Exercices sur le produit scalaire et les espaces euclidiens - Correction 5
(a) Analyse: Soit f∈E. Supposons que : ∃(g, h)∈V×Wtel que f=h+g.
g∈W⇔∀x∈[0,1], g(x)=Aex+Be−x
h∈V⇔h(0)=h(1)=0.
f=h+g⇒
f(0)=A+B
f(1)=Ae+Be−1
∀x∈[0,1], h(x)=f(x)−Aex−Be−x
⇒
A=ef(0)−f(1)
e2−1
B=f(0)−ef(0)−f(1)
e2−1
∀x∈[0,1], h(x)=f(x)−ef(0)−f(1)
e2−1ex−f(0)−ef(0)−f(1)
e2−1e−x
(b) Synth`ese: La d´ecomposition propos´ee v´erifie bien les conditions et est unique donc V⊕W=E.
Exercice 14: Soit (E, <,>)un espace euclidien. Soit f∈L(E)tel que
∀(x, y)∈E2,<f(x), y >=<x, f (y)>
Montrer que Im(f)=Ker(f)⊥.
Exercice 15: Soit (E, <,>)un espace euclidien. Soient Fet Gdeux sev de E.
Exprimer (F∪G)⊥en fonction de F⊥et de G⊥.
Exercice 16: Soit (E, <,>)un espace euclidien. Soit pun projecteur de L(E).
1. Supposons que psoit un projecteur orthogonal. Montrer que
∀x∈E, p(x)≤x.
2. R´eciproquement, supposons que ∀x∈E, p(x)≤x.
Soit x∈Ker(p), y ∈Im(p).
(a) Montrer que y=p(y+x).
(b) Montrer que ∀λ∈R,
y2≤y2+2λ<x, y >+λ2x2.
(c) En d´eduire que <x, y >=0 puis que pest un projecteur orthogonal.
3. En d´eduire une caract´erisation des projecteurs orthogonaux.
Exercice 17: D´eterminant de Gram
Soit Eun espace pr´ehilbertien r´eel. Soit (u1, ..., up)∈Ep. On note G(u1, ...., up)la matrice dont le coefficient en
position i, j est <ui, uj>.
1. Exprimer G(1,X,X2)pour E=R2[X].
2. Que pouvez-vous dire de la matrice G(u1, ...., up)? Que se passe-t-il si la famille (u1, ..., up)est une base
orthonorm´ee ?
3. Montrer que si la famille (u1, ..., up)est li´ee alors
det(G(u1, ..., up))=0. D´emontrer la r´eciproque.
4. Soit F=Vect(u1, ..., up)et soit x∈E.
En ´ecrivant x=pV(x)+pV⊥(x), montrer que
det(G(u1, ..., up, x)=pV⊥(x)2.det(G(u1, ...., up))
5. En d´eduire que
d(x, F )=
det(G(u1, ..., up, x)
det(G(u1, ...., up)
Math´ematiques Lyc´ee l’Essouriau 2016-2017