Limite et continuité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1
Limite et continuité
Exercice 1 [ 00478 ] [correction]
Etudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes :
a) f(x, y) = x3+y3
x2+y2b) f(x, y) = xy x4+y4
c) f(x, y) = x2y
x4+y2d) f(x, y) = xy x−y
Exercice 2 [ 00480 ] [correction]
Soit f:R+×R+?→Rdéfinie par f(x, y) = xypour x > 0et f(0, y)=0.
a) Montrer que fest une fonction continue.
b) Est-il possible de la prolonger en une fonction continue sur R+×R+?
Exercice 3 [ 00481 ] [correction]
Soient Eun espace vectoriel normé et Aune partie non vide de E.
Pour x∈E, on pose
d(x, A) = inf {kx−ak/a ∈A}
Montrer que l’application x7→ d(x, A)est définie et continue sur E.
Exercice 4 [ 00482 ] [correction]
Soient g:R2→Rcontinue et Cun cercle de centre Oet de rayon R > 0.
a) Montrer qu’il existe deux points Aet Bde Cdiamétralement opposés tels que
g(A) = g(B).
b) Montrer qu’il existe deux points Cet Dde C, se déduisant l’un de l’autre par
un quart de tour tels que g(C) = g(D).
Exercice 5 [ 02769 ] [correction]
Déterminer l’ensemble des morphismes continus de (U, ×)dans lui-même.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) On écrit x=rcos θet y=rsin θavec r=px2+y2→0et alors
f(x, y) = r(cos3θ+ sin3θ)−−−−−−−→
(x,y)→(0,0) 0
b) f(1/n, 0) →0et f(1/n, 1/n3)→1. La fonction fn’a pas de limite en (0,0).
c) f(1/n, 0) = 0 →0et f(1/n, 1/n2)=1/2→1/2. La fonction fn’a pas de limite
en (0,0).
d) f(1/n, 0) = 0 →0et f(1/n + 1/n2,1/n) = 1/n2+1/n3
1/n2→1. La fonction fn’a
pas de limite en (0,0).
Exercice 2 : [énoncé]
a) f(x, y) = exp(yln x)est continue sur R+?×R+?par opérations sur les
fonctions continues.
Il reste à étudier la continuité aux points (0, b)avec b > 0.
Quand (x, y)→(0, b)avec (x, y)∈R+?×R+?on a yln x→ −∞ et donc
f(x, y) = xy→0.
D’autre part, quand (0, y)→(0, b), on a f(x, y)=0→0.
Ainsi fest continue en (0, b).
b) Si l’on peut prolonger fpar continuité à R+×R+alors
d’une part f(0,0) = lim
y→0f(0, y)=0et d’autre part f(0,0) = lim x→0f(x, x)=1.
C’est absurde.
Exercice 3 : [énoncé]
La partie {kx−ak/a ∈A}est une partie de Rnon vide et minorée par 0 donc sa
borne inférieure existe. Ainsi l’application x7→ d(x, A)est bien définie.
Soient x, x0∈E. Pour tout y∈A,kx−yk6kx−x0k+kx0−ykdonc
d(x, A)6kx−x0k+kx0−ykpuis d(x, A)− kx−x0k6kx0−yket
d(x, A)− kx−x0k6d(x0, A). Ainsi d(x, A)−d(x0, A)6kx−x0ket par symétrie
|d(x, A)−d(x0, A)|6kx−x0k. Finalement x7→ d(x, A)est 1 lipschitzienne donc
continue.
Exercice 4 : [énoncé]
a) Soit f:t7→ g(Rcos t, R sin t).fest continue et 2πpériodique.
Soit h:t→f(t+π)−f(t).hest continue et h(0) + h(π) = f(2π)−f(0) = 0 donc
hs’annule.
b) Soit h:t7→ f(t+π/2) −f(t).hest continue et
h(0) + h(π/2) + h(π) + h(3π/2) = 0 donc hs’annule.
Exercice 5 : [énoncé]
Soit ϕ:U→Umorphisme continue. L’application θ∈R→ϕ(eiθ)est continue et
à valeurs dans Udonc par le théorème de relèvement, il existe une fonction
ψ:R→Rcontinue vérifiant ϕ(eiθ)=eiψ(θ)pour tout θ∈R. Puisque ϕest un
morphisme, on obtient : ∀θ, θ0∈R, ψ(θ+θ0)−(ψ(θ) + ψ(θ0)) ∈2πZ. Or
l’application (θ, θ0)7→ ψ(θ+θ0)−(ψ(θ) + ψ(θ0)) est continue sur le connexe R2,
son image est donc connexe et cette application est donc constante. Sans perte de
généralités, on peut désormais supposer ∀θ, θ0∈R, ψ(θ+θ0) = ψ(θ) + ψ(θ0).
L’application ψapparaît désormais comme étant un endomorphisme continue de
(R,+) dans lui-même, il est alors connu qu’il existe a∈Rtel que
∀θ∈R, ψ(θ) = aθ. De plus, puisque ϕ(e2iπ)=1,a∈Zet finalement ϕ:z→za
pour un certain a∈Z. Réciproquement ces applications sont des endomorphismes
continus de (U, ×).
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