frottement de surface. Par contre, on peut définir
deux types de frottement : statique et cinétique.
 Statique : Force de frottement agissant sur un objet immobile par rapport à la surface
de contact.
 Cinétique : Force de frottement agissant sur un objet en mouvement par rapport à la
surface de contact.
Force de frottement statique
On pose sur une table horizontale un objet de masse m. Si l'objet est au repos, il est soumis à
⃗ . Ensuite, on tente de le déplacer en
deux forces, son poids 𝑃⃗ et la réaction de la table 𝑁
appliquant la force horizontale 𝐹 : une force de frottement statique 𝑓 tend à s'y opposer.
Le rôle du frottement statique est d’annuler l’action des autres forces voulant provoquer un
mouvement parallèle à la surface de contact jusqu’à une valeur limite 𝑓𝑠 𝑚𝑎𝑥 :
⃗
𝑓𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑆 𝑁
 𝑓𝑠 𝑚𝑎𝑥 : Force de frottement statique maximale (N)
 𝜇𝑠 : coefficient de frottement statique
⃗ : Force normale (N).
 𝑁
 Le corps est au repos : ∑ 𝐹 = ⃗0
Le frottement cinétique
Plus la force normale sera grande, plus le frottement cinétique sera grand. Ce frottement
s’applique seulement si l’objet subissant le frottement est en mouvement par rapport à sa
surface de contact :
⃗
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 𝑁
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{
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𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 𝑁
→ 𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 𝑚𝑔
𝑁 = 𝑚𝑔
 𝑓𝑐 : Force de friction cinétique (N).
 𝜇𝑐 : Coefficient de frottement cinétique (pas d’unité).
⃗ : Force normale (N).
 𝑁
{
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 𝑁
→ 𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 𝑚𝑔 cos 𝛼
𝑁 = 𝑚𝑔 cos 𝛼
3. Troisième loi de Newton Principe de l’action et de la réaction
Contrairement aux deux premières lois de Newton, cette troisième loi ne relie pas le
mouvement aux forces : elle concerne deux systèmes en interaction.
Si un objet (1) exerce une force, 𝐹1→2 , sur un autre objet (2), ce dernier exerce en retour
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une force, −𝐹2→1 , d’intensité égale mais de sens opposée:
𝐹1→2 = −𝐹2→1
4.Application de la relation fondamentale de la dynamique (RFD)
4.1.Chute libre sans frottement
On tire un projectile M avec une vitesse 𝑣0 dans le champ de pesanteur uniforme. M est en O
à 𝑡 = 0. le plan (𝑥𝑂𝑦) est appelé plan de tir car il contient les vecteurs 𝑣0 et 𝑔 .
coordonnées du vecteur vitesse initiale sont
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝛼
𝑣0 = {𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝛼
𝑣0𝑧 = 0
Le projectile, en chute libre, ne subit que son poids 𝑃⃗ = 𝑚. 𝑔; cette force est verticale, vers le
bas et de valeur constante 𝑎 = 𝑔
Vecteur vitesse instantanée
𝑑𝑣𝑥 (𝑡)
=0
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑦 (𝑡)
𝑎𝑦 (𝑡) =
= −𝑔
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑧 (𝑡)
(𝑡) =
𝑎
=0
𝑧
{
𝑑𝑡
𝑎𝑥 (𝑡) =
𝑣𝑥 (𝑡) = 𝐶1
𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑒𝑟 {𝑣𝑦 (𝑡) = −𝑔 . 𝑡 + 𝐶2
𝑣𝑧 (𝑡) = 𝐶3
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où 𝐶1 , 𝐶2 et 𝐶3 sont des constantes d’intégration, que l’on déterminer par exemple à l’aide des
conditions initiales,
𝑣𝑥 (0) = 𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝛼 = 𝐶1
𝑣(0) = 𝑣0 = {𝑣𝑦 (0) = 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝛼 = −𝑔 . 0 + 𝐶2 = 𝐶2
𝑣𝑧 (0) = 𝑣0𝑧 = 0 = 𝐶3
𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣0 cos 𝛼
{𝑣𝑦 (𝑡) = −𝑔 . 𝑡 + 𝑣0 sin 𝛼
𝑣𝑧 (𝑡) = 0
Vecteur position
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑡) s’obtiennent par intégration sur le temps,
Les coordonnées du vecteur position 𝑂𝑀
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑦(𝑡)
𝑦𝑦 (𝑡) =
𝑑𝑡
𝑑𝑧(𝑡)
{ 𝑣𝑧 (𝑡) = 𝑑𝑡
𝑣𝑥 (𝑡) =
𝑥(𝑡) = 𝑣0 cos 𝛼 . 𝑡 + 𝐶4
1
𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑒𝑟 {𝑦(𝑡) = − 𝑔 . 𝑡 2 + 𝑣0 sin 𝛼 . 𝑡 + 𝐶5
2
𝑧(𝑡) = 𝐶6
𝐶4 , 𝐶5 et 𝐶6 sont des constantes d’intégration que l’on peut déterminer à l’aide des conditions
initiales : si M est initialement à l’origine O, alors 𝐶4 = 𝐶 5 = 𝐶 6 = 0
𝑥(𝑡) = 𝑣0 cos 𝛼 . 𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑡) = {𝑦(𝑡) = − 1 𝑔 . 𝑡 2 + 𝑣 sin 𝛼 . 𝑡
𝑂𝑀
0
2
𝑧(𝑡) = 0
Equation cartésienne de la trajectoire
L’équation horaire 𝑥(𝑡) = 𝑣0 cos 𝛼 . 𝑡 permet d’exprimer le temps 𝑡 = 𝑣
𝑥
0 cos 𝛼
1
𝑥2
𝑥
𝑦=− 𝑔. 2
+ 𝑣0 sin 𝛼 .
2
2 𝑣0 cos 𝛼
𝑣0 cos 𝛼
1
𝑥2
𝑦=− 𝑔. 2
+ 𝑥 tan 𝛼
2 𝑣0 cos 𝛼 2
𝑔
𝑦=−
𝑥 2 + 𝑥 tan 𝛼
2
2
2 𝑣0 cos 𝛼
On retrouve une équation de trajectoire parabolique, dans le plan de tir, incurvée (ouverte)
vers le bas.
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Caractéristiques de la trajectoire
La flèche
Au sommet de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse s’annule : 𝑣𝑦 (𝑡𝑠 ) = 0.
D’après l’équation horaire de cette grandeur, le sommet est atteint à la date
𝑣𝑦 (𝑡𝑠 ) = 0 → −𝑔 . 𝑡𝑠 + 𝑣0 sin 𝛼 = 0
𝑡𝑠 =
𝑣0 sin 𝛼
𝑔
1 𝑣0 2 sin 𝛼 2
𝑣0 sin 𝛼
𝑦(𝑡) = − 𝑔 .
+
𝑣
sin
𝛼
.
0
2
𝑔2
𝑔
𝑦(𝑡) = −
1 𝑣0 2 sin 𝛼 2 𝑣0 2 sin 𝛼 2
.
+
2
𝑔
𝑔
1 𝑣0 2 sin 𝛼 2
𝑦(𝑡) = .
2
𝑔
La portée
La portée est l’abscisse 𝑥𝑃 du point P pour lequel l’altitude est nulle : c’est la distance totale
au sol parcourue par l’objet.
1
𝑥𝑃 2
𝑦(𝑥𝑃 ) = − 𝑔 . 2
+ 𝑥𝑃 tan 𝛼 = 0
2 𝑣0 cos 𝛼 2
1
𝑥𝑃
𝑦(𝑥𝑃 ) = (− 𝑔 . 2
+ tan 𝛼) 𝑥𝑃 = 0
2 𝑣0 cos 𝛼 2
𝑥𝑃 = 0 (point de lancer)
1
𝑥𝑃
− 𝑔. 2
+ tan 𝛼 = 0
2 𝑣0 cos 𝛼 2
1
𝑥𝑃
𝑔. 2
= tan 𝛼
2 𝑣0 cos 𝛼 2
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2 𝑣0 2 cos 𝛼 2 tan 𝛼 2 𝑣0 2 cos 𝛼 2 sin 𝛼 2 𝑣0 2 cos 𝛼 sin 𝛼
= tan 𝛼 → 𝑥𝑃 =
=
=
𝑔
𝑔
cos 𝛼
𝑔
2 𝑣0 2 cos 𝛼 2
𝑔 𝑥𝑃
𝑥𝑃 =
𝑣0 2 sin 2𝛼
𝑔
La portée croît avec 𝑣0 2 ; elle est maximale, pour vo donné, lorsque 𝛼 = 45°
4.2. Pendule simple
Pendule simple est constitue d'une bille de masse m, suspendue à un fil de longueur l. On
écarte le pendule d'un angle 𝜃0 par rapport à la verticale et on l'abandonne sans vitesse
initiale.
⃗ =𝑚𝑎
𝑃⃗ + 𝑇
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑙 𝑢
⃗𝑟
𝑣=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑑(𝑙 𝑢
⃗ 𝑟 ) 𝑑𝑙
𝑑𝑢
⃗𝑟
𝑑𝑢
⃗𝑟
𝑑𝑢
⃗ 𝑟 𝑑𝜃
=
=
𝑢
⃗𝑟+𝑙
=𝑙
= 𝑙[
. ]
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑣 = 𝑙 𝜃̇ 𝑢
⃗𝜃
⃗ 𝜃 ) 𝑑𝑙
𝑑 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 𝑑𝑣 𝑑(𝑙 𝜃̇ 𝑢
𝑑𝜃̇
𝑑𝑢
⃗𝜃
̇𝑢
𝑎=
=
=
=
𝜃
⃗
+
𝑙
𝑢
⃗ 𝜃 + 𝑙𝜃̇
𝜃
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎 = 𝑙𝜃̈𝑢
⃗ 𝜃 + 𝑙𝜃̇ [
𝑑𝑢
⃗ 𝜃 𝑑𝜃
.
] = 𝑙𝜃̈𝑢
⃗ 𝜃 − 𝑙𝜃̇ [𝑢
⃗ 𝑟 . 𝜃̇ ]
𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑎 = 𝑙 𝜃̈ 𝑢
⃗ 𝜃 − 𝑙 𝜃̇ 2 𝑢
⃗𝑟
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𝑎 = 𝑎𝜃 𝑢
⃗ 𝜃 + 𝑎𝑟 𝑢
⃗𝑟
Par ailleurs, les forces exprimées dans la base polaire (𝑢
⃗𝑟 ; 𝑢
⃗ 𝜃 ) s'écrivent :
{
𝑃⃗ = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑢
⃗ 𝑟 − 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑢
⃗𝜃
⃗ = −𝑇 𝑢
𝑇
⃗𝑟
∑ 𝐹𝑟 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑇 = 𝑚 𝑎𝑟 = −𝑚 𝑙 𝜃̇ 2
∑𝐹 = 𝑚 𝑎 → {
∑ 𝐹𝜃 = − 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑚 𝑎𝜃 = 𝑚 𝑙 𝜃̈
∑ 𝐹𝑟 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑇 = −𝑚 𝑙 𝜃̇ 2 → 𝑻 = 𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒎 𝒍 𝜽̇ 𝟐
{
𝑔
∑ 𝐹𝜃 = − 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑚 𝑙 𝜃̈ → 𝜃̈ + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0
𝑙
𝑔
𝜃̇𝜃̈ + 𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0
𝑙
1 𝑑(𝜃̇ 2 ) 𝑔 𝑑(𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑑(𝑐𝑡𝑒)
−
=
2 𝑑𝑡
𝑙
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝟏 𝟐 𝒈
𝜽̇ − 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒄𝒕𝒆
𝟐
𝒍
Si à 𝑡 = 0, 𝜽(𝟎) = 𝜽𝟎 et 𝜃̇ (0) = 0, on obtient
𝑔
0 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 = 𝑐𝑡𝑒
𝑙
1 2 𝑔
𝑔
2𝑔
( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 )
𝜃̇ − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = − 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 → 𝜃̇ 2 =
2
𝑙
𝑙
𝑙
2𝑔
( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 )
𝑇 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑚 𝑙 𝜃̇ 2 → 𝑇 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑚 𝑙
𝑙
𝑇 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 2𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 2𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃0
𝑇 = 3 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 2𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃0
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𝑇 = 𝑚𝑔 (3𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 )
4.3. Tension d'un ressort
Considérons un ressort horizontal, de longueur à vide 𝑙0 et de raideur 𝑘.
⃗
⃗ =𝟎
𝑭
(𝒍 − 𝒍𝟎 ) = 𝟎
 Si le ressort est allongé (𝑙 > 𝑙0 ) Il exerce une force de rappel proportionnelle à son
allongement (𝑙 − 𝑙0 ). La constante de proportionnalitée est k :
⃗ 𝒙 ) → ⃗𝑭 = −𝒌 (𝒍 − 𝒍𝟎 ) 𝒖
⃗𝒙
𝐹 = 𝑘 (𝑙 − 𝑙0 )(−𝒖
 Si le ressort est comprimé (𝑙 < 𝑙0 ) Il exerce une force de rappel proportionnelle à
son allongement ( 𝑙0 − 𝑙 ). La constante de proportionnalitée est k :
⃗ = −𝒌 (𝒍 − 𝒍𝟎 ) 𝒖
⃗𝒙→𝑭
⃗𝒙
 𝐹 = 𝑘 (𝑙0 − 𝑙) 𝒖
Ainsi, dans les deux cas, on a :
⃗𝒙
𝐹 = −𝑘 (𝑙 − 𝑙0 ) 𝒖
⃗ 𝒙 : vecteur unitaire dirigée dans le sens de l'allongement
 𝒖
 𝐹 : force de rappel ou tension du ressort (N)
 k : raideur du ressort (𝑁. 𝑚−1 )
 ∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙0 : déformation du ressort (m).
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 Le signe (-) dans cette relation signifie que 𝐹 est une force de rappel et qu'elle
s'oppose à la déformation ∆𝑙.
Une force de rappel équivalente se produit pour un ressort : (𝑙 − 𝑙0 ) peut alors être positif ou
négatif suivant que le ressort est allongé ou comprimé.
5. Notion de quantité de mouvement
La quantité de mouvement d’un point matériel 𝑀 de masse 𝑚 et de vitesse 𝑣 est : 𝑝 = 𝑚 𝑣
Pour un système de N points matériels de masse 𝑚𝑖 et de vitesse 𝑣𝑖
la quantité de, mouvement totale est :
𝑁
𝑁
𝑝 = ∑ 𝑝𝑖 = ∑ 𝑚𝑖 𝑣𝑖
𝑖
𝑖
Cette grandeur prend en compte la vitesse mais aussi l’inertie du corps (sa masse).
Le point O étant choisi comme origine fixe, on peut écrire :
𝑣𝑖 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑖
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡
d’où
𝑁
𝑁
𝑁
𝑖
𝑖
𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑖
𝑑(𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀𝑖 ) 𝑑
𝑑𝑂𝑀
𝑝 = ∑ 𝑚𝑖
=∑
= (∑ 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀𝑖 )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
On introduit la notion de barycentre / centre de gravité : le point G est défini par ;
𝑁
∑ 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝑀𝑖 = ⃗0
𝑖
Rappelle
Centre de gravité d’un ensemble de points (moyenne pondérée)
exemple: deux sphères reliées par une tige de masse négligeable
67
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Masse totale
𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2
pour N points, 𝐴1 , 𝐴2 ,……. 𝐴𝑛 , de masses 𝑚1 , 𝑚2 , ……, 𝑚𝑛
𝑛
𝑀 = ∑ 𝑚𝑖
𝑖=1
Centre de gravité
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑂𝐺
𝑂𝐴1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴2
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑂𝐺
𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴2
𝑀
pour N points, 𝐴1 , 𝐴2 ,……. 𝐴𝑛 , de masses 𝑚1 , 𝑚2 , ……, 𝑚𝑛
𝑛
1
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 = = ∑ 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴𝑖
𝑀
𝑖=1
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𝑚1 𝑥1 + 𝑚2 𝑥2 + 𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑥𝑛
𝑀
𝑚
𝑦
+
𝑚
𝑦
+
𝑚2 𝑦2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑦𝑛
1
1
2
2
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑦𝐺 =
𝑂𝐺
𝑀
𝑚1 𝑧1 + 𝑚2 𝑧2 + 𝑚2 𝑧2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑧𝑛
{ 𝑧𝐺 =
𝑀
𝑥𝐺 =
𝑛
1
𝑥𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 𝑥𝑖
𝑀
𝑖=1
𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 = 𝑦𝐺 =
1
∑ 𝑚𝑖 𝑦𝑖
𝑀
𝑖=1
𝑛
{
𝑧𝐺 =
1
∑ 𝑚𝑖 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴1
{ 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴2 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴2
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚1 (𝑂𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑂𝐺
𝐺𝐴1 ) + 𝑚2 (𝑂𝐺
𝐺𝐴2 )
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑂𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑂𝐺
𝐺𝐴1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴2
𝑚1 + 𝑚2 = 𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑂𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑚1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝑂𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑂𝐺
𝐺𝐴1 + 𝑚2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴2 → 𝑀𝑂𝐺
𝐺𝐴1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴2
⃗0 = 𝑚1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴2
𝑛
∑ 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴𝑖 = ⃗0
𝑖=1
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⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀𝑖 = 𝑂𝐺
𝐺𝑀𝑖
𝑁
𝑁
𝑁
𝑖
𝑖
𝑖
𝑑
𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ∑ 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝 = (∑ 𝑚𝑖 (𝑂𝐺
𝐺𝑀𝑖 )) =
∑ 𝑚𝑖 𝑂𝐺
𝐺𝑀𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑡
⏟
(
𝑁
)
𝑁
𝑝 = ∑ 𝑚𝑖
𝑖
⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝐺
= ∑ 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝐺
𝑑𝑡
𝑖
𝑣𝐺 : est la vitesse du barycentre / centre de gravité
⃗⃗⃗⃗
La première loi de Newton peut s’énoncer en termes de quantité de mouvement :
Dans un référentiel d’inertie, un système isolé (qui n’est soumis à aucune force extérieure et
n’est soumis qu’aux forces intérieures entre points matériels du système), la quantité de
⃗ est constante (conservé) , soit :
mouvement totale 𝒑
𝑑𝑝
=0
𝑑𝑡
« La dérivée temporelle de la quantité de mouvement d’un point matériel est égale à la
somme vectorielle des forces qui lui sont appliquées. »
𝐹=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
Cette équation s’appelle « équation du mouvement »

Cas de la masse constante :
𝐹=

𝑑𝑝 𝑑(𝑚 𝑣)
𝑑𝑣
=
=𝑚
→ 𝐹 = 𝑚𝑎
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Cas de la masse variable :
𝐹=
𝑑𝑝 𝑑(𝑚 𝑣)
𝑑𝑣
𝑑𝑚
=
=𝑚
+𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
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Si la masse du système est constante, sa vitesse l’est aussi : le mouvement du système est
alors rectiligne et uniforme.
Si le système est composé de deux objets de masse 𝑚1 et 𝑚2 , de vitesses respectives
𝑣1 et 𝑣2 , alors la conservation de la quantité de mouvement s’écrit :
𝑝 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2
5.1.Domaine de validité de la conservation de la quantité de mouvement
En principe, la quantité de mouvement n’est conservée qui si la somme des forces extérieures
est nulle; dans la pratique, c’est rarement le cas. On peut quand même considérer que la
quantité de mouvement est conservée dans le cas où la somme des forces extérieures est non
nulle si on considère un évènement dont la durée est très courte. En effet, si la durée ∆𝑡 de
l’événement (collision, choc, explosion, désintégration, etc.) est très courte, alors on a :
𝐹 ∆𝑡 = ∆𝑝
Si ∆𝑡 ≅ 0 , alors : ∆𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 ≅ 0
même si 𝐹 ≠ ⃗0
5.2.Chocs élastiques – chocs inélastique
Quand deux solides ou deux particules entrent en collision, deux principaux cas de figures
surviennent :
 choc élastique avec conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie
cinétique du système (Cette condition (la conservation de l’énergie cinétique) est
remplie si le travail des forces non conservatives (tel le frottement) peut être négligé;
il ne doit pas y avoir de déformation permanente des objets mis en cause dans la
collision.
 choc inélastique avec conservation de la quantité de mouvement et non-conservation
de l’énergie cinétique du système.
Collisions élastiques à une dimension.
On considère deux objets de masse 𝑚1 et 𝑚2 entrant en collision :
avant le choc
après le choc
Si 𝑚1 > 𝑚2
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Si 𝑚1 < 𝑚2
La conservation de la quantité de mouvement :
𝑝 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = 𝑝′ = 𝑚1 𝑣1′ + 𝑚2 𝑣2′
En projetant sur l’axe des x :
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = 𝑚1 𝑣1′ + 𝑚2 𝑣2′
1
1
1
2
1
La Conservation de l’énergie cinétique : 𝐸𝑐 = 2 𝑚1 𝑣12 + 2 𝑚2 𝑣22 = 𝐸𝑐′ = 2 𝑚1 𝑣1′ + 2 𝑚2 𝑣2′
{
2
𝑚1 (𝑣1 − 𝑣1′ ) = 𝑚2 (𝑣2′ − 𝑣2 )
2
2
𝑚1 (𝑣12 − 𝑣1′ ) = 𝑚2 (𝑣2′ − 𝑣22 )
2
2
𝑚1 (𝑣12 − 𝑣1′ ) 𝑚2 (𝑣2′ − 𝑣22 ) (𝑣1 + 𝑣1′ )(𝑣1 − 𝑣1′ ) (𝑣2′ + 𝑣2 )(𝑣2′ − 𝑣2 )
=
→
=
(𝑣1 − 𝑣1′ )
(𝑣2′ − 𝑣2 )
𝑚1 (𝑣1 − 𝑣1′ )
𝑚2 (𝑣2′ − 𝑣2 )
(𝑣1 + 𝑣1′ ) = (𝑣2′ + 𝑣2 ) → 𝒗′𝟏 = 𝒗′𝟐 + 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏
𝑚1 (𝑣1 − 𝑣1′ ) = 𝑚2 (𝑣2′ − 𝑣2 ) → 𝑚1 (𝑣1 − 𝑣2′ − 𝑣2 + 𝑣1 ) = 𝑚2 (𝑣2′ − 𝑣2 )
→ 𝑚1 (2𝑣1 − 𝑣2′ − 𝑣2 ) = 𝑚2 (𝑣2′ − 𝑣2 ) →
2𝑚1 𝑣1 − 𝑚1 𝑣2′ − 𝑚1 𝑣2 = 𝑚2 𝑣2′ − 𝑚2 𝑣2 → 2𝑚1 𝑣1 − 𝑣2′ (𝑚1 + 𝑚2 ) = (−𝑚2 + 𝑚1 )𝑣2
2𝑚1 𝑣1 + (𝑚2 − 𝑚1 )𝑣2 = 𝑣2′ (𝑚1 + 𝑚2 )
2𝑚1 𝑣1 + (𝑚2 − 𝑚1 )𝑣2
= 𝑣2′
(𝑚1 + 𝑚2 )
𝒗′𝟐 =
(𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 )
𝟐𝒎𝟏
𝒗𝟏 +
𝒗
(𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )
(𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝟐
𝒗′𝟏 = 𝒗′𝟐 + 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 → 𝒗′𝟏 =
𝑣1′ =
(𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 )
𝟐𝒎𝟏
𝒗𝟏 +
𝒗 + 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏
(𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )
(𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝟐
2𝑚1 𝑣1 − 𝑣1 𝑚1 − 𝑣1 𝑚2 (𝑚2 − 𝑚1 )𝑣2 + 𝑚1 𝑣2 + 𝑣2 𝑚2
+
(𝑚1 + 𝑚2 )
(𝑚1 + 𝑚2 )
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𝒗′𝟏 =
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(𝒎𝟏 − 𝒎𝟐 )
𝟐𝒎𝟐
𝒗𝟏 +
𝒗
(𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )
(𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝟐
Chocs inélastiques
On considère le cas de deux wagonnets susceptibles de s’accrocher à la suite d’une collision
Avant le choc : 𝑝 = 𝑚1 𝑣1
Après le choc : 𝑝′ = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑣 ′
d’où, d’après le principe la conservation de la quantité de mouvement :
𝑝 = 𝑚1 𝑣1 = 𝑝′ = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑣 ′
𝑚1
𝑣′ =
𝑣
𝑚1 + 𝑚2 1
1
Avant le choc : 𝐸𝑐 = 2 𝑚1 𝑣12
1
Après le choc : 𝐸𝑐′ = 2 (𝑚1 + 𝑚2 ) 𝑣 ′
𝐸𝑐′ =
2
2
1
1
𝑚1
2
(𝑚1 + 𝑚2 ) 𝑣 ′ = (𝑚1 + 𝑚2 ) (
𝑣1 )
2
2
𝑚1 + 𝑚2
𝐸𝑐′
1 𝑚1 2
2
=
𝑣1
2 𝑚1 + 𝑚2
La variation d’énergie cinétique est donc :
∆𝐸𝑐 =
𝐸𝑐′
1 𝑚1 2
1
1 𝑚1 2
1 (𝑚1 + 𝑚2 )
2
2
2
− 𝐸𝑐 =
𝑣1 − 𝑚1 𝑣1 =
𝑣1 −
𝑚1 𝑣12
2 𝑚1 + 𝑚2
2
2 𝑚1 + 𝑚2
2 𝑚1 + 𝑚2
∆𝐸𝑐 =
1 𝑚1 2
1 𝑚1 2
1 𝑚2 𝑚1 2
2
𝑣1 −
𝑣12 −
𝑣
2 𝑚1 + 𝑚2
2 𝑚1 + 𝑚2
2 𝑚1 + 𝑚2 1
1 𝑚1 2
∆𝐸𝑐 = −
𝑣12
2 𝑚1 + 𝑚2
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∆𝐸𝑐 < 0 : Il y a donc une perte d’énergie mécanique au cours de ce choc parfaitement mou :
il n’y a pas conservation de l’énergie mécanique.
Cette énergie est dissipée sous forme :
 de chaleur (énergie interne)
 de déformation (travail).
Propulsion des fusées
La fusée de masse au départ 𝑀𝑜 éjecte une masse de gaz 𝜶 par unité de temps à la vitesse 𝑣𝑔𝑎𝑧
constante par rapport à la fusée.
La variation de masse de la fusée est :
𝑑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
= −𝜶
𝑑𝑚(𝑡) = −𝜶𝑑𝑡
𝑚(𝑡) = 𝑚0 − 𝛼𝑡
À l’instant t

La masse de la fusée est : 𝑚(𝑡)

⃗ (𝑡)
la vitesse de la fusée est : 𝑉

⃗ (𝑡)
la quantité de mouvement de la fusée est : 𝑝(𝑡) = 𝑚(𝑡) 𝑉
À l’instant 𝒕 + 𝒅𝒕

La masse de la fusée est : 𝑚 + 𝑑𝑚 (𝑑𝑚 < 0)

⃗ + 𝑑𝑉
⃗
la vitesse de la fusée est : 𝑉

La masse du gaz est: 𝑑𝑚𝑔𝑎𝑧 = − 𝑑𝑚 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 )

⃗𝑔𝑎𝑧 est constante par rapport à la fusée
La vitesse du gaz 𝑉

⃗ +𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧
La vitesse du gaz dans le référentiel terrestre est : 𝑉

⃗ + 𝑑𝑉
⃗)
la quantité de mouvement de la fusée est : 𝑝𝑓𝑢𝑠é𝑒 (t + dt) = (𝑚 + 𝑑𝑚) (𝑉

⃗ +𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧 )
la quantité de mouvement du gaz est : 𝑝𝑔𝑎𝑧 (t + dt) = − 𝑑𝑚 𝑢
⃗ = − 𝑑𝑚 (𝑉

la quantité de mouvement totale du système fusée + gaz est :
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⃗ + 𝑑𝑉
⃗ ) − 𝑑𝑚 (𝑉
⃗ +𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧 )
𝑝(t + dt) = (𝑚 + 𝑑𝑚) (𝑉
⃗ + 𝑑𝑉
⃗ ) + 𝑑𝑚(𝑉
⃗ + 𝑑𝑉
⃗ ) − 𝑑𝑚 (𝑉
⃗ +𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧 )
𝑝(t + dt) = 𝑚 (𝑉
⃗ + 𝑑𝑉
⃗ ) + 𝑑𝑚𝑉
⃗ + 𝑑𝑚 𝑑𝑉
⃗ − 𝑑𝑚𝑉
⃗ − 𝑑𝑚𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧
𝑝(t + dt) = 𝑚 (𝑉
{
⃗ + 𝑑𝑉
⃗ ) + 𝑑𝑚 𝑑𝑉
⃗ − 𝑑𝑚𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧
𝑝(t + dt) = 𝑚 (𝑉
⃗ + 𝑑𝑉
⃗ ) − 𝑑𝑚𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧
→ 𝑝𝑡𝑜𝑡 = 𝑚 (𝑉
⃗
𝑑𝑚 𝑑𝑉 → (𝑛é𝑔𝑙𝑖𝑔𝑎𝑏𝑙𝑒)
⃗ + 𝑑𝑉
⃗ ) − 𝑑𝑚𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧
𝑝(t + dt) = 𝑚 (𝑉
la variation de la quantité de mouvement entr 𝑡 et 𝑡 + 𝑑𝑡 est
⃗ + 𝑑𝑉
⃗ ) − 𝑑𝑚𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧 − 𝑚 𝑉
⃗ = 𝑑𝑝
𝑝(t + dt) − 𝑝(t) = 𝑚 (𝑉
⃗ + 𝑚𝑑𝑉
⃗ − 𝑑𝑚𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧 − 𝑚 𝑉
⃗
𝑑𝑝 = 𝑚𝑉
⃗ − 𝑑𝑚 𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧
𝑑𝑝 = 𝑚𝑑𝑉
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑝 = 𝑚𝑣
𝑑𝑝
𝑑𝑣
=𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝑡
{
𝑑𝑣
𝑑𝑡
→
𝑑𝑝
= 𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑑𝑡
⃗𝑔𝑎𝑧
⃗
𝑉
𝑑𝑝
𝑑𝑉
=𝑚
− 𝑑𝑚
= 𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
⃗𝑔𝑎𝑧
⃗
𝑉
𝑑𝑉
⃗𝑔𝑎𝑧
⃗
𝑉
𝑑𝑉
− 𝑑𝑚
→
𝑚
=
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
⃗
𝐹𝑒𝑥𝑡 = 0
{𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚
𝑚
𝑉𝑔𝑎𝑧
𝑑𝑉
= − 𝑑𝑚
→ 𝑚 𝑑𝑉 = −𝑑𝑚 𝑉𝑔𝑎𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑚
𝑑𝑉 = −𝑉𝑔𝑎𝑧
𝑚
𝑚
𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑉 = −𝑉𝑔𝑎𝑧 ∫
𝑚0 𝑚
𝑉(𝑡) = −𝑉𝑔𝑎𝑧 ln
𝑚
+𝑐
𝑚0
à 𝑡 = 0 , 𝑉(0) = 𝑣0
𝑣0 = 𝑐
𝑚0
𝑉(𝑡) = 𝑉𝑔𝑎𝑧 ln
+ 𝑣0
𝑚
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𝑉(𝑡) = 𝑉𝑔𝑎𝑧 ln
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𝑚0
+ 𝑣0
𝑚0 − 𝛼𝑡
6. Moment cinétique
Soit une particule de masse m animée d’une vitesse v en rotation par rapport à un point O.
Le moment cinétique de m par rapport à O est:
⃗ =𝑟∧𝑝
𝐿
{
⃗ =𝑟∧𝑝
𝐿
⃗ =𝑚𝑟∧𝑣
→𝐿
𝑝 = 𝑚𝑣
6.1. Théorème du moment cinétique
⃗ =𝑟∧𝑝
𝐿
⃗
𝑑𝐿
𝑑(𝑟 ∧ 𝑝)
𝑑𝑝
𝑑𝑟
=
=𝑟∧
+𝑝∧
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
⃗
𝑑𝐿
𝑑𝑝
=𝑟∧
=𝑟∧𝐹
𝑑𝑡
𝑑𝑡
La dérivée du moment cinétique d’une particule, par rapport au temps est égale au moment
de la force qui lui est appliquée au même point.
6.2. Etude du pendule simple
Un pendule simple est constitué d’une masse m assimilée à un point matériel M et d’un fil
sans masse inextensible de longueur 𝑙
En l’absence de frottements
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𝑣 = 𝑙 𝜃̇ 𝑢
⃗𝜃
𝑟=𝑙
⃗
𝐹 = 𝑃⃗ + 𝑇
⃗
𝑙⫽𝑇
{ 𝑃⃗ = 𝑚𝑔
⃗
𝑑𝐿
⃗ ) = 𝑙 ∧ 𝑃⃗ + 𝑙 ∧ 𝑇
⃗
= 𝑙 ∧ 𝐹 = 𝑙 ∧ (𝑃⃗ + 𝑇
𝑑𝑡
⃗
𝑑𝐿
⃗ ‖ sin 0 + 𝑙 ∧ 𝑃⃗
= ‖𝑙 ‖ ‖𝑇
𝑑𝑡
⃗
𝑑𝐿
= 𝑙 ∧ 𝑃⃗
𝑑𝑡
⃗
𝑑𝐿
=𝑙𝑢
⃗ 𝑟 ∧ (𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑢
⃗ 𝑟 − 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑢
⃗ 𝜃)
𝑑𝑡
⃗
𝑑𝐿
= 𝑙 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃( 𝑢
⃗𝑟∧ 𝑢
⃗ 𝑟 ) − 𝑙 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃( 𝑢
⃗𝑟∧ 𝑢
⃗ 𝜃 ) = −𝑙 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑢
⃗𝑧
𝑑𝑡
⃗
𝑑𝐿
= −𝑙 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑢
⃗𝑧
𝑑𝑡
⃗ =𝑚𝑟∧𝑣
𝐿
⃗ =𝑟∧𝑝
𝐿
{
→{ 𝑙=𝑙𝑢
⃗ 𝑟 ∧ 𝑙 𝜃̇ 𝑢
⃗ 𝜃 = 𝑚 𝑙 2 𝜃̇ (𝑢
⃗𝑟∧ 𝑢
⃗ 𝜃)
⃗𝑟 =𝑚𝑙𝑢
𝑝 = 𝑚𝑣
𝑣 = 𝑙 𝜃̇ 𝑢
⃗𝜃
{
⃗ = 𝑚 𝑙 2 𝜃̇ (𝑢
𝐿
⃗𝑟∧ 𝑢
⃗ 𝜃) ⃗
→ 𝐿 = 𝑚 𝑙 2 𝜃̇ 𝑢
⃗𝑧
𝑢
⃗𝑧 =𝑢
⃗𝑟∧ 𝑢
⃗𝜃
⃗ = 𝑚 𝑙 2 𝜃̇ 𝑢
𝐿
⃗𝑧 →
⃗
𝑑(𝑚 𝑙 2 𝜃̇ 𝑢
⃗ 𝑧)
𝑑𝐿
𝑑𝜃̇
=
= 𝑚 𝑙2
𝑢
⃗ = 𝑚 𝑙 2 𝜃̈𝑢
⃗𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑧
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⃗
𝑑𝐿
= 𝑚 𝑙 2 𝜃̈𝑢
⃗𝑧
𝑑𝑡
⃗
𝑑𝐿
= −𝑙 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑢
⃗𝑧
𝑔
𝑑𝑡
→ −𝑙 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑢
⃗ 𝑧 = 𝑚 𝑙 2 𝜃̈𝑢
⃗ 𝑧 → 𝜃̈ + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0
⃗
𝑙
𝑑𝐿
= 𝑚 𝑙 2 𝜃̈𝑢
⃗𝑧
𝑑𝑡
{
Savoir faire
 Mettre l’équation différentielle sous forme canonique (normalisée) : 𝑦̈ + 𝐴𝑦 = 0
avec y la variable d’étude et A une grandeur positive.
 Identifier les différents paramètres et exprimer 𝐴 = 𝜔2 en fonction des données du
problème.
 La solution générale est alors : 𝑦 (𝑡 ) = 𝑦0 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙).
 En fonction des conditions initiales données dans l’énoncé, en déduire la solution
particulière.
𝜃̈ +
𝐴 =
𝑔
𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0
𝑙
𝑔
𝑔
= 𝜔2 → 𝜔 = √
𝑙
𝑙
𝑔
𝜃 (𝑡 ) = 𝜃0 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝜃0 𝑐𝑜𝑠 (√ 𝑙 𝑡 + 𝜙).
Si à 𝑡 = 0, 𝜽(𝟎) = 𝜽𝟎 = et 𝜃̇ (0) = 0, on obtient
𝑔
𝑔
𝑔
𝜃 (𝑡 ) = 𝜃0 𝑐𝑜𝑠 (√ 𝑙 𝑡 + 𝜙) → 𝜃̇ (𝑡 ) = − 𝜃0 √ 𝑙 𝑠𝑖𝑛 (√ 𝑙 𝑡 + 𝜙).
𝜃̇ (𝑡 ) = − 𝜃0 √
𝑔
𝑠𝑖𝑛𝜙 = 0
𝑙
𝑠𝑖𝑛𝜙 = 0 → 𝜙 = 0
𝜃 (𝑡 ) = 𝜃0 𝑐𝑜𝑠√
𝑔
𝑡
𝑙
En présence de frottements fluides
⃗ + 𝑓𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡
𝐹 = 𝑃⃗ + 𝑇
⃗
𝑑𝐿
⃗⃗⃗ 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡 ) = 𝑙 ∧ 𝑃⃗ + 𝑙 ∧ 𝑇
⃗⃗⃗ 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡
⃗ +𝑓
⃗ +𝑙∧𝑓
= 𝑙 ∧ 𝐹 = 𝑙 ∧ (𝑃⃗ + 𝑇
𝑑𝑡
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⃗
𝑑𝐿
⃗⃗⃗ 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡
= 𝑙 ∧ 𝑃⃗ + 𝑙 ∧ 𝑓
𝑑𝑡
⃗
𝑑𝐿
= −𝑙 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑢
⃗ 𝑧 + 𝑙 ∧ ⃗⃗⃗
𝑓 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡
𝑑𝑡
⃗⃗⃗
𝑓 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡 = −ℎ 𝑚 𝑣 = −ℎ 𝑚 𝑣
⃗⃗⃗ 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡 = 𝑙 𝑢
𝑙∧𝑓
⃗ 𝑟 ∧ (−ℎ 𝑚 𝑙 𝜃̇ 𝑢
⃗ 𝜃 ) = −ℎ 𝑚𝜃̇ 𝑙 2 (𝑢
⃗𝑟∧ 𝑢
⃗ 𝜃 ) = −ℎ 𝑚𝜃̇ 𝑙 2 𝑢
⃗𝑧
⃗
𝑑𝐿
= −𝑙 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑢
⃗ 𝑧 − ℎ 𝑚𝜃̇ 𝑙 2 𝑢
⃗𝑧
𝑑𝑡
⃗
𝑑𝐿
= −𝑙 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑢
⃗ 𝑧 − ℎ 𝑚𝜃̇ 𝑙 2 𝑢
⃗𝑧
𝑑𝑡
→ −𝑙 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑢
⃗ 𝑧 − ℎ 𝑚𝜃̇ 𝑙 2 𝑢
⃗ 𝑧 = 𝑚 𝑙 2 𝜃̈𝑢
⃗𝑧
⃗
𝑑𝐿
2 ̈
= 𝑚 𝑙 𝜃𝑢
⃗𝑧
𝑑𝑡
{
𝑔
𝜃̈ + ℎ𝜃̇ + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0
𝑙
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