Corrigé

Corrigé - Remédiation : G12 – 13 – 14
G12 : Déterminer et utiliser une équation d’une droite parallèle ou non à l’axe des ordonnées.
G 13 : Savoir tracer une droite d’équation donnée
G 14 : Reconnaître que deux droites sont ou non parallèles
Considérons la droite d1 d’équation x=-2 :
-
Toute droite dont l’équation réduite est du type x=k ( k☻Ë) est parallèle à l’axe des ordonnées.
Toute droite dont l’équation réduite est du type y=mx+ p ( m et p réels) est non parallèle à l’axe des ordonnées.
La droite d’équation x=-2 est parallèle à l’axe des ordonnées.
De plus le couple (-2;0) vérifie l’équation donc le point A de coordonnées (-2;0) appartient à cette droite.
Ainsi d1 est la droite passant A et parallèle à l’axe des ordonnées.
Considérons la droite d2 d’équation y=3x−1 :
x
0
3
La droite d2 passe par les points B(0;-1) et C(3;8)
y
-1
8
Considérons la droite d3 d’équation y=5 :
L’équation y=5 est un cas particulier d’équation réduite de la forme y=mx+p avec m=0 et p=5.
Dans ce cas, la droite d3 est parallèle à l’axe des abscisses et passe par le point D(0;5).
1. Dans le repère de la page 2, placer les points A, B, C et D puis représenter les droites d1, d2 et d3.
2. Considérons les droites d4 , d5 , d6 et d7 d’équations respectives y=-2x+3 ; y=-6 ; y=3x−5 ; x=2
a. Tracés (voir graphique)
b. Quelles conjectures peut-on faire sur le parallélisme de certaines droites :
Les droites d1 et d7 semblent parallèles.
Les droites d2 et d6 semblent parallèles.
Les droites d3 et d5 semblent parallèles.
c. Démontrer le en utilisant la propriété du cours :
Rappel du cours : Soit D et D′deux droites du plan muni d’un repère (O;Åi ;Åj )
D et D′sont parallèles si et seulement si
-
Elles sont parallèles à l’axe des ordonnées.
Ou elles sont non parallèles à l’axe des ordonnées et admettent le même coefficient directeur.
d1 et d7 ont une équation réduite de la forme x=k donc elles sont parallèles à l’axes des ordonnées donc elles
sont parallèles.
d2 et d5 ont le même coefficient directeur 3 donc elles sont parallèles.
d3 et d5 ont le même coefficient directeur 0 donc elles sont parallèles.
3. Placer les points M(-3;-2) et N(3;1).
a. Déterminons l’équation de la droite (MN) :
i. M et N n’ont pas la même abscisse donc la droite (MN) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées
donc son équation est de la forme : y=mx+p
ii. Cherchons m et p en utilisant le cours :
Soit D une droite non parallèle à l’axe des ordonnées passant par les points distincts A ( xA ;yA ) et B ( xB ;yB ) .
y −y
Le coefficient directeur m de D vérifie m= B A et l’ordonnée à l’origine p de D vérifie p= yA − mxA =yB − mxB
xB −xA
yN −yM
1−(-2) 3 1
1
=
= = donc l’équation réduite de (MN) est de la forme y= x+p.
2
xN −xM
3−(-3) 6 2
1
Cherchons p : M☻(MN) donc ses coordonnées vérifient l’équation de (MN) cad yM = xM +p
2
1
4 3
1
donc –2= ×(-3)+p donc p=- + =2
2 2
2
m=
Remédiation – 2nde – Melle
G12 – G13 – G14
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iii. En déduire l’équation réduite de la droite (MN) : y= x−
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iv. Donner deux équations cartésiennes de la droite (MN).
Rappel de cours : Toute droite du plan admet une équation (dite cartésienne) de la forme ax+ by+ c=0.
1
1
y= x− ñ 2y=x−1 ñ x−2y−1=0 ñ –x+2y+1=0
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v. Représenter la droite (MN).
4. Déterminer l’équation réduite de la droite passant par M et parallèle à l’axe des ordonnées :
Cette droite est parallèle à l’axe des ordonnées donc son équation réduite est de la forme x=k
Or le point M a pour abscisse -3 donc l’équation réduite de cette droite est : x=-3
5. Déterminer l’équation réduite de la droite passant par M et parallèle à l’axe des abscisses :
Cette droite est parallèle à l’axe des abscisses donc son équation réduite est de la forme y=p
Or le point M a pour ordonnée -2 donc l’équation réduite de cette droite est : y=-2
6. Déterminer l’équation réduite de la droite d8 parallèle à la droite (MN) passant par F(2;-1) :
La droite (MN) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Sa parallèle d8 admet donc le même coefficient directeur
1
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que la droite (MN) cad donc l’équation réduite de d8 est de la forme y= x+p
2
2
1
Or, le point F appartient à d8 donc ses coordonnées vérifient son équation réduite donc –1= ×2+p donc p=-2.
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Ainsi l’équation réduite est y= x−2
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