multiplication des fractions

Chapitre : Multiplication des fractions
I Rappels
7 est le numérateur
Voici une fraction : 7
5
5 est le dénominateur
Une fraction est un nombre écrit en écriture fractionnaire : 7
5 = 7 : 5 = 1,4
écriture fractionnaire écriture décimale
Exemples de fractions simples : 17
1 = 17 17 17 = 1 0 17 = 0
Remarque : On ne peut pas diviser par zéro.
II La multiplication
Règle de multiplication des fractions : a, b, c et d étant des nombres, on a : a
b × c d = a × c
b × d
exemples : 5
2 × 7 3 = 5 × 7
2 × 3 = 35
6 4,3 1,1 × 2 2,6 = 4,3 × 2
1,1 × 2,6 = 8,6
2,86
5 × 2
3 = 5 1 × 2 3 = 5 × 2
1 × 3 = 5 × 2
3 on peut toujours rajouter un "1" pour bien voir la fraction.
7 × 2
3 = 7 × 2 3 = 14 3 4,1 7 × 8 = 4,1 × 8 7 = 40,8 7
1
2 × 3 5 × 7 2 = 1 × 3 × 7
2 × 5 × 2 = 21
20
III Simplification des fractions
La règle 1 de multiplication peut s’appliquer dans les deux sens : 8 × 5
8 × 6 = 8
8 × 5 6 = 1 × 5 6 = 5 6
On a simplifié par 8 le numérateur et le dénominateur.
Pour aller plus vite, on écrit : ●
●●
●
8 × 5
●
●●
●
8 × 6 = 5
6
Plus généralement, on a la règle suivante.
Règle de simplification de fraction : k, a et b étant des nombres, on a : ●
●●
●
k × a
●
●●
●
k × b = a
b
On dit qu’on a simplifié la fraction par k.

a ) Application à la simplification des fractions
48
36 = ●
6× 8
● 6 × 6 = 8
6 : on a simplifié la fraction par 6.
48
36 = 8 6 = ●
2 × 4
● 2 × 3 = 4
3 on a simplifié la fraction par 2 et on ne peut plus simplifier 4 3.
Définition : Une fraction est dite simplifiée ou irréductible si elle a été simplifiée au maximum.
Pour simplifier une fraction, il est utile de connaître :
Critères de divisibilités : – un nombre est divisible par 2 si il se termine par les chiffres 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Un nombre divisible par 2 est aussi appelé un nombre pair. (et impair sinon)
– un nombre est divisible par 10 si il se termine par 0.
– un nombre est divisible par 5 si il se termine par 0 ou 5.
– un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemple : 1245 est : – un nombre impair car il n’est pas divisible par 2. (Il ne se termine pas par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8)
– n’est pas divisible par 10 car il ne se termine pas par 0.
– est divisible par 5 car il se termine par 5.
– est divisible par 3 car 1 + 2 + 4 + 5 = 12 et 12 est divisible par 3.
Remarque : Les phrases suivantes ont la même signification :
– 1 245 est divisible par 5.
– 1 245 est un multiple de 5.
– 5 divise 1 245.
b ) Application à la multiplication des fractions
●
5
●
5×2 = 1
2 : quand on a tout barré, il reste 1 car : 5
5×2 = ●
5 × 1
● 5 × 2 = 1
2
2 × ● 3 × ● 4
● 3 × ● 4 × 5 = 2
5 : on peut simplifier plusieurs nombres à la fois
7 312
5 × 18 7 312 = ◙7 312× 18
5 × ◙7 312 = 18
5: on évite les calculs inutiles
7
12 × 15 14 = ●
7×● 3 × 5
● 3 × 4 × 2 × ● 7 = 5
8 : on donne TOUJOURS les résultats écrits de façon irréductible.
c ) Application à la conversion des fractions
La règle de simplification peut s’appliquer dans les deux sens
3
4 = 3 × 2 4 × 2 = 6 8 on a converti des quarts en huitièmes.
Remarque : On peut toujours écrire une fraction avec des nombres entiers.
7,34
6,1 = 7,34 × 100
6,1 × 100 = 734
610
IV Fractions et grandeur
Les 3
4 d’une classe de 28 élèves ont eu la moyenne au contrôle.
Le nombre d’élèves ayant eu la moyenne est de : 28
4 × 3 = 3 4 × 28 = 21 élèves
Règle : Calculer une fraction d’une grandeur revient à multiplier la fraction et la grandeur.
Exemple : 3
4 de 28 élèves fait 3 4 × 28 = 3 × 28 4 = 3 × ●
4 × 7
●
4 = 21 élèves

BC = 5 cm
AB = 7 cm
DC
B
A
Activité : Multiplication des fractions.
Sur cette figure, le rectangle ABCD a été découpé.
Que représentent les calculs suivants :
7
3 5 2 7 3 × 5 2 7 × 5 3 × 2 7 × 5 3 × 2
Quelle égalité peut-on donc écrire ?
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Exercices pour préparer le contrôle (calculatrice interdite)
Exercice 1 : Simplifier le plus possible les fractions suivantes.
A = 49
42 B = 48 64 C = 18 72 D = 320 560
Exercice 2 : Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
A = 3
7 × 9 5 B = 15 4 × 32 40 C = 5 × 11 3 D = 1 3 × 8 E = 1 2 × 2 3 × 3 5 F = 7 × 36 49 × 56 24
Exercices 3 : réécris et complète pour avoir les égalités.
A = 7
3 = … … = … 15 B = 9 4 = … … = 81 … C = 56 … = … … = 7 8 D = 42 50 = … … = … 5000
Exercices 4 : Ecris ces fractions avec des nombres sans virgule.
A = 85,12
1,37 B = 9 10,1 C = 0,1 7,9 D = 48,7 142,04
Exercice 5 : Sophie achète une chemise qui est soldée de 20 %. A l’origine, la chemise coûte 15 €.
a ) Sachant que 20 % correspond à la fraction 20
100, calculer le montant de la réduction.
b ) Combien va payer Sophie ?
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Devoir
Exercice 1 : simplifier les fractions suivantes et donner les résultats en fraction irréductible.
Exemple : 48
36 = ●
6× 8
● 6 × 6 = 8
6 = 4 × ●
2
●
2 × 3 = 4
3
A = 81
45 B = 42 35 C = 100 70 D = 48 56 E = 64 72
Exercice 2 : effectuer les multiplications suivantes et donner les résultats en fraction irréductible.
Exemples : 7
12 × 15 14 = 7 × 15
12 × 14 = ●
7×● 3 × 5
● 3 × 4 × 2 × ● 7 = 5
8
42
56 × 24 = 42 56 × 24 1 = 42 × 24
56 × 1 = 6 × ●
7 × 3 × ● 8
●
7 × ● 8 × 1 = 18
1 = 18
A = 9
4 × 11 9 B = 8 × 6 8 C = 18 30 × 5 3 D = 40 49 × 28 32 E = 15 24 × 16

Résultats des exercices pour préparer le contrôle
Exercice 1 : Simplifier le plus possible les fractions suivantes.
A = 49
42 = 7 6 B = 48 64 = 3 4 C = 18 72 = 1 4 D = 320 560 = 4 7
Exercice 2 : Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
A = 3
7 × 9 5 = 27
35 B =15
4 × 32 40 = 3 C = 5 × 11
3 = 55
3 D = 1
3 × 8 = 8
3 E = 1
2 × 2 3 × 3 5 = 1
5 F = 7 × 36
49 × 56 24 = 12
Exercices 3 : réécris et complète pour avoir les égalités.
A = 7
3 = 7 × 5
3 × 5 = 35
15 B = 9 4 = 9 × 9
4 × 9 = 81
36 C = 56 64 = 7 × 8
8 × 8 = 7
8 D = 42 50 = 42 × 100
50 × 100 = 4200
5000
Exercices 4 : Ecris ces fractions avec des nombres sans virgule.
A = 85,12
1,37 = 8512 137 B = 9 10,1 = 90 101 C = 0,1 7,9 = 1 79 D = 48,7 142,04 = 4870 14204
Exercice 5 : Sophie achète une chemise qui est soldée de 20 %. A l’origine, la chemise coûte 15 €.
a ) 20% de 15 € fait 20
100 de 15 € fait 20 100 × 15 = 20 × 3 × 5
5 × 20 = 3 €. Le montant de la réduction est de 3 €.
b ) Sophie va payer 15 – 3 = 12 €