Démonstrations à savoir refaire du chapitre 01 (complexes : partie 1)

Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique)
Terminale S
Démonstrations à savoir refaire du chapitre 01 (complexes : partie 1)
Propriété 3.
Dans un plan complexe, si on note zA l’affixe du point A et zB l’affixe du point B, alors l’affixe
−−→
→ ) est le complexe zB − zA .
du vecteur AB (noté z−
AB
Démonstration :
Dans le repère du plan complexe, soient A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ).
−−→
→ = (xB − xA ) + i(yB − yA ).
On a alors AB = (xB − xA ; yB − yA ). Ainsi l’affixe z−
AB
D’autre part, on a les affixes zA = xA + iyA et zB = xB + iyB .
D’où zB − zA = xB + iyB − (xA + iyA ) = xB + iyB − xA − iyA = xB − xA + i(yB − yA ).
→ = zB − z A . Donc z−
AB
Théorème 2.
??
∀z = a + ib ∈ C, on a : zz = a2 + b2 ∈ R.
Démonstration :
zz = (a + ib)(a − ib) = a2 − iab + iab − i2 b = a2 + b2 Propriété 8.
Soient z, z 0 ∈ C :
1. Produit : |zz 0 | = |z||z 0 |
Démonstration :
Soient z, z 0 ∈ C.
1. |zz 0 |2 = zz 0 zz 0 = zz 0 zz 0 = zzz 0 z 0 = |z|2 |z 0 |2 . Or un module est positif, d’où |zz 0 | = |z||z 0 |.
Roussot
1
2011 / 2012
Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique)
Terminale S
En admettant la propriété sur les arguments d’un produit de complexes :
Propriété 9.
Soient z, z 0 ∈ C, z 6= 0 et z 0 6= 0.
4. Produit : arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 )[2π]
démontrer la propriété sur les arguments d’un inverse d’un complexe et du quotient de complexes :
Propriété 9.
Soient z, z 0 ∈ C, z 6= 0 et z 0 6= 0.
1
= −arg(z)[2π]
5. Inverse : arg
z
z
6. Quotient : arg 0 = arg(z) − arg(z 0 )[2π]
z
Démonstration :
1
×z
z
1
+ arg(z),
= arg
z
5. En effet modulo 2π : 0 = arg(1) = arg
1
d’où modulo 2π : −arg(z) = arg
.
z
z
1
1
6. arg 0 = arg z × 0 = arg(z)+arg
= arg(z)+(−arg(z 0 )) = arg(z)−arg(z 0 )[2π]
z
z
z0
(en utilisant notamment le 4. et le 5. de la présente propriété)
Roussot
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2011 / 2012