Arithmétique - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Université de Bordeaux MHT633 – Arithmétique et Cryptologie
Mathématiques 2014–2015
FEUILLE D’EXERCICES no1 [Correction]
Arithmétique
Exercice 1 – Tout nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers
premiers entre eux. Soit donc a=p/q avec (p, q) = 1. Si 18aest entier, alors q
divise 18p. On rappelle :
Lemme (Gauss).a, b, c étant des nombres entiers, si adivise bc et si aest premier
avec balors adivise c.
Comme (p, q) = 1 on peut conclure que qdivise 18. De même qdivise 25.
Finalement, si qdivise 18 et 25 alors qdivise leur pgcd qui vaut 1, donc q= 1,
ce qui prouve que aest entier.
Exercice 2 – Rappelons la démonstration du fait qu’il y a une infinité de nombres
premiers : si p1,...,pnsont premiers alors N=p1...pn+ 1 n’est divisible par
aucun des pi; comme c’est un entier au moins égal à 2, il possède un diviseur
premier p6∈ {p1,...,pn}.
Supposons maintenant qu’en outre pi≡ −1 mod 4 pour tout i= 1,...,n; ceci
implique qu’ils sont impairs. L’idée est de construire un N qui soit premier aux pi
et qui vérifie également N≡ −1 mod 4. En effet, Npossède alors au moins un
diviseur premier égal à −1 (mod 4) : sinon tous ses diviseurs premiers seraient
égaux à 1 (mod 4) et donc leur produit aussi.
On a (p1. . . pn)2≡1 (mod 4) donc on peut prendre
N= (p1. . . pn)2+ 2.
Remarquons qu’on utilise ici fondamentalement le fait que les congruences modulo
un entier se multiplient !
Exercice 3 – Comme n2−1 = (n−1)(n+ 1), il est nécessaire que n−1 = ±1
ou n+1 = ±1 ce qui conduit à examiner les cas n= 0,2,−2, pour lesquels n2−1
vaut respectivement 1,3,3. Rappelons que le nombre 1 n’est pas premier.
Exercice 5 –
1) a2−b2= (a−b)(a+b)
2) a3−b3= (a−b)(a2+ab +b2)
3) an−bn= (a−b)(an−1+an−2b+···+bn−1)
4) a2n+1 +b2n+1 = (a+b)(a2n−a2n−1b+··· − ab2n−1+b2n). On a simplement
remplacé npar 2n+ 1 et bpar −bdans la formule précédence.

5) On applique successivement (1), (2), (3) :
510 −210 = (55−25)(55+ 25)
= (5 −2)(54+ 2 ·53+ 22·52+ 23·5 + 24)
×(5 + 2)(54−2·53+ 22·52−23·5 + 24)
= 3 ·1031 ·7·451.
On vérifie directement que 3, 7 et 1031 sont premiers et que 451 = 11 ·41.
Exercice 6 –
1) Vous verrez plus tard des critères d’irréductibilité plus efficaces que de vérifier
qu’aucun nombre premier plus petit que √Nne divise N.
2) On factorise :
232 −1 = (216 −1)(216 + 1)
= (28−1)(28+ 1)(216 + 1)
= (24−1)(24+ 1)(28+ 1)(216 + 1)
= (22−1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1)(216 + 1)
= (2 −1)(2 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1)(216 + 1)
= 3 ·5·17 ·257 ·65537
3) Si k= 2ebavec bimpair, alors l’identité
yb+ 1 = (y+ 1)(yb−1−yb−2+···+ 1),
appliquée en y= 22e, montre que 22e+ 1 divise 2k+ 1. Si b6= 1 c’est un diviseur
non trivial.
4) Montrons les deux observations :
a) 641 = 29+27+1 donc 27·5 = 27(22+1) = 29+27= 641−1≡ −1 (mod 641).
b) En effet 54= 625 ≡ −16 (mod 641).
Comme 32 = 4 ·7 + 4, on a dans Z/641Z:
232 = (27)4·24= (27)4·(−54)
=−(27·5)4
=−(−1)4=−1
donc 641 divise 232 + 1.
Exercice 7 – Comme 10k≡0 (mod 4) pour k>2, un nombre Nd’écriture
décimale an. . . a1a0= 10nan+···+a0est congru à a1a0= 10a1+a0(mod 4).

Exercice 8 – L’algorithme d’Euclide appliqué à un couple de nombres entiers
(a, b)6= (0,0) calcule le pgcd de aet b. On effectue les divisions euclidiennes
successives en posant r0=a,r1=b, puis en effectuant les divisions euclidiennes
suivantes :
r0=r1q1+r2
r1=r2q2+r3
...
ri−1=riqi+ri+1
...
rt−1=rtqt+rt+1,avec rt6= 0, rt+1 = 0.
Le pgcd de aet best alors d=rt, le dernier reste non nul. Une relation de Bezout
est une équation de la forme d=au +bv où d= (a, b). Rappelons que aest
inversible modulo b, c’est-à-dire a∈(Z/bZ)∗si et seulement si (a, b) = 1. Une
relation de Bezout au +bv = 1 montre que au ≡1 (mod b) et donc a−1=udans
(Z/bZ)∗; de même, b−1=vdans (Z/aZ)∗.
Pour extraire une relation de Bezout, on peut ✭✭ remonter ✮✮ les équations don-
nées par les divisions euclidiennes successives de l’algorithme d’Euclide, mais il
est plus efficace d’appliquer l’algorithme dit d’Euclide étendu : celui-ci calcule en
même temps que la suite des qiet des ri, deux suites uiet vivérifiant les relations
de récurrence :
ui+1 =ui−1−qiui
vi+1 =vi−1−qivi
et les conditions initiales :
u0v0
u1v1!= 1 0
0 1!.
Le dernier couple (ut, vt) calculé donne une relation de Bezout entre aet b. L’in-
térêt de cet algorithme réside dans le fait que son exécution ne nécessite pas de
garder en mémoire tous les (qi, ri, ui, vi) mais seulement les deux précédents.

Exemple. a= 34, b= 21.
i riqiuivi
0 34 1 0
1 21 1 0 1
2 13 1 1 −1L2←L0−q1L1
3 8 1 −1 2 L3←L1−q2L2
4 5 1 2 −3L4←L2−q3L3
5 3 1 −3 5 L5←L3−q4L4
6 2 1 5 −8L6←L4−q5L5
7 1 2 −8 13 L7←L5−q6L6
8 0
On trouve la relation de Bezout (−8) ·34 + 13 ·21 = 1 ; dans Z/21Z, on a
34−1=−8 ; dans Z/34Z, on a 21−1= 13.
Preuve de l’algorithme d’Euclide étendu. on exprime le passage de (ri−1, ri)
à (ri, ri+1) par la relation matricielle
ri
ri+1!= 0 1 1−qi! ri−1 ri!,
ce qui conduit par itération à :
ri
ri+1!= 0 1 1−qi! 0 1 1−qi−1!... 0 1 1−q1! r0 r1!.
En posant, pour i>1,
Ui= 0 1
1−qi! 0 1
1−qi−1!... 0 1
1−q1!,et U0= 1 0
0 1!,
on a
Ui= 0 1
1−qi!Ui−1,pour tout i>1.
En posant Ui= ( uivi
siti), on en déduit les relations
ui=si−1,
vi=ti−1,
si=ui−1−qiui=ui+1,
ti=vi−1−qivi=vi+1.
À la dernière étape, on a
rt= (a, b)
rr+1 = 0 !=Ut a
b!
dont la première ligne donne la relation de Bezout (a, b) = uta+vtb.

Une dernière optimisation. puisque le calcul des uine fait pas intervenir les
vi, ce n’est pas la peine de remplir la colonne des vidans le tableau ci-dessus,
on peut se contenter des ui, puisque de d= (a, b), u=ut,a, et b, on déduit
v= (d−au)/b.
Exercice 9 – 32x+ 10y= 6 ssi 16x+ 5y= 3. Comme (16,5) = 1 et que
16 −3·5 = 1 on a 16−1= 1 mod 5 et 5−1=−3 mod 16. On a 16x= 3
mod 5 ssi x= 3 mod 5 et 5y= 3 mod 16 ssi y=−9 mod 16. En remplaçant
x= 3 + 5x′et y=−9 + 16y′on trouve que 16x+ 5y= 3 ssi x′=−y′. finalement
les solutions (x, y) sont tous les (3 + 5q, −9−16q) avec q∈Z.
Exercice 10 – On doit donc résoudre 12J+ 31M= 442. Par l’algorithme
d’Euclide étendu on trouve 13 ·12 −5·31 = 1. Comme dans l’exercice précédent
on a J= 11 mod 31 et M= 10 mod 12. Comme 1 6M612 la seule solution
est M= 10 et donc J= 11.
Exercice 11 –
1) (3,37) = 1 donc 3 ∈(Z/37Z)∗; une relation de Bezout 37 −3·12 = 1 montre
que 3−1= 12 mod 37.
2) (4,14) = 2 >1 donc 4 n’est pas inversible modulo 14.
Exercice 12 – On rappelle que aest un inversible de l’anneau Z/nZsi et
seulement si (a, n) = 1. On a donc : (Z/4Z)∗={1,3}, (Z/6Z)∗={1,3,5},
(Z/12Z)∗={1,5,7,11}. Si pest premier, les inversibles de Z/p2Zsont les a
mod p2tels que pne divise pas a. Il y en a donc p2−p.
Exercice 14 – Comme 2 ∈(Z/5Z)∗et 3 ∈(Z/7Z)∗, on obtient
(2x= 37 mod 5
3x= 48 mod 7 ⇔(2x= 2 mod 5
3x= 6 mod 7 ⇔(x= 1 mod 5
x= 2 mod 7
On utilise la relation de Bezout 3 ·5−2·7 = 1 pour remarquer que
15 = 
0 mod 5
1 mod 7 et −14 = 
1 mod 5
0 mod 7 .
On en déduit que
2·15 −14 = 16 = 
1 mod 5
2 mod 7 .
Alors xvérifie le système ⇔x−16 est divisible par 5 et 7 ⇔x−16 est divisible
par 35. Finalement l’ensemble des solutions est l’ensemble des x= 16 mod 35.