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Exercices sur le produit scalaire et les espaces euclidiens - Correction 1
Exercice 1:
1. La fonction φn’est pas d´efinie puisque pour x=(0,1, ..., 1)on a φ(x, x)=0.
2. La fonction φn’est pas sym´etrique.
3. La sym´etrie, la lin´earit´e et la positivit´e se montre rapidement de fa¸con classique.
Soit P∈Rn[X]tel que
n
k=0
P2(ak)=0. Donc, pour 1 ≤k≤n, P (ak)=0.
Le polynˆome a donc au moins n+1 racines et il est de degr´e ≤ndonc P=0.
φest bien un produit scalaire sur E.
4. La sym´etrie, la lin´earit´e et la positivit´e se montre rapidement de fa¸con classique.
Soit f∈C1([0,1],R)tel que f2(0)+1
0(f′(t))2dt =0. Par somme de terme positifs, on a donc f(0)=0 et
1
0(f′(t))2dt =0.
La fonction (f′)2est positive et continue sur [0,1]donc on a f′=0.
La fonction fest constante. Or, f(0)=0 donc fest la fonction nulle.
φest bien un produit scalaire sur E.
Exercice 2: Calcul de normes
1. Sur E=Rn, la base canonique est (e1=(1,0, ..., 0), ..., en=(0, ..., 0,1))et le produit scalaire canonique est
<x, y >= n
∑
k=1
xiyi.
∀(i, j)∈[1, n]2,<ei, ej>=δi,j donc ei=1.
Il s’agit d’une base orthonorm´ee.
2. Sur R2[X]=Vect(1,X,X2), le produit scalaire canonique est <P, Q >=1
0
P(t)Q(t)dt.
12=<1,1>=1<1,X>=∫1
0tdt =1
2<1,X2>=∫1
0t2dt =1
3
X2=<X,X>=∫1
0t2dt =1
3<X,X2>=∫1
0t3dt =1
4
X22=<X2,X2>=∫1
0t4dt =1
5
Cette famille n’est pas orthonorm´ee.
3. Sur Mn(R), le produit scalaire est <A, B >= tr(AT.B)et la base canonique est form´ee des matrices
´el´ementaires (Ei,j )1≤i,j≤n.
tr(ET
i,j .Ek,l)=tr(Ej,i.Ek,l)=tr(δi,k.In)=δi,k . On retrouve une base orthonorm´ee.
Exercice 3: Soit (E, <,>)un espace pr´ehilbertien r´eel. Soit . la norme associ´ee au produit scalaire. Montrer
que
 x
x2−y y22= x x22−2<x x2,y y2>+ y y22
=x2
x4−2<x, y > x2.y2+y2 y4
=y2−2<x, y >+x2
x2.y2
=x−y2
x2.y2
 x
x2−y y2 =x−y x.y
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Exercices sur le produit scalaire et les espaces euclidiens - Correction 2
Exercice 4: Soit (x, y)∈E2et λ∈R.
f(λ.x)−λ.f(x)2=f(λ.x)2−2<f(λ.x), λ.f(x)>+λ.f(x)2
=λ.x2−2λ<f(λ.x), f(x)>+λ2f(x)2
=λ2x2−2λ<λ.x, x >+λ2x2
=λ2x2−2λ2<x, x >+λ2x2
=0
f(λ.x)=λ.f(x)
On fait pareil avec f(x+y)−(f(x)+f(y))2
Exercice 5: Soit E=Rnmuni du produit scalaire usuel.
1. Soit x=(x1, ..., xn)∈E, soit y=(y1, ..., yn)∈E.
<x, y >2≤x2.y2⇔n
k=1
xiyi2≤n
k=1
x2
i.n
k=1
y2
i
2. Soit x=(x1, ..., xn)∈E. En appliquant l’in´egalit´e de C-S avec y=(1, ...., 1), on botient:
n
k=1
xk2≤nn
k=1
x2
k
3. Soit x∈Etel que n
∑
k=1
xk=1. On applique C-S aux vecteurs (√x1, ...., √xn)et (1
√x1, ...., 1 √xn). On a bien
n2≤n
k=1
1
xk
Exercice 6: Soit E=C([a, b],R)muni du produit scalaire usuel.
1. Soit f∈E, soit g∈E.
<f, g >2≤f2.g2⇔b
af(t)g(t)dt2≤b af2(t)dt.b ag2(t)dt
2. (a) Soit f∈E. On applique C-S aux fonction √fet 1
√f. On a donc
b
af(t)1
f(t)dt2≤b
a(f(t))2dt.b a1
f(t)2dt
⇒(b−a)2≤b
af(t)dt.b a
1
f(t)dt⇒(b−a)2≤l(f)
(b) Soit fla fonction constante ´egale `a `a 1 sur [a, b]. On a l(1)=(b−1)2.
Exercice 7: Soit E=C([0,1],R)muni du produit scalaire usuel.
Pour fcontinue et positive sur [0,1], on applique l’in´egalit´e de C-S aux fonctions t↦tnf(t)et t↦tpf(t).
On a alors
I2
n+p≤I2n.I2p
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Exercices sur le produit scalaire et les espaces euclidiens - Correction 3
Exercice 8: On munit Mn(R)du produit scalaire usuel : <A, B >=tr(AT.B). L’in´egalit´e de C-S dit que
(tr(AT.B))2≤tr(AT.A).tr(BT.B)
Soit (A, B)∈Sn(R)2. On a donc AT=Aet BT=B
De plus tr(AB +BA)=tr(AB)+tr(BA)=tr(AB)+tr(AB)=2tr(AB). Donc
(tr(AB +BA))2=(2tr(AB))2≤4tr(A2).tr(B2)
Exercice 9: Soit (E, <,>)un espace pr´ehilbertien r´eel. Soit k∈Ret soit a∈E. On pose
∀(x, y)∈E2, φ(x, y)=x2+k<x, a ><y, a >
A quelle(s) condition(s) φest-il un produit scalaire sur E?
Exercice 10: Montrer que
∀A∈Mn(R),tr(A)≤√ntr(AT.A)
Exercice 11: On applique le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. On regarde d’abord si la famille est
orthonorm´ee ou pas.
<u, v >=2,<v, w >=0,<w, u >=−1.
u=√2,v=√3,w=√2
La famille (v
√3,w √2)est orthonorm´ee. On va la compl´eter avec le proc´ed´e d’orthogonalisation de G-S.
Soit f=u−<u, v
√3>v √3−<u, w √2>w √2. On a f∈Vect(u, v)⊥.
f=(1,0,1)−1
3.2.(1,1,1)−1 2.(−1).(−1,1,0)=(−1 6,−1 6,2 3).
Il reste `a normaliser le vecteur f.
La famille (v
√3,w √2,√2f)est une base orthonorm´ee de R3.
Exercice 12: On d´efinit une application sur R[X]×R[X]par
∀P, Q ∈R[X], φ(P, Q)=1
2ππ
−πP(eiθ)Q(eiθ)dθ.
1. On va montrer que c’est une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive.
(a) Sym´etrique: Soit (P, Q)∈R[X]2.
φ(P, Q)=1
2ππ
−πP(eiθ)Q(eiθ)dθ
=1
2ππ
−πP(e−iθ)Q(eiθ)dθ car Pest `a coefficients r´eels
=1
2π−π
πP(eiu)Q(e−iu)(−du)changement de variable u=−θ
=φ(Q, P )
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Exercices sur le produit scalaire et les espaces euclidiens - Correction 4
(b) Bilin´eaire: Soit (P, Q, R)∈R[X]3. Soit λ∈R.
φ(P, Q +λR)=1
2ππ
−πP(eiθ)(Q+λR)(eiθ)dθ
=1
2ππ
−πP(eiθ)(Q(eiθ)+λR(eiθ))dθ
=1
2ππ
−πP(eiθ)Q(eiθ)dθ +λ. 1
2ππ
−πP(eiθ)R(eiθ)dθ
=φ(P, Q)+λφ(P, R)
Par sym´etrie, on obtient la bilin´earit´e.
(c) Positivit´e: Soit P∈R[X].
φ(P, P )=1
2ππ
−πP(eiθ)P(eiθ)dθ =1
2ππ
−πP(eiθ)2dθ
Or, θ↦P(eiθ)2est continue et positive sur [−π, π]donc, par positivit´e de l’int´egrale, φest bien
positive.
(d) D´efinie: Soit P∈R[X]tel que φ(P, P )=0.
φ(P, P )=0⇒1
2ππ
−πP(eiθ)2dθ =0.
⇒∀θ∈[−π, π],P(eiθ)2=0
⇒∀θ∈[−π, π], P (eiθ)=0
Pa une infinit´e de racines, c’est donc le polynˆome nul.
φest bien un produit scalaire sur R[X].
2. Soit (k, l)∈N2avec k≠l.
φ(Xk,Xl)=1
2ππ
−π(eiθ)k(eiθ)ldθ =1
2ππ
−π
ei(l−k)θdθ
=1
2πei(l−k)θ i(l−k)π
−π=sin((l−k)π)
π(l−k)=0
φ(Xk,Xk)=1
2ππ
−π(eiθ)k(eiθ)kdθ =1
2ππ
−π1dθ =1
La famille (Xk)k∈Nest une famille orthonorm´ee pour ce produit scalaire.
Exercice 13: D’apr`es CCP
Soit E=C2([0,1],R)
1. Pas de difficult´e.
2. On va commencer par orthogonaux. Soit f∈Vet soit g∈W.
<f, g > = 1
0
f(t)g(t)dt +1
0
f′(t).g′(t)dt
=1
0
f(t)g(t)dt +f(t)g′(t)]1
0−1
0
f(t).g′′(t)dt
=1
0
f(t)g(t)dt +f(1)g′(1)−f(0)g′(0)−1
0
f(t).g(t)dt
=0
o`u on a utilis´e que f(0)=f(1)=0 et g′′ =g.
Pour suppl´ementaires, on va utiliser une d´emonstration par analyse et synth`ese.
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Exercices sur le produit scalaire et les espaces euclidiens - Correction 5
(a) Analyse: Soit f∈E. Supposons que : ∃(g, h)∈V×Wtel que f=h+g.
g∈W⇔∀x∈[0,1], g(x)=Aex+Be−x
h∈V⇔h(0)=h(1)=0.
f=h+g⇒
f(0)=A+B
f(1)=Ae+Be−1
∀x∈[0,1], h(x)=f(x)−Aex−Be−x
⇒
A=ef(0)−f(1)
e2−1
B=f(0)−ef(0)−f(1)
e2−1
∀x∈[0,1], h(x)=f(x)−ef(0)−f(1)
e2−1ex−f(0)−ef(0)−f(1) e2−1e−x
(b) Synth`ese: La d´ecomposition propos´ee v´erifie bien les conditions et est unique donc V⊕W=E.
Exercice 14: Soit (E, <,>)un espace euclidien. Soit f∈L(E)tel que
∀(x, y)∈E2,<f(x), y >=<x, f (y)>
Montrer que Im(f)=Ker(f)⊥.
Exercice 15: Soit (E, <,>)un espace euclidien. Soient Fet Gdeux sev de E.
Exprimer (F∪G)⊥en fonction de F⊥et de G⊥.
Exercice 16: Soit (E, <,>)un espace euclidien. Soit pun projecteur de L(E).
1. Supposons que psoit un projecteur orthogonal. Montrer que
∀x∈E, p(x)≤x.
2. R´eciproquement, supposons que ∀x∈E, p(x)≤x.
Soit x∈Ker(p), y ∈Im(p).
(a) Montrer que y=p(y+x).
(b) Montrer que ∀λ∈R,
y2≤y2+2λ<x, y >+λ2x2.
(c) En d´eduire que <x, y >=0 puis que pest un projecteur orthogonal.
3. En d´eduire une caract´erisation des projecteurs orthogonaux.
Exercice 17: D´eterminant de Gram
Soit Eun espace pr´ehilbertien r´eel. Soit (u1, ..., up)∈Ep. On note G(u1, ...., up)la matrice dont le coefficient en
position i, j est <ui, uj>.
1. Exprimer G(1,X,X2)pour E=R2[X].
2. Que pouvez-vous dire de la matrice G(u1, ...., up)? Que se passe-t-il si la famille (u1, ..., up)est une base
orthonorm´ee ?
3. Montrer que si la famille (u1, ..., up)est li´ee alors
det(G(u1, ..., up))=0. D´emontrer la r´eciproque.
4. Soit F=Vect(u1, ..., up)et soit x∈E.
En ´ecrivant x=pV(x)+pV⊥(x), montrer que
det(G(u1, ..., up, x)=pV⊥(x)2.det(G(u1, ...., up))
5. En d´eduire que
d(x, F )=
det(G(u1, ..., up, x)
det(G(u1, ...., up)
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