Matrices `a coefficients dans un anneau commutatif.

Matrices `a coefficients dans
un anneau commutatif.
Pour ´eviter les lourdeurs, nous dirons “anneau” pour “anneau commutatif”.
Le but de ce texte est de produire une d´emonstration originale, sans utiliser le
d´eterminant, du r´esultat suivant :
Une matrice `a coefficients dans un anneau, qui a strictement plus de colonne que de
lignes, a ses colonnes li´ees.
Soit Aun anneau, n, p, q, r des entiers naturels non nuls. On note A(n, p) l’ensemble
des matrices `a nlignes et pcolonnes `a coefficient dans A. On rappelle que si
M∈A(p, q) et N∈A(q, r),le produit MN est bien d´efini et appartient `a A(p, r).
Les matrices de A(n, 1) seront des matrices colonnes, celles de A(1, n) des matrices
lignes.
Il est facile de voir que, pour ´etablir notre th´eor`eme, il suffit de d´emontrer que pour
tout anneau Aet tout entier naturel non nul n, et toute matrice M∈A(n, n + 1),
il existe C∈A(n+ 1,1) tel que :
C6= 0 et MC = 0
Si n= 1,
- si M= 0 ∈A(1,2), le r´esultat est ´evident. Choisir C=1
16= 0.
- sinon M=a b ∈A(1,2).Choisir C=b
−a6= 0.
Supposons le r´esultat faux. Il existe donc au moins un triplet (A, k, M) o`u Aest un
anneau, kun entier naturel et M∈A(k, k + 1) et tel que les colonnes de Msont
libres i.e.
∀C∈A(k+ 1,1), MC = 0 ⇒C= 0.
Parmi tous les triplets possibles, choisissons-en un, (A, n, M0) de telle sorte que
l’entier nsoit minimum parmi les entiers kacceptables au sens ci-dessus. L’entier
nest certainement sup´erieur ou ´egal `a 2.
Ce qui pr´ec´ede veut dire que pour tout anneau B, toute matrice de B(n−1, n) a
ses colonnes li´ees. Cette remarque sera tr`es importante dans la suite.
Supposons donn´e le triplet (A, n, M0),avec M0∈A(n, n + 1).Nous allons ´etablir
une contradiction avec le sch´ema suivant :
- On produit, `a partir de M0,une matrice M∈A(n, 2n) dont les colonnes sont
libres.
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Matrices ` a coefficients dans un anneau commutatif. — Production de M
- On l’´ecrit sous la forme L1L2
M1M2,avec L1, L2∈A(1, n) (matrice ligne) et
M1, M2∈A(n−1, n).Vu la d´efinition de n, les colonnes de M1sont li´ees. Soit
C1∈A(n, 1) tels que M1C1= 0 et C16= 0.
- On calcule L1
M1C1=t 0n−1,avec t∈A, 0n−1est la matrice colonne nulle
de A(n−1,1).De plus, t6= 0 puisque les colonnes de Msont libres.
- Si tn’est pas un diviseur de 0 dans l’anneau A, On refait la mˆeme op´eration avec
L2
M2.Il existe C2∈A(n, 1), C26= 0,tel que L2 M2C2=s 0n−1.Alors,
comme l’anneau Aest commutatif, on a :
MsC1
−tC2=L1L2 M1M2 sC1 −tC2=st −ts 0n−1= 0
et tC26= 0,ce qui est la contradiction recherch´ee.
- Sinon on fait le mˆeme calcul modulo l’id´eal annulateur de t, qu’on note ann(t). On
verra dans le texte ce que cela veut dire de mani`ere ´el´ementaire et ... On retrouve
la mˆeme contradiction.
Il n’y a plus qu’`a y aller.
I. Production de M
Le triplet (A, n, M0) est fix´e comme ci-dessus, avec M0∈A(n, n + 1).
D’abord, une d´efinition utile :
D´efinition 1 (matrice injective)
Soit pet qdeux entiers naturels non nuls et X∈A(p, q).On dit que Xest une
matrice injective si :
∀C∈A(q, 1), XC = 0 ⇒C= 0,
en d’autres termes, si les colonnes de Xsont libres.
La matrice M0,par construction, est une matrice injective.
Il est facile de voir, vu l’associativit´e du produit matriciel, que si X∈A(p, q) et
Y∈A(q, r) sont deux matrices injectives leur produit XY ∈A(p, r) est une matrice
injective.
Il est aussi facile de voir que si la matrice X∈A(n, n +k),est injective, alors la
matrice bloc Y=X0
0 1 ∈A(n+ 1, n +k+ 1) est injective. On en d´eduit que
la matrice Z=XY ∈A(n, n +k+ 1) est ´egalement injective.
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Matrices ` a coefficients dansun anneau commutatif. — Si tn’est pas diviseur de 0
On produit, `a partir de M0,une liste (Mk)16k6n−1de matrices injectives par la
formule :
Mk=Mk−10
0 1 ∈A(n+k−1, n +k)
On pose alors M=M0M1...Mn−1∈A(n, 2n).La matrice M, produit de matrices
injectives, est injective.
II. Si tn’est pas diviseur de 0
Alors, il n’y a rien `a ajouter au sch´ema. La commutativit´e de la multiplication dans
l’anneau joue un rˆole essentiel, ce qui nous pousse `a poser la question : et si l’anneau
n’est pas commutatif ? Il semble que le r´esultat annonc´e est faux.
III. Si test un diviseur de 0.
Alors l’ensemble J={x∈A|xt = 0}est un id´eal de A. Soit Bl’anneau quotient
A/J. Calculer dans B, c’est calculer dans A, modulo J. On consid`ere donc la
matrice M2comme ´etant dans B(n−1, n) en rempla¸cant chacun de ses ´el´ements
par sa classe modulo J.
Il existe ainsi une matrice colonne C2non nulle dans B(i.e. tC26= 0) telle que
M2C2= 0 modulo J. La fin du calcul est identique.
Pour ceux qui ne sont pas familier du calcul modulo un id´eal dans un anneau, nous
consacrons le paragraphe qui suit.
IV. Anneau quotient.
Soit Aun anneau (commutatif) et Jun partie de A.
D´efinition 2 (Id´eal)
On dit que Jest un id´eal de Asi :
1. elle est un sous-groupe additif du groupe (A, +)
2. elle est absorbante pour la multiplication i.e.
∀(a, x)∈A×J, a.x ∈J
Soit Jun id´eal de Aet x∈A. On note cl(x) = {x+t|t∈J}qui est un ´el´ement
de l’ensemble P(A) des parties de AOn consid`ere l’ensemble B={cl(x)|x∈A}.
On a :
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Matrices ` a coefficients dansun anneau commutatif. — Si An’est pas commutatif
Proposition 1 (Structure de B)
1. La relation ≡d´efinie sur Apar x≡ysi et seulement si x−y∈J(´egalit´e
modulo J) est une relation d’´equivalence compatible avec l’addition et la
multiplication dans A, i.e.
∀(a, x, y)∈A3, x ≡y⇒a+x≡a+yet a.x ≡a.y
2. L’ensemble B(de parties de A) est l’ensemble des classes d’´equivalence de
cette relation. Les lois de Ainduisent sur Bles lois :
cl(x) + cl(y) = cl(x+y) et cl(x).cl(y) = cl(x.y)
3. Muni de ces deux lois, Best un anneau commutatif. Le neutre pour l’ad-
dition est pr´ecis`ement J=cl(0).
D´emonstration : Nous laissons la d´emonstration au bon soin du lecteur.
Remarque : Calculer dans B, c’est calculer dans Amodulo J, comme on calcule
dans ZZ modulo un entier n, c’est-`a-dire modulo l’id´eal nZZ.
Remarque : Il ne reste plus qu’`a v´erifier que l’annulateur de test bien un id´eal, ce
qui est un exercice facile.
V. Si An’est pas commutatif
Il existe un anneau non commutatif Aet une matrice M∈A(1,2) dont les colonnes
sont libres `a gauche et `a droite. Il suffit qu’il existe dans l’anneau A, deux ´el´ements
aet bv´erifiant
∀(x, y)∈A2, ax 6=by et xa 6=yb
On prend alors M= (a−b).
Un tel anneau existe : c’est ZZ[a, b],anneau des mots finis de l’alphabet {a, b}o`u la
multiplication est la concat´enation des mots. Dans cet anneau, tout mot commen¸cant
par a(resp. finissant par a) est diff´erent de tout mot commen¸cant par b(resp.
finissant par b)
VI. En guise de Conclusion
et pour rendre `a C´esar ce qui est `a C´esar, la d´emonstration est due `a Christophe
Chˆalons, le contre-exemple est dˆu `a Anatole Kh´elif. Qu’ils en soit ici publiquement
remerci´es.
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