Démonstrations à savoir refaire du chapitre 01 (complexes : partie 1)

Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique) Terminale S
Démonstrations à savoir refaire du chapitre 01 (complexes : partie 1)
Propriété 3.
Dans un plan complexe, si on note zAl’affixe du point Aet zBl’affixe du point B, alors l’affixe
du vecteur −−→ AB (noté z−→
AB ) est le complexe zB−zA.
Démonstration :
Dans le repère du plan complexe, soient A(xA;yA)et B(xB;yB).
On a alors −−→ AB = (xB−xA;yB−yA). Ainsi l’affixe z−→
AB = (xB−xA) + i(yB−yA).
D’autre part, on a les affixes zA=xA+iyAet zB=xB+iyB.
D’où zB−zA=xB+iyB−(xA+iyA) = xB+iyB−xA−iyA=xB−xA+i(yB−yA).
Donc z−→
AB =zB−zA.
Théorème 2.
?
?∀z=a+ib ∈C, on a : zz =a2+b2∈R.
Démonstration :
zz = (a+ib)(a−ib) = a2−iab +iab −i2b=a2+b2
Propriété 8.
Soient z, z0∈C:
1. Produit : |zz0|=|z||z0|
Démonstration :
Soient z, z0∈C.
1. |zz0|2=zz0zz0=zz0zz0=zzz0z0=|z|2|z0|2. Or un module est positif, d’où |zz0|=|z||z0|.
Roussot 1 2011 / 2012

Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique) Terminale S
En admettant la propriété sur les arguments d’un produit de complexes :
Propriété 9.
Soient z, z0∈C,z6= 0 et z06= 0.
4. Produit : arg(zz0) = arg(z) + arg(z0)[2π]
démontrer la propriété sur les arguments d’un inverse d’un complexe et du quotient de complexes :
Propriété 9.
Soient z, z0∈C,z6= 0 et z06= 0.
5. Inverse : arg 1
z=−arg(z)[2π]
6. Quotient : arg z
z0=arg(z)−arg(z0)[2π]
Démonstration :
5. En effet modulo 2π:0 = arg(1) = arg 1
z×z=arg 1 z+arg(z),
d’où modulo 2π:−arg(z) = arg 1
z.
6. arg z
z0=arg z×1 z0=arg(z)+arg 1 z0=arg(z)+(−arg(z0)) = arg(z)−arg(z0)[2π]
(en utilisant notamment le 4. et le 5. de la présente propriété)
Roussot 2 2011 / 2012