[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1
Limite et continuité
Exercice 1 [ 00478 ] [correction]
Etudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes :
a) f(x, y) = x3+y3
x2+y2b) f(x, y) = xy
x4+y4
c) f(x, y) = x2y
x4+y2d) f(x, y) = xy
xy
Exercice 2 [ 00480 ] [correction]
Soit f:R+×R+?Rdéfinie par f(x, y) = xypour x > 0et f(0, y)=0.
a) Montrer que fest une fonction continue.
b) Est-il possible de la prolonger en une fonction continue sur R+×R+?
Exercice 3 [ 00481 ] [correction]
Soient Eun espace vectoriel normé et Aune partie non vide de E.
Pour xE, on pose
d(x, A) = inf {kxak/a A}
Montrer que l’application x7→ d(x, A)est définie et continue sur E.
Exercice 4 [ 00482 ] [correction]
Soient g:R2Rcontinue et Cun cercle de centre Oet de rayon R > 0.
a) Montrer qu’il existe deux points Aet Bde Cdiamétralement opposés tels que
g(A) = g(B).
b) Montrer qu’il existe deux points Cet Dde C, se déduisant l’un de l’autre par
un quart de tour tels que g(C) = g(D).
Exercice 5 [ 02769 ] [correction]
Déterminer l’ensemble des morphismes continus de (U, ×)dans lui-même.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) On écrit x=rcos θet y=rsin θavec r=px2+y20et alors
f(x, y) = r(cos3θ+ sin3θ)
(x,y)(0,0) 0
b) f(1/n, 0) 0et f(1/n, 1/n3)1. La fonction fn’a pas de limite en (0,0).
c) f(1/n, 0) = 0 0et f(1/n, 1/n2)=1/21/2. La fonction fn’a pas de limite
en (0,0).
d) f(1/n, 0) = 0 0et f(1/n + 1/n2,1/n) = 1/n2+1/n3
1/n21. La fonction fn’a
pas de limite en (0,0).
Exercice 2 : [énoncé]
a) f(x, y) = exp(yln x)est continue sur R+?×R+?par opérations sur les
fonctions continues.
Il reste à étudier la continuité aux points (0, b)avec b > 0.
Quand (x, y)(0, b)avec (x, y)R+?×R+?on a yln x→ −∞ et donc
f(x, y) = xy0.
D’autre part, quand (0, y)(0, b), on a f(x, y)=00.
Ainsi fest continue en (0, b).
b) Si l’on peut prolonger fpar continuité à R+×R+alors
d’une part f(0,0) = lim
y0f(0, y)=0et d’autre part f(0,0) = lim
x0f(x, x)=1.
C’est absurde.
Exercice 3 : [énoncé]
La partie {kxak/a A}est une partie de Rnon vide et minorée par 0 donc sa
borne inférieure existe. Ainsi l’application x7→ d(x, A)est bien définie.
Soient x, x0E. Pour tout yA,kxyk6kxx0k+kx0ykdonc
d(x, A)6kxx0k+kx0ykpuis d(x, A)− kxx0k6kx0yket
d(x, A)− kxx0k6d(x0, A). Ainsi d(x, A)d(x0, A)6kxx0ket par symétrie
|d(x, A)d(x0, A)|6kxx0k. Finalement x7→ d(x, A)est 1 lipschitzienne donc
continue.
Exercice 4 : [énoncé]
a) Soit f:t7→ g(Rcos t, R sin t).fest continue et 2πpériodique.
Soit h:tf(t+π)f(t).hest continue et h(0) + h(π) = f(2π)f(0) = 0 donc
hs’annule.
b) Soit h:t7→ f(t+π/2) f(t).hest continue et
h(0) + h(π/2) + h(π) + h(3π/2) = 0 donc hs’annule.
Exercice 5 : [énoncé]
Soit ϕ:UUmorphisme continue. L’application θRϕ(e)est continue et
à valeurs dans Udonc par le théorème de relèvement, il existe une fonction
ψ:RRcontinue vérifiant ϕ(e)=e(θ)pour tout θR. Puisque ϕest un
morphisme, on obtient : θ, θ0R, ψ(θ+θ0)(ψ(θ) + ψ(θ0)) 2πZ. Or
l’application (θ, θ0)7→ ψ(θ+θ0)(ψ(θ) + ψ(θ0)) est continue sur le connexe R2,
son image est donc connexe et cette application est donc constante. Sans perte de
généralités, on peut désormais supposer θ, θ0R, ψ(θ+θ0) = ψ(θ) + ψ(θ0).
L’application ψapparaît désormais comme étant un endomorphisme continue de
(R,+) dans lui-même, il est alors connu qu’il existe aRtel que
θR, ψ(θ) = . De plus, puisque ϕ(e2)=1,aZet finalement ϕ:zza
pour un certain aZ. Réciproquement ces applications sont des endomorphismes
continus de (U, ×).
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