Mouvements force centrale - Jean

Mouvements à force centrale
I26. (d’après CCP 1999 MP)
Dans cet énoncé les vecteurs sont notés en caractères gras ;
sur votre copie, vous mettrez une flèche au dessus.
On désire étudier les mouvements possibles d'un point
matériel M, de masse m, sous l'action du champ de pesanteur g ,
à l'intérieur d'une cavité fixe que l'on suppose solidaire d'un
référentiel terrestre R (O, ex, ey, ez ) supposé galiléen. La surface
extérieure de cette cavité est un paraboloïde de révolution P,
d'axe vertical ascendant Oz , dont l'équation en coordonnées
cylindriques (ρ, ϕ, z) est ρ2 – az = 0 avec a > 0 (Figure A-l).
On suppose que le point matériel M glisse sans frottement
sur P.
Compte tenu de la symétrie du problème, on utilisera les
coordonnées cylindriques de M , la base de projection étant celle
de Rc(O, eρ, eϕ, ez) (Figure A-l).
On suppose la liaison unilatérale, c'est-à-dire que les
coordonnées ρ et z de M satisfont à l'inégalité z ≥ ρ2 / a.
1. Moment cinétique
a) Exprimer, dans la base de RC , la vitesse de M par rapport
à R .
b) Exprimer en fonction des coordonnées cylindriques de M fonctions du temps t la composante sur Oz du
moment cinétique en O de M. z
σ
c) Montrer que la réaction
G
R qu'exerce P sur M est contenue dans le plan OHP. En appliquant le théorème du
moment cinétique en O, sous forme vectorielle, montrer que se conserve au cours du temps. Expliciter cette relation
de conservation en fonction de ρ et ϕ. Dans la suite, pour simplifier l'écriture, on désignera par L cette constante.
z
σ
2. Energie
a) Quelle est, en fonction des coordonnées et de leurs dérivées, l'expression de l'énergie cinétique Ek de la particule
M par rapport à R ?
b) Justifier l'existence d'une énergie potentielle Ep associée à la force subie par M. Exprimer Ep en fonction de ρ en
supposant que Ep (O) = 0.
c) Que peut-on dire de EE ?
mkp
E=+
3. Discussion générale du mouvement
a) Déduire de ce qui précède une équation différentielle du premier ordre, à une seule fonction inconnue , de la
forme
()tρ
2
,
1() ()
2pef m
mG E E
•
ρρ+ρ= où G(ρ) est positif et sans dimension et où Ep,ef (ρ) est appelé énergie potentielle
effective. Expliciter G(ρ) et Ep,ef (ρ) .
b) Représenter le graphe Ep,ef (ρ). Montrer que Ep,ef (ρ) passe par un minimum pour une valeur ρm de ρ que l'on
exprimera en fonction de L, m, a et g, intensité du champ de pesanteur.
c) Discuter, à l'aide du graphe Ep,ef (ρ), la nature du mouvement de M. En déduire que la trajectoire de M sur P est
nécessairement tracée sur une région de P limitée par deux cercles définis à l'aide des constantes du mouvement et des
données du problème. On se contentera d'indiquer quelle équation il conviendrait de résoudre pour déterminer ces deux
cercles.
4. Etude de quelques mouvements particuliers
a) A quelle condition sur L la trajectoire de M sur P est-elle une portion de parabole méridienne ?
b) Déterminer la vitesse initiale v0
G
pour que la trajectoire de M sur P soit un cercle horizontal.
c) Une petite perturbation écarte légèrement la coordonnée ρ de la valeur ρm pour laquelle Ep,ef(ρ) est minimal.
Montrer que varie sinusoïdalement avec une période que l'on calculera dans le cas général.
m
ε=ρ−ρ
d) Application numérique : ρm = 1 m, a = 2 m, g = 9,81 m.s–2.
e) Pour quelles valeurs de et a une trajectoire de ce type se referme-t-elle après un tour ?
m
ρ
5.
L’expérience montre qu’en réalité le mobile se stabilise finalement au fond de la cuvette, quelles que soient les
conditions initiales du mouvement. Commenter à l'aide de l’énergie.

II25. Stabilité d’une orbite circulaire dans un champ de force centrale.
Soit O un point fixe et k et n deux constantes positives. Un mobile P de masse m n’est soumis qu’à la force
r
n
k
Fu
r
=−
G
G
, où r et OP=r
OP
uOP =
J
JJG
G.
1) Montrer que le mouvement est plan et qu’en coordonnées polaires est une constante du mouvement qu’on
notera C.
2
rθ
2) Montrer que la loi fondamentale de la dynamique projetée sur la direction radiale peut être écrite sous la forme
2
2()
dr
f
r
dt = et exprimer la fonction ()
f
r en fonction de k, m, r, n et C.
3) Discuter le signe de ()
f
r et tracer son graphe en distinguant plusieurs cas, en particulier selon que :
a) ; 3n<
b) ; 3n=
c) . 3n>
4) Dans quel cas l’orbite est-elle un cercle de centre O et de rayon a ?
5) Décrire l’allure radiale d’un mouvement initialement proche d’un mouvement circulaire, en distinguant plusieurs
cas. A quelle condition l’orbite circulaire est-elle stable ?
6) On suppose l’orbite circulaire stable. Soit un mouvement voisin d’une orbite circulaire de rayon a et de période
: où reste petit devant a. Montrer qu’il obéit à T()ra t=+ε()tε22
22
4(3 ) 0 dn
dt T
επ
+−ε=
7) Ce résultat est-il en accord avec la conclusion sur la stabilité des orbites circulaires ? Quel est alors l’allure du
mouvement ?
8) Interpréter le cas particulier . 2n=
III49 (d’après petites mines 2002).
Le mouvement est étudié dans le référentiel du
laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à
un repère (,,,)Oi jk
G
G
G. Un palet M de masse m peut se
mouvoir sans frottement dans le plan (, h
(table à coussin d'air par exemple). Le champ de
pesanteur est suivant la verticale Oz : g=
,)Oxy orizontal
k−g
G
G
.
Le palet est accroché à l'extrémité d'un ressort (point
) de longueur à vide l, de raideur , dont l'autre
extrémité est fixée en O. La position de est repérée
dans la base (,
M0k
M
)ij
G
G par OM xi yj=+
G
G
J
JJJG ou dans la base
(, )
r
ee
θ
G
G par OM r
re=
J
JJJG
G
.
1. Faire un bilan des forces. Montrer qu'il y a
conservation du moment cinétique L
O
G
par rapport à O.
2. On lance le palet d'un point
0
(0)OM OM t l i===
0
G
J
JJJJGJJJJGvj=
Mouvements à force centrale, page 2
, avec une vitesse initiale v
00
G
G
orthogonale à OM0
J
JJJJG. Dans la suite, on travaillera en
coordonnées polaires dans le plan (, . ,)Oxy
Préciser O
L
G
en fonction de r et d, puis, en fonction des conditions initiales et des vecteurs de base. On notera L
le module de
dt
θ
O
L
G
.
3. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique.
Doit-on tenir compte de l'énergie potentielle de pesanteur pour étudier le mouvement ?
Montrer qu'il y a conservation de l'énergie mécanique E.
m
Préciser l'expression de E :
m
• en fonction des conditions initiales,
• en fonction de ,, ,
dr d
rm
et l.
k
dt dt
θ
0
4. Montrer que l'énergie mécanique peut s'écrire :
()
2
1()
2
me
dr
ff
Er
dt
=+
r
Em .
Préciser l'expression de E. Tracer l'allure de . ()
eff () eff
Er
5. Le palet peut-il s'éloigner indéfiniment du pôle d'attraction ?
6. Le palet peut-il passer par le centre d'attraction au cours de son mouvement ?

7. Décrire qualitativement le mouvement.
8. Quelles sont les valeurs extrêmes de au cours du mouvement ? On précisera l’une de ces valeurs et on
donnera l’équation déterminant l’autre. r
9. Calculer l’écart entre ces deux valeurs s’il est petit. A quelle condition cela est-il valable ?
IV21. Pendule sphérique (d’après ENSI Sud 1985).
A.
Un point matériel M, de masse m, est relié à un point fixe O par une tige
rigide sans masse de longueur a. Le mouvement de M sera rapporté au repère
orthonormé (,,,)Oi jk
G
G
G fixe dans un espace galiléen. La trajectoire du point M
dans l'espace est sur une sphère de rayon a et de centre O. L'articulation en O est
sans frottement. La position de M sera donnée par :
(cos sin )OM r i j zk+= ϕ+ϕ
G
Mouvements à force centrale, page 3
G
G
J
JJJG2
a+=
k
avec rz .
22
L'accélération de la pesanteur est donnée par : gg=−
G
G
, (g). 0>
Cϕ=
ans la suite
que e peut s’annuler, que M tourne toujours dans le même sens et que
B. ° Exprimer l'énergie cinétique du point M en fonction des dérivées par rapport au temps des coordonnées
cy rgie potentielle de M (on considérera que l'énergie potentielle est nulle pour z = 0).
tion obtenue en II.4° et de la relation 2
, exprimer à l'aide de et des
co
u égal à un polynôme de degré 3 en qui s'écrit :
1° Exprimer la projection sur Oz du moment cinétique de M par rapport au
point O.
2° Démontrer que r reste constant au cours du temps. On suppose d
3° Montrer n
2 0C≠.
raza−<<.
1c E
lindriques de M.
2° Exprimer l'éne
3° Que peut-on dire de l'énergie mécanique totale m
E du point M ?
4° Donner son expression.
5° Tenant compte de la rela 22
rza+= m E z ,z
nstantes m, a, g, et C.
6° En déd ire que 2
az
2
est z
(
)
22 2 2 2
()2 2 ()z a z E m gz C Pz=−−−=
. /
m
a
7° Faire un inventaire complet des propriétés qu’on connaît sur le signe du polynôme . En déduire que
s'a
n se propose dans cette partie d'étudier le mouvement et de montrer qu'il se situe entre deux plans horizontaux.
gé mme instant initial , l'un de ceux où cette tangence se produit, avec =ϕ
()
Pz z
nnule pour au moins une valeur de z comprise entre a− et a, qu'on appellera 0
z.
C.
O
1° Justifier qu'en tout point de la trajectoire où 0z=
, celle-ci est tangente à un cercle zcte= (parallèle
ographique).
2° On prendra co 0t=000
vrj
G
G
 ( 00r≠ et
ϕ
se k r z a+=
00>) et avec la position initiale M0 pri dans le plan xOz et définie par OM r i z=+ 22 2
00 0 00
()
G
G
J
JJJJG
mer les constantes C et m
E à l'aide des condition tiales.
Expri s ini
fini ( ) ()z zQz− et exprimer en fonction des
co racine de et une seule est comprise entre et
3° Décomposer alors ()Pz , dé en II.6°, sous la forme : ()Pz =0()Qz
nditions initiales.
4° Montrer qu'une 1
z()Qz a−a.
5° Exprimer 2
0
ϕ
e+ et montrer que la trajectoire reste
co =
6° Montrer que : avec
à l'aide d a, g et 1 z. En déduire le signe de ()zz , 0 z01
mprise entre les plans zz= et 1
zz.
0
12
() 2( )( )Qz gz z z z=−− 201
201
azz
zzz
+
=−+
7° Quelle est la v ecto ? aleur de pour que la traj ire soit circulaire
in e point atteigne le plan de l'équateur
z
9° Pour
0C
v 0 v
8° Quelle est la valeur m imal 0E
v
de 0
v pour que, 0 z étant négatif, le
(0=) ?
0
3
2
za=−, donner à l'aide d'un dessin qualitatif la projection sur de la trajectoire dans les trois cas
su
v< ;
0
;
>.
xOy
ivants :
a) si 0
v0C
b) si 00CE
vvv<<
c) si vv
00E

V40. Mouvement à force centrale et énergie potentielle effective.
Un point matériel P, de masse m, est attaché à un point fixe O par un ressort de raideur k et de longueur naturelle
; il glisse sans frottement sur un plan horizontal passant par O. On le lance du point PA0 avec une vitesse horizontale
perpendiculaire à OP
0
v0 = .
0
r
1) Montrer que son énergie potentielle est 2
1
2(
p
Ekr=−A), où r. OP=
2) Montrer que son énergie peut être mise sous la forme 2
1
2()
peff
EmrEr=+
 et exprimer , fonction de r
et des paramètres constants du mouvement.
()
peff
Er
3) Calculer ()
peff
dE r
dr et 2
2
()
peff
dE r
dr .
4) En déduire la valeur de pour que P décrive un cercle de centre O.
C
v0 v
5) On suppose voisin de . Montrer que la pulsationΩ des petites oscillations du ressort dans le référentiel
tournant s’exprime en fonction de la pulsation du ressort quand P se meut sur une droite passant par O et de la
vitesse angulaire moyenne ω de P autour de O par la relation approximative .
0
vC v
0
Ω
22
03Ω=Ω+ω2
VI. Énergie potentielle effective d’un système de deux points.
Deux points matériels pesants M1 et M2 de masses et sont liés par un fil de longueur L. M
1
m2 m1 glisse sans
frottement sur une table horizontale très mince. Le fil traverse la table par un trou très fin O ; il coulisse dans ce trou
sans frottement. M2 se meut sur la droite verticale passant par O. On repère M1 par ses coordonnées polaires de centre
O, soit
(
et M
)
,rθ2 par sa distance x à O.
A l’instant 0, les deux portions de fil sont tendues ; M1 est en ; il a une vitesse et
00rr=θ=0
v
G
horizontale et
perpendiculaire au brin de fil OM1 ; OM2 est vertical ; la composante horizontale de la vitesse de M2 est nulle. On
suppose que par la suite, sauf avis contraire, le fil reste tendu et que M2 ne vient pas heurter le dessous de la table.
1) Quelle est la force agissant sur M1 ?
2) Une liaison est parfaite si le travail des forces de liaison exercées sur les corps liés est nul. On suppose que la
liaison par le fil et le trou entre M1 et M2 est telle. Montrer que les tensions et des deux brins du fil sont égales à
tout instant. 1
T2 T
3) Quelle est la vitesse de M2 à l’instant 0 ?
4) Pour quelle valeur de le point M
c
v0 v2 reste-t-il immobile ? Quel est alors le mouvement de M1 ?
5) Montrer que le moment cinétique en O de M
O
L1 est constant au cours du temps. Que peut-on déduire sur le signe
de θ
 ?
6) L’énergie E du système formé par M1 et M2 est la somme des énergies cinétiques de ces deux points et de leur
énergie potentielle. Trouver l’expression de l’énergie en fonction de r, des vitesses et des paramètres du problème et
montrer que est constant au cours du temps. E
7) Mettre E sous la forme 2,
1()
2peff
EmrEr=+
, exprimer m et montrer que
()
22
10 0
,2
2
2
peff
mr v
Ermgr r =+ .
8)
a) Qu’obtient-on en dérivant 2,
1()
2peff
EmrEr=+
par rapport au temps ?
b) Exprimer la tension T du fil en fonction de r et des constantes du problème.
c) Le fil peut-il se détendre au cours du mouvement ? Dans les autres questions, on le supposera toujours tendu.
d) La trajectoire peut-elle tourner sa concavité, tantôt vers O, tantôt dans la direction opposée ?
9) Si , quel est le mouvement ?
00v=
10) Si , quel est le mouvement ?
2
10 2 0
mv mgr=
11) On suppose dorénavant que 2
10
20
mv
mgr
α= est différent de 0 et de 1. Tracer sommairement le graphe de ,
en supposant la position de son extremum compris dans l’intervalle physique de variation de r.
()
,peff
Er
12) Décrire qualitativement le mouvement de M1 et donner les expressions des valeurs extrêmes de r en fonction de
et . Quelle vérification peut-on faire sur ces expressions ?
0
rα
Mouvements à force centrale, page 4

13) Pour quelles valeurs des paramètres le programme maple suivant trace la trajectoire ?
> v0:=2:
> sol:=dsolve({diff(r(t),t,t)=(v0^2/r(t)^3-1)/2,
diff(theta(t),t)=v0/r(t)^2,r(0)=1,D(r)(0)=0,
theta(0)=0},{r(t),theta(t)},numeric):
> plots[odeplot](sol,[r(t)*cos(theta(t)),
r(t)*sin(theta(t))],t=0..20,numpoints=200,
color=black,labels=["",""],scaling=constrained);
14) Dessiner la trajectoire de M1 si M2 heurte le dessous de la table quand
et rebondit élastiquement. On suppose que le choc, parfaitement
élastique, change la vitesse de M
/2θπ=
2 en l’opposé et que le fil résiste au choc.
Qu’a de particulier cette trajectoire ?
15) Déterminer la période temporelle et la période angulaire des petites
oscillations radiales pour voisin de .
0
vc
v
VII41.
Soit O un point fixe et U et a deux constantes positives. Une particule P
de masse m est soumise à la force :
32
32
2
()rr
Ua a
FFru u
arr
⎛⎞
⎟
⎜
==−⎟
⎜⎟
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
G
G
G où r
r
rOP u r ==
G
J
JJG
G
G .
Ce modèle permet de représenter grossièrement les mouvements de rotation et de vibration des molécules
diatomiques.
1) Déterminer l’énergie potentielle associée à cette force, en la supposant nulle à l’infini.
()
p
Er
2) Tracer schématiquement les graphes de et de . Quel rôle joue pour ces graphes ? ()Fr ()
p
Er ra=
3) Montrer que le vecteur moment cinétique L
G
au point O est conservé au cours du mouvement. En déduire que le
mouvement a lieu dans un plan à préciser. Exprimer L en coordonnées polaires.
4) Exprimer l’énergie E du mobile.
5) A l’instant 0 , la position et la vitesse de P sont caractérisées par : où
00 00
;0; /rar vaθ===
0
vU=/m.
Montrer que la conservation de l’énergie s’écrit : 2
1,
2()
peff
EmrEr=+
 et exprimer et Er
.
E,()
peff
6) Si le mobile parvient à l’infini, quelle est alors sa vitesse, ou bien s’il ne parvient pas à l’infini, quelles sont les
valeurs minimale r et maximale r prises par r au cours du mouvement ?
m M
VIII28. Atome d’hydrogène dans un champ magnétique.
Soit a et B deux constantes positives. Un atome d’hydrogène est modélisé par un proton de charge e fixe à
l’origine O et par un électron mobile de charge et de masse m. On lui applique un champ magnétique Be−z
Bu=
G
G
.
On suppose l’électron immobile à l’instant 0 au point rx
au=
G
G
=
et on traite le problème de son mouvement en
mécanique classique.
1) Montrer que z est solution des équations du mouvement. On admettra que, la solution du problème étant
unique, c’est bien la solution.
0
2) En utilisant la conservation de l’énergie, montrer que la distance au proton ne peut dépasser a.
3) Montrer que le moment cinétique est 22
1
2()LeraB=−
G
G.
4) Montrer que l’électron tourne toujours dans le même sens, qu’on précisera.
5) Montrer qu’une quantité de la forme 2
1,
2()
peff
mr E r+
 est constante au cours du temps et exprimer .
,() peff
Er
6) Déterminer le signe de ,peff
eff
dE
F pour r et .
dr
=−a=0r→
7) En déduire que la distance entre l’électron et le proton oscille de façon périodique entre deux valeurs dont on
déterminera l’une et écrira l’équation déterminant l’autre. Dessiner une trajectoire possible de l’électron.
Mouvements à force centrale, page 5