Exemples d`exercices de type « bac » Série ST2S Corrigés

[ Exemples d’exercices de type « bac » \
Série ST2S
Corrigés - Probabilités
E XERCICE 2
6 points
Le sang humain est classé en 4 groupes distincts : A, B, AB et O. Indépendamment du groupe, le sang
peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d’un individu possède ce facteur, il est dit de Rhésus positif
(Rh+), sinon il est dit de Rhésus négatif (Rh-).
Sur une population P, les groupes sanguins sont répartis d’après le tableau suivant :
A
40 %
B
10 %
AB
5%
O
45 %
Pour chaque groupe, la population d’individus possédant ou non le facteur Rhésus se répartit d’après le
tableau suivant :
Groupe
Rh+
Rh−
A
82 %
18 %
B
81 %
19 %
AB
83 %
17 %
O
80 %
20 %
On suppose que chaque choix au hasard d’un individu dans une population correspond à une situation
pour laquelle la probabilité a pour valeur la fréquence de répartition donnée dans les tableaux ci-dessus.
1. Quelle est la probabilité pour qu’un individu pris au hasard dans la population P ait un sang du
groupe O ?
2. Un individu ayant un sang de groupe O et Rhésus négatif est appelé un donneur universel. Démontrer que la probabilité pour qu’un individu pris au hasard dans la population P soit un donneur universel est de 0,09 ?
3. Recopier sur la copie le tableau suivant puis le compléter.
Groupe
Rh+
Rh−
Total
A
B
AB
O
40 %
10 %
5%
45 %
4. Quelle est la probabilité pour qu’un individu pris au hasard dans la population P ait un sang de
Rhésus négatif ?
5. Quelle est la probabilité pour qu’un individu pris au hasard dans la population P ait un sang de
Rhésus négatif sachant qu’il est du groupe AB ?
6. Quelle est la probabilité pour qu’un individu pris au hasard dans la population P ait un sang du
groupe AB sachant qu’il est de Rhésus négatif ?
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La difficulté de cet exercice, est qu’à la différence des exercices de probabilités "habituels", il y a deux tableaux. Il faut donc bien voir, pour chacune des questions, quel tableau nous donne l’information utile.
La méthode la plus simple était peut-être de modéliser la situation par un arbre de probabilité, que nous
avons tracé ci-dessous.
0, 82
Rh+
0, 18
RH-
0, 81
Rh+
0, 19
Rh-
0, 83
Rh+
0, 17
Rh-
0, 8
Rh+
0, 2
Rh-
A
0, 4
0, 1
B
0, 5
AB
0, 45
O
1. D’après le premier tableau nous voyons que la probabilité qu’un individu pris au hasard dans la
45
= 0, 45.
population P ait un sang du groupe O, est de :
100
2. Un individu est un donneur universel, si son sang est du groupe O ET si il est Rh-. On cherche
donc P (O ∩ Rh−). Cela correspond donc à une multiplication.
P (O ∩ Rh−) = P (O) × PO (Rh−) = 0, 45 × 0, 2 = 0, 09.
3. Pour compléter le tableau on procéde comme précedemment, sauf que les réponses sont en pourcentage (on multiplie par 100 les probabilités). Chacune des cases du tableau étant en fait une
intersection (par exemple : être du groupe A et être Rh+).
Groupe
Rh+
Rh−
Total
A
32,8
7,2
40 %
B
8,1
1,9
10 %
AB
4,15
0,85
5%
O
36
9
45 %
4. On cherche P (Rh−), pour cela il suffit d’additionner dans le tableau précédent tous les pourcentages de la ligne Rh-, et de les diviser par 100 pour obtenir une probabilité.
P (Rh−) = 0, 072 + 0, 019 + 0, 0085 + 0, 09 = 0, 1895.
5. On cherche P AB (Rh−). Probabilité qui nous est donné dans le deuxième tableau (puisque c’est le
tableau de la répartition des rhésus sachant le groupe sanguin).
Ainsi, P AB (Rh−) = 0, 17.
6. On cherche P Rh− (AB), probabilité qui n’est dans aucun tableau, ni même dans l’arbre. Il faut donc
utiliser la formule du cours (définition).
P (AB ∩ Rh−) 0, 0085
P Rh− (AB) =
=
≃ 0, 045.
P (Rh−)
0, 1895
ST2S
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