Corrigé

Remédiation – 2
nde
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Corrigé - Remédiation : G12 – 13 – 14
G12 : Déterminer et utiliser une équation d’une droite parallèle ou non à l’axe des ordonnées.
G 13 : Savoir tracer une droite d ’ équation donnée
G 14 : Reconnaître que deux droites sont ou non parallèles
Considérons la droite d
1
d ’ équation x=-2 :
- Toute droite dont l’équation réduite est du type x=k ( k☻Ë) est parallèle à l’axe des ordonnées.
- Toute droite dont l’équation réduite est du type y=mx+p (m et p réels) est non parallèle à l’axe des ordonnées.
La droite d ’ équation x=-2 est parallèle à l ’ axe des ordonnées.
De plus le couple (-2;0) vérifie l ’ équation donc le point A de coordonnées (-2;0) appartient à cette droite.
Ainsi d
1
est la droite passant A et parallèle à l ’ axe des ordonnées.
Considérons la droite d
2
d ’ équation y=3x−1 :
La droite d
2
passe par les points B(0;-1) et C(3;8)
Considérons la droite d
3
d ’ équation y=5 :
L’équation y=5 est un cas particulier d’équation réduite de la forme y=mx+p avec m=0 et p=5.
Dans ce cas, la droite d
3
est parallèle à l’axe des abscisses et passe par le point D(0;5).
1. Dans le repère de la page 2, placer les points A, B, C et D puis représenter les droites d
1
, d
2
et d
3
.
2. Considérons les droites d
4
, d
5
, d
6
et d
7
d’équations respectives y=-2x+3 ; y=-6 ; y=3x−5 ; x=2
a. Tracés (voir graphique)
b. Quelles conjectures peut-on faire sur le parallélisme de certaines droites :
Les droites d
1
et d
7
semblent parallèles.
Les droites d
2
et d
6
semblent parallèles.
Les droites d
3
et d
5
semblent parallèles.
c. Démontrer le en utilisant la propriété du cours :
Rappel du cours : Soit D et D′deux droites du plan muni d’un repère
( )
O;Å i;Å j
D et D′sont parallèles si et seulement si
- Elles sont parallèles à l’axe des ordonnées.
- Ou elles sont non parallèles à l’axe des ordonnées et admettent le même coefficient directeur.
d
1
et d
7
ont une équation réduite de la forme x=k donc elles sont parallèles à l’axes des ordonnées donc elles
sont parallèles.
d
2
et d
5
ont le même coefficient directeur 3 donc elles sont parallèles.
d
3
et d
5
ont le même coefficient directeur 0 donc elles sont parallèles.
3. Placer les points M(-3;-2) et N(3;1).
a. Déterminons l’équation de la droite (MN) :
i. M et N n’ont pas la même abscisse donc la droite (MN) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées
donc son équation est de la forme : y=mx+p
ii. Cherchons m et p en utilisant le cours :
Soit D une droite non parallèle à l’axe des ordonnées passant par les points distincts A
( )
x
A
;y
A
et B
( )
x
B
;y
B
.
Le coefficient directeur m de D vérifie m=
y
B
−y
A
x
B
−x
A
et l’ordonnée à l’origine p de D vérifie p=y
A
−mx
A
=y
B
−mx
B
m=
y
N
−y
M
x
N
−x
M
=
1−(-2)
3−(-3)
=
3
6
=
1
2
donc l ’ équation réduite de (MN) est de la forme y=
1
2
x+p.
Cherchons p : M☻(MN) donc ses coordonnées vérifient l
’ équation de (MN) cad y
M
=
1
2
x
M
+p
donc –2=
1
2
×(-3)+p donc p=-
4
2
+
3
2
=-
1
2
x 0 3
y -1 8

Remédiation – 2
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iii. En déduire l’équation réduite de la droite (MN) : y=
1
2
x−
1
2
iv. Donner deux équations cartésiennes de la droite (MN).
Rappel de cours : Toute droite du plan admet une équation (dite cartésienne) de la forme ax+by+c=0.
y=
1
2
x−
1
2
ñ 2y=x−1 ñ x−2y−1=0 ñ –x+2y+1=0
v. Représenter la droite (MN).
4. Déterminer l’équation réduite de la droite passant par M et parallèle à l’axe des ordonnées :
Cette droite est parallèle à l’axe des ordonnées donc son équation réduite est de la forme x=k
Or le point M a pour abscisse -3 donc l’équation réduite de cette droite est : x=-3
5. Déterminer l’équation réduite de la droite passant par M et parallèle à l’axe des abscisses :
Cette droite est parallèle à l’axe des abscisses donc son équation réduite est de la forme y=p
Or le point M a pour ordonnée -2 donc l’équation réduite de cette droite est : y=-2
6. Déterminer l’équation réduite de la droite d
8
parallèle à la droite (MN) passant par F(2;-1) :
La droite (MN) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Sa parallèle d
8
admet donc le même coefficient directeur
que la droite (MN) cad
1
2
donc l’équation réduite de d
8
est de la forme y=
1
2
x+p
Or, le point F appartient à d
8
donc ses coordonnées vérifient son équation réduite donc –1=
1
2
×2+p donc p=-2.
Ainsi l ’ équation réduite est y=
1
2
x−2