Notion de variable aléatoire

S5 Gestion - Management et Marketing 2015-2016 Statistiques appliquées Variable aléatoire
Université de Picardie Jules Verne 2015-2016
IAE Amiens
Licence mention Gestion parcours Management et Marketing Vente -Semestre 5
Statistiques appliquées
Notion de variable aléatoire
1.Variable aléatoire
Considérons une population sur laquelle on définit un caractère quantitatif X.
Xest une application de dans qui, à tout individu , associe un réel xXX X
ensemble des valeurs du caractère.
Cette application modélise le caractère de façon déterministe en ce sens que, si on connaît l’individu , on
connaît aussitôt la valeur x. Son étude relève de la statistique descriptive qui conduit, par exemple, au tableau
des couples xi,fioù xiest une valeur observée et fisa fréquence.
Supposons maintenant que l’on tire au hasard un individu dans cette population pour consigner la
valeur xdu caractère. Ne pouvant pas prévoir quel individu précis sera tiré, on ne peut pas prévoir non plus la
valeur précise de xqui sera consigner. On aimerait donc disposer d’un moyen d’attribuer une probabilité aux
éléments de X. L’idée est de transporter sur Xla probabilité sur construite pour modéliser la situation
aléatoire correspondant au tirage aléatoire d’un individu.
De même qu’un caractère quantitatif peut être discret ou continu, on parlera de variable aléatoire discrète
ou continue (dans le deuxième cas, on parlera de variable aléatoire à densité).
Exemple introductif.
Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on observe le numéro obtenu. Si le
joueur obtient 1, 3 ou 5, il gagne 1 euro ; s’il obtient 2 ou 4, il gagne 5 euros ; s’il obtient 6, il perd 10 euros.
Prenons   1,2,3,4,5,6,APet Pl’équiprobabilité sur ,A
Soit Xl’application de dans qui à tout associe le gain correspondant.
On a X1X3X51, X2X45 et X610. Ainsi, X1,5,10.
On peut s’intéresser à la probabilité de gagner 1 euro, c’est-à-dire d’avoir X1, ce qui se réalise si et
seulement si 1,3,5. La probabilité cherchée est donc égale à P1,3,5 3/6 1/2. On écrira aussi
PX1 PX11/2.
On pourra donc considérer l’événement : X1/X11,3,5.
On aura de même PX51/3 et PX101/6.
On a ainsi construit un nouvel ensemble X10,1,5, et muni cet ensemble de la probabilité PX
définie par les valeurs ci-dessus : PX10 1/6, PX1 1/2 et PX5 1/3.
1.1.Cas d’un nombre fini de valeurs
Définitions.Notations.
On considère une expérience aléatoire et ,A,Pest un espace probabilisé.fini adapté.
On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r.) toute application Xde dans .
L’ensemble XXdes valeurs prises par Xest appelé univers-image. Xest alors fini.
On désigne par PXla probabilité-image définie par :
pour tout xX,PXx P/XxPXx.
Les événements /Xx,/Xxet /aXxsont notés
respectivement Xx,Xxet aXx.
Loi de probabilité.
Si Xest une v.a.r. dont l’univers-image fini est Xx1,...,xn, alors Xest appelée v.a.r. discrète finie
et on appelle loi de probabilité de Xla donnée des couples xi,pi, avec piPXxi.
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien pi0 et
i1
npip1p2pn1.
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Exemple.
Reprenons l’exemple introductif. La loi de probabilité de Xest donnée par xi-10 1 5
pi1/6 1/2 1/3 1
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Soit Xune v.a.r. discrète dont l’univers-image fini est Xx1,...,xn.
On appelle espérance mathématique de Xle réel EX
i1
npixip1x1p2x2pnxn. Ce nombre
représente la valeur moyenne de X.
On appelle variance de Xle réel VX
i1
npixiEX2EX2EX2
i1
npixi
2EX2.
On appelle écart-type de Xle réel XVX. Ce nombre mesure l’écart à la moyenne des valeurs
prises par X.
Exemple.
Reprenons l’exemple introductif.
On a EX1
6101 211 353 61 2.
On a EX21
61021 2121 352153 651 2,
d’où VXEX2EX251
21 2
2101
4et XVX101 25,025.
Remarque.
En statistique descriptive des variables quantitatives discrètes, nous avons des formules suivantes
analogues.
Moyenne : x1
n
nixi
ni
nxi
fixi.Variance : sx
21
n
nixi
2x2
fixi
2x2.
Ecart-type : sxsx
2.
Lois classiques :Binomiale et Hypergéométrique.
Répétition d’expériences.
On répète nfois dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant
indépendantes entre elles) au cours de laquelle un événement Aa une probabilité pd’être réalisé.
La variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement Aest réalisé, suit la loi Binomiale
Bn,p, ce qui signifie que :
Xest à valeurs dans X0,1,...,net, pour tout k0,1,...,n,PXkn
kpk1pnk.
On a de plus : EXnp et VXnp1p.
Tirages dans une population à 2 catégories.
On considère une population de Nindividus à deux catégories, avec N1individus de catégorie 1 et N2
individus de catégorie 2 (on a N1N2N).
On effectue ntirages d’un individu dans la population et on désigne par Xla variable aléatoire égale au
nombre d’individus de catégorie 1 obtenus.
Si on effectue les tirages avec remise, alors Xsuit la loi Binomiale Bn,N1
N.
Si on effectue les tirages sans remise ou simultanés (dans ce cas, on doit avoir nN), alors Xsuit la loi
Hypergéométrique HN,n,N1
N, ce qui signifie que
Xest à valeurs dans Xmax0,nNN1,minN1,n
et pour tout k0,1,...,n,PXk
N
1
kNN
1
nk
N
n
  .
On a de plus : EXnp et VXnp1pNn
N1en posant pN1
N.
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Exemple.
Un magasin de vêtements a constitué un stock d’un certain type de pantalons. On admet que le
pourcentage de pantalons du stock présentant un défaut est égal à 5%. On choisit au hasard un lot de 3
pantalons dans le stock. On suppose que le stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être
assimilé à 3 tirages indépendants avec remise.
On appelle Xla variable aléatoire qui dénombre les pantalons présentant un défaut dans le lot de 3
pantalons prélevés.
Alors Xsuit la loi Binomiale B3;0,05, c’est-à-dire Xest à valeurs dans X0,1,...,n0,1,2,3
et pour tout k0,1,2,3,PXkn
kpk1pnk3 k0,05k0,953k.
En effet, on peut considérer que l’on répète n3 fois l’expérience aléatoire "choisir au hasard un
pantalon" au cours de laquelle l’événement A"le pantalon présente un défaut" a la probabilité p0,05 d’être
réalisé.
On peut aussi considérer que l’on effectue n3 tirages d’un individu dans la population des Npantalons,
avec N1pantalons avec défaut et N2pantalons sans défaut (on a N1N2N). On ne connaît ni N1ni N,
donc on ne peut pas supposer les tirages sans remise qui conduiraient à la loi Hypergéométrique. On doit donc
supposer les tirages avec remise et N1
N0,05. Ceci est justifé par le résultat suivant.
Propriété.
Lorsque Nest très grand devant n(en pratique N10n), on peut approcher la loi Hypergéométrique
HN,n,N1
Npar la loi Binomiale Bn,N1 N. Cela signifie que
N
1
kNN
1
nk
N
n
  n
kN1
N
k1N1
N
nk. Et donc confondre tirages avec ou sans remise.
1.2.Cas d’un nombre infini dénombrable de valeurs
Définitions.
On appelle variable aléatoire réelle discrète infinie toute v.a.r. dont l’univers-image X(ensemble des
valeurs prises par X) est infini dénombrable. Dans ce cours, on se limitera à Xk/kou
X.
On appelle loi de probabilité de Xla donnée des couples k,pk, avec pkPXk, pour kX.
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien pk0 et
k
X
pk1.
Attention ! Cette dernière somme contient une infinité de termes ! Il s’agit de la somme d’une série
numérique, qui peut être infinie ou ne pas exister. Nous n’aborderons pas pour le moment les problèmes liés à
cette notion.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Soit Xune v.a.r. discrète dont l’univers-image infini est X.
Sous reserve d’existence des sommes indiquées ci-dessous, on a :
- espérance mathématique de X:EX
k
X
kpk.
- variance de X:VX
k
X
kEX2pket VXEX2EX2
k
X
k2pkEX2.
- écart-type de X:XVX- intervalle moyen de X:EXX,EXX.
Lois classiques :Poisson et Géométrique.
Loi de Poisson.
Une variable aléatoire Xsuit la loi de Poisson Pde paramètre 0 si et seulement si :
Xest à valeurs dans Xet, pour tout k,PXkek
k!.
On a de plus : EXet VX.
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Loi Géométrique.
On répète dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant indépendantes
entre elles) au cours de laquelle un événement Aa une probabilité pd’être réalisé.
La variable aléatoire X, égale au nombre d’expériences nécessaires pour avoir la première réalisation de A
(i.e. au temps d’attente de l’événement A), suit la loi Géométrique Gp, ce qui signifie que :
Xest à valeurs dans Xet, pour tout k,PXkp1pk1.
On a de plus : EX1
pet VX1p
p2.
1.3.Cas d’un nombre infini non dénombrable de valeurs
Lorsque Xest infini non-dénombrable (par exemple Xa,bou ), la théorie montre que
PXx0 pour tout xde . On est alors amené à donner la loi de probabilité de Xpar sa fonction de
répartition FXdéfinie par FXxPXx.
Définition.
On appelle densité ou densité de probabilité sur toute fonction fde dans vérifiant :
-fest positive ;
-fest continue sur sauf éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points ;
- l’intégrale
fxdx est convergente et fxdx 1.
Définition. Une variable aléatoire Xest dite continue s’il existe une densité fXtelle que pour tout x,
FXx
xfXtdt.
fXest alors appelée densité de X. On dit aussi que Xest une variable aléatoire réelle à densité.
Propriétés.
Soit Xune variable aléatoire continue dont fXest une densité, et soit FXsa fonction de répartition.
Alors FXest une fonction de dans 0,1, continue et croissante sur , dérivable sur , sauf
éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points, de dérivée fX, et telle que lim
x Fx0 et
lim
xFx1. De plus, pour tous réels x,aet btels que ab, on a :
PXx0 ; PXxPXx;PaXbPaXbFXbFXa
a
bfXtdt.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus, et sous réserve que les intégrales suivantes existent, on a :
-EX
xfXxdx (ce nombre représente la valeur moyenne de X) ;
-VX
xEX2fXxdx ;VXEX2EX2 x2fXxdx EX2;
-XVX; intervalle moyen de X:EXX,EXX.
Lois classiques :Uniforme,Exponentielle et Normale
Loi Uniforme sur a,b.
Xa,b,fXx1
basi xa,b
0 si xa,bFXx
0 si xa
xa
basi xa,b
1 si xb
EXab
2et VXba2 12 .
Loi Exponentielle de paramètre ,avec 0.
X0,,fXxexsi x0
0 si x0,FXx1exsi x0 0 si x0,EX1
et VX1
2.
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1.4 Loi Normale N,.
1.4.1.Cas de la loi N0,1(loi normale centrée réduite).
On a Xet fXx1
2e
x2
2
pour tout x.
On a de plus EX0 et VX1.
La fonction de répartition de Xest donnée par xFXx
xfXtdt  x1
2e
t2
2
dt pour tout
x. Cette fonction n’étant pas exprimable par des fonctions usuelles, on utilise généralement une valeur
approchée de cette fonction. Ses valeurs sont tabulées pour les x0 (table 1 en page 9). Pour les x0, on
peut utiliser la formule x1x(formule valable pour tout réel x)
La table 1 ne donne des valeurs approchées de xque pour des xcompris entre 0 et 3. On pourra
admettre que x1 pour tout x3, ou utiliser les valeurs supplémentaires données.
Quelques valeurs
supplémentaires
xx
2,99 0,998605
3,00 0,998650
3,50 0,999767
4,00 0,999968
4,50 0,999997
5,00 1,000000
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