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L3 - Biologie g´en´erale - 2005 - 2006 - Math´ematiques
TD n03 : Division euclidienne - Congruence
1 Division euclidienne - Divisibilit´e
Exercice 1.1. [Rennes 2003]
Quel est le 125`eme chiffre apr`es la virgule du d´eveloppement d´ecimal de 22
7?
A - 5 B - 4 C - 6 D - 8 E - 7
Exercice 1.2. [Rennes 2005]
Il s’agit de rechercher le centi`eme chiffre apr`es la virgule de la valeur approch´ee `a 10−120 pr`es par exc`es
de 67
7. Parmi les propositions suivantes, laquelle (lesquelles) est-elle (sont-elles) exactes ?
A - On ne peut pas savoir B - C’est le chiffre 1 C -C’est le chiffre 2
D - Ce n’est pas le chiffre 3 E - C’est le chiffre 4
Exercice 1.3. [Rennes 1998] On divise 3242 par 99. Quel est le vingti`eme chiffre apr`es la virgule ?
A - ce chiffre sera 3 B - ce chiffre sera 4 C - ce chiffre sera 5
D - ce chiffre sera 6 E - ce chiffre sera 7
Exercice 1.4. [Aquitaine 2003]
On compte de 37 en 37 `a partir de 79, ce qui am`ene `a consid´erer la suite :
79, 116, 153, . . . , 79+37×n(nd´esignant un nombre entier).
Quelles sont les propositions vraies ? (3 r´eponses correctes)
A - Le 6`eme nombre de la suite est 264
B - Le 100`eme nombre de la suite est 3779
C - 745 est un nombre de la suite
D - Dans cette suite, il n’y a pas de nombre se terminant par 2
E - si xet ysont deux nombres de cette suite (x < y), la diff´erence y−xest un multiple de 37
Exercice 1.5. [Orl´eans-Tours 2002] Soit nun diviseur de un million. On sait que nn’est ni un multiple
de 25 ni un multiple de 64. Que peut-on en conclure ?
A - nest n´ecessairement un multiple de 10
B - nest n´ecessairement un multiple de 2
C - nest n´ecessairement un multiple de 5
D - il est possible que n´egale 80
Exercice 1.6. [Aquitaine 2003] Au r´efectoire (qui comporte 296 places), les ´el`eves remplissent les tables
de 8 personnes au fur et `a mesure qu’ils se pr´esentent. Au premier service, 245 ´el`eves sont d´ej`a install´es
lorsque Nathalie et ses trois amies entrent dans le r´efectoire. D´eterminer les 2 r´eponses correctes.
A - Nathalie et ses amies mangeront `a des tables s´epar´ees.
B - Nathalie et ses amies mangeront `a la mˆeme table.
C - Il reste 6 tables enti`erement vides apr`es l’installation de Nathalie et ses amies
D - Il reste 5 tables enti`erement vides apr`es l’installation de Nathalie et ses amies
E - Il reste 7 tables enti`erement vides apr`es l’installation de Nathalie et ses amies

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Exercice 1.7. [Limousin 2004] Sachant que le reste dans la division euclidienne d’un entier naturel n
par 7 est 6, quelle est ou quelles sont les affirmations fausses ?
A - le reste dans la division euclidienne du suivant de n par 7 est 0.
B - le reste dans la division euclidienne du pr´ec´edent de n par 7 est 5.
C - le reste dans la division euclidienne du double de n par 7 est 12
D - le reste dans la division euclidienne du carr´e de n par 7 est 6
E - le reste dans la division euclidienne de (n+8) par 7 est 0
Exercice 1.8. [Annales] En effectuant la division euclidienne de apar 13, on trouve un quotient ´egal au
reste. La plus grande valeur possible pour aest :
A - 156 B - 157 C - 168 D - 169
Exercice 1.9. [Orl´eans-Tours 2001] Dans la division euclidienne d’un nombre par 7 le quotient est ´egal
au reste. Laquelle des affirmations suivantes est exacte?
A - il existe une infinit´e de dividendes possibles
B - il est impossible qu’un quotient soit ´egal au reste
C - il y a sept dividendes possibles
D - il manque des informations pour savoir combien de dividendes sont possibles
Exercice 1.10. [Lyon 2002] Laquelle (lesquelles) de ces phrases est (sont) vraie(s) ?
Pour tous les entiers naturels a, b, c tels que aest divisible par cet best divisible par c:
A - a×best divisible par 2c.
B - a+best divisible par 2c.
C - a×best divisible par c.
D - a×best divisible par c2.
E - aest divisible par b.
Exercice 1.11. [Limousin 2003] Parmi les propositions suivantes, quelle est ou quelles sont celles qui
sont vraies ?
A - Si un nombre entier est multiple de 423, alors il est multiple de 3.
B - Si un nombre entier est multiple de 6 et de 8, il est multiple de 48.
C - Si un nombre entier est divisible par 3 et par 6, alors il est divisible par 18
D - Si un nombre entier est multiple de 7 et de 9, alors il est impair.
E -Le produit de trois nombres entiers cons´ecutifs est un multiple de 3.
Exercice 1.12. [Rennes 1996] Les 5 bandits ont emport´e tous les lingots d’or de la banque! Ils pr´evoient
de se partager ´equitablement les lingots. Il en restera 3 qu’ils attribueront `a leur chauffeur. Apr`es une
course poursuite, ils ne sont que 3 `a ´echapper `a la police en compagnie du chauffeur. Ils font alors le
partage ´equitable entre eux trois, et le chauffeur re¸coit 4 lingots. Le livre de compte de la banque a ´et´e
abˆım´e dans l’attaque, et le caissier ne peut pas savoir s’il y avait 18, 23, 43, ou 53 lingots. Il y avait :
A - 18 lingots B - 23 lingots C - 43 lingots D - 53 lingots

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Exercice 1.13. [Loire 2004] Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ( ou lesquelles sont
vraies)?
A - Le quotient de la division de 2004 par 89 est 22
B - Le quotient de la division de 2004 par 22 est 89
C - Le reste de la division de 2004 par par 22 est 46
D - Dans la division de 2004 par 89, le quotient est 22 et le reste 46
Exercice 1.14. [Terracher] Soient aet bdeux entiers naturels. Montrer que an−bnest divisible par
a−b.
En d´eduire que, pour tout n, 1998n−1789nest divisible par 11 et 19.
Exercice 1.15. [Rennes 1996] Dans une division euclidienne, les donn´ees sont le dividende Det le
diviseur d. Les r´esultats sont le quotient qet le reste r. On a D=q×d+ret 0 ≤r < d.
Voici les r´esultats de quelques divisions :
dividende diviseur quotient reste
1 000 995 1 5
1 000 000 995 1 005 25
1 000 000 000 995 1 005 025 125
1 000 000 000 000 995 1 005 025 125 625
On cherche le quotient et le reste quand le dividende est 1 000 000 000 000 000 et le diviseur 995.
A - q = 1 005 025 125 625 et r = 3 125
B - q = 1 005 025 125 626 et r = 125
C - q = 1 005 025 125 627 et r = 135
D - q = 1 005 025 125 628 et r = 140
2 Congruence
Exercice 2.1. Partiel mars 2001
Donner les restes de la division euclidienne par 11 des puissances de 8, dans un tableau comme le suivant,
c’est-`a-dire calculer modulo 11 :
8 828384858687
8 9
En d´eduire le reste de la division de 82001 par 11.
Que peut-on dire de la divisibilit´e de 82001 −8 par 11 ?
Exercice 2.2. Examen juin 2002
Calculer 3245 modulo 7, c’est-`a-dire donner le reste de la division euclidienne par 7 de 3245.
Exercice 2.3. Examen Juin 2001. Dans l’´ecriture d´ecimale des nombres,
1. donner le chiffre des unit´es de 29198.
2. donner les deux derniers chiffres de 7150.
Exercice 2.4. [Aquitaine 2004] Quel est le dernier chiffre de l’´ecriture d´ecimale du nombre !1
5"8
?
A - 0 B - 2 C - 4 D - 6 E - 8
Exercice 2.5. [Rennes 2001]
Le chiffre des unit´es de 243243 est :
A - 1 B - 3 C - 5 D - 7 E - 9
Exercice 2.6. [Rennes 1999]
320 = 3486784401
Les derniers chiffres de 3100 sont donc :
A - 205 B - 001 C - 005 D - 221 E - 841

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Exercice 2.7. [Rennes 1998] Quel est le dernier chiffre dans l’´ecriture d´ecimale de 246 ?
A - 2 B - 4 C - 6 D -8 E - 0
Exercice 2.8. [Rennes 1998]
Je pense `a trois nombres entiers a, b, c. Si on les ajoute deux `a deux, on trouve 38, 44, 52.
Quel est le chiffre des unit´es du plus petit des trois nombres a, b, c ?
A - le chiffre est 2 B - le chiffre est 3 C - le chiffre est 5
D - le chiffre est 6 E - le chiffre est 8
Exercice 2.9. [Terracher] Probl`eme de calendrier
On consid`ere le calendrier gr´egorien valable `a partir du 10 avril 1585 jusqu’en l’an 3000. Dans ce syst`eme
les ann´ees s´eculaires ne sont bissextiles que lorsque le mill´esime est multiple de 400. Le premier janvier
1998 est un jeudi.
A quel jour de la semaine correspondent les dates suivantes :
•le 11 novembre 1918
•le 8 mai 1945
•le premier janvier 2050
•votre jour de naissance
Exercice 2.10. [Rennes 2001] Le num´ero INSEE attribu´e `a tout r´esident fran¸cais comporte 13 chiffres.
La cl´e de contrˆole est un nombre entier compris entre 0 et 96 inclus, calcul´e de fa¸con `a ce que deux
num´eros n’aient la mˆeme cl´e que s’ils ont le mˆeme reste dans la division par 97.
Le num´ero de Monsieur Durand est 1790614110067. Monsieur Durand ne se souvient pas de son num´ero.
Voici cinq num´eros erron´es qu’il a fournis `a diverses occasions. Le(s)quel(s) n’a(n’ont) pas pu ˆetre
d´etect´e(s) grˆace `a la cl´e de contrˆole ?
A : 1790614110167
B : 1790614100076
C : 1790614119767
D : 1790614110607
E : 1790614109676
3 Num´eration
Exercice 3.1. [Rennes 2000] Combien y a-t-il de nombres dont tous les chiffres soient diff´erents entre
700 et 3000 ?
A - 2299 B - 1496 C - 1732 D - 958 E - 1224
Exercice 3.2. [Aquitaine 2003] On ´ecrit la suite de nombres entiers de 43 `a 77, 43 et 77 compris. Quelles
sont les affirmations vraies ? (2 r´eponses correctes)
A : Dans cette suite le chiffre 5 apparaˆıt 4 fois.
B : Dans cette suite le chiffre 9 apparaˆıt 3 fois.
C : Dans cette suite le chiffre 7 apparaˆıt 11 fois.
D : Dans cette suite le chiffre 4 apparaˆıt 11 fois.
E : Cette suite comporte 34 nombres

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Exercice 3.3. [Aquitaine 2003] Nest un nombre entier positif `a deux chiffres se terminant par 5. On
note dle chiffre des dizaines. D´eterminer les propositions correctes. (3 r´eponses correctes)
A - Npeut s’´ecrire 10d+ 5
B - Le nombre N2est un multiple de 25
C - Le nombre de centaines de N2est d2
D - Le nombre de centaines de N2est d(d+ 1)
E - Le chiffre des dizaines de N2n’est jamais ´egal au chiffre des dizaines de N
Exercice 3.4. [Loire 2001] Parmi les affirmations suivantes, quelle est celle ou quelles sont celles qui
sont vraies ?
A - Si un nombre est multiple de 36, il est multiple de 12
B - Tout diviseur de 495 est diviseur de 400 et 95
C - Si un nombre est divisible par 6 et par 9 simultan´ement, il est divisible par 54
D - Si un nombre est divisible par 9, la somme de ses chiffres est divisible par 9
E - Certains multiples de 18 sont multiples de 54.
Exercice 3.5. [Aquitaine 2003] On consid`ere le nombre 109−9. Lorsqu’on fait la somme des chiffres
composant l’´ecriture usuelle de ce nombre, on obtient (1 r´eponse correcte) :
A - 82 B - 19 C - 73 D - 74 E - 20
Exercice 3.6. [Rennes 2004] On nomme ”factorielle 100”, que l’on note 100!, le produit des 100 premiers
entiers positifs, c’est-`a-dire 1 ×2×3×. . . ×99 ×100. Si l’on effectuait ce produit, par combien de z´eros
se terminerait-il ?
A - 100 B - 24 C - 242 D - 46 E - 20
Exercice 3.7. [Orl´eans-Tours 2002] Quand on calcule 62−52, on trouve 11; quand on calcule 562−452,
on trouve 1 111 et quand on calcule 5562−4452, on trouve 111 111. Que trouve-t-on quand on calcule
5555562−4444452, ?
A - 111 111 111 B - 111 111 111 111 C - 111 111 111 111 111
D - 111 111 111 111 111 111
Exercice 3.8. [Orl´eans-Tours 2003] On nomme αl’´ecriture, en num´eration d´ecimale, du plus petit nombre
`a 17 chiffres dont la somme des chiffres est 17. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
A - αne contient pas le chiffre 9 B - Il faut que αse termine par 0
C - αcontient 17 fois le chiffre 1 D - αcontient 14 fois le chiffre 0
Exercice 3.9. [Limousin 2001] Combien y a-t-il de nombres entiers de 3 chiffres dont la somme des
chiffres est ´egale `a 3 ?
A - 7 B - 3 C - 4 D - 6 E - 5
Exercice 3.10. [Annales] On consid`ere deux nombres entiers `a trois chiffres, tels que les chiffres figurant
dans l’´ecriture de l’un figurent ´egalement dans l’´ecriture de l’autre.
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont vraies ?
A : si leur diff´erence est un multiple de 9, alors l’un deux est un multiple de 9,
B : si l’un des deux nombres est un multiple de 9, alors leur diff´erence est un multiple de 9,
C : leur diff´erence est un multiple de 9,
D : on ne peut pas savoir si leur diff´erence est un multiple de 9, cela d´epend des nombres consid´er´es,
E : si l’un des deux nombres est un multiple de 6, alors leur diff´erence est un multiple de 6.