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Université de Bordeaux MHT633 – Arithmétique et Cryptologie
Mathématiques 2014–2015
FEUILLE D’EXERCICES no1 [Correction]
Arithmétique
Exercice 1 – Tout nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers
premiers entre eux. Soit donc a=p/q avec (p, q) = 1. Si 18aest entier, alors q
divise 18p. On rappelle :
Lemme (Gauss).a, b, c étant des nombres entiers, si adivise bc et si aest premier
avec balors adivise c.
Comme (p, q) = 1 on peut conclure que qdivise 18. De même qdivise 25.
Finalement, si qdivise 18 et 25 alors qdivise leur pgcd qui vaut 1, donc q= 1,
ce qui prouve que aest entier.
Exercice 2 – Rappelons la démonstration du fait qu’il y a une infinité de nombres
premiers : si p1,...,pnsont premiers alors N=p1...pn+ 1 n’est divisible par
aucun des pi; comme c’est un entier au moins égal à 2, il possède un diviseur
premier p6∈ {p1,...,pn}.
Supposons maintenant qu’en outre pi≡ −1 mod 4 pour tout i= 1,...,n; ceci
implique qu’ils sont impairs. L’idée est de construire un N qui soit premier aux pi
et qui vérifie également N≡ −1 mod 4. En effet, Npossède alors au moins un
diviseur premier égal à −1 (mod 4) : sinon tous ses diviseurs premiers seraient
égaux à 1 (mod 4) et donc leur produit aussi.
On a (p1. . . pn)2≡1 (mod 4) donc on peut prendre
N= (p1. . . pn)2+ 2.
Remarquons qu’on utilise ici fondamentalement le fait que les congruences modulo
un entier se multiplient !
Exercice 3 – Comme n2−1 = (n−1)(n+ 1), il est nécessaire que n−1 = ±1
ou n+1 = ±1 ce qui conduit à examiner les cas n= 0,2,−2, pour lesquels n2−1
vaut respectivement 1,3,3. Rappelons que le nombre 1 n’est pas premier.
Exercice 5 –
1) a2−b2= (a−b)(a+b)
2) a3−b3= (a−b)(a2+ab +b2)
3) an−bn= (a−b)(an−1+an−2b+···+bn−1)
4) a2n+1 +b2n+1 = (a+b)(a2n−a2n−1b+··· − ab2n−1+b2n). On a simplement
remplacé npar 2n+ 1 et bpar −bdans la formule précédence.