multiplication des fractions

Chapitre : Multiplication des fractions
I Rappels
7 est le numérateur
Voici une fraction :
7
5
5 est le dénominateur
7
= 7 : 5 = 1,4
5
écriture fractionnaire
17
0
=1
=0
17
17
Une fraction est un nombre écrit en écriture fractionnaire :
17
Exemples de fractions simples :
= 17
1
écriture décimale
Remarque : On ne peut pas diviser par zéro.
II La multiplication
Règle de multiplication des fractions : a, b, c et d étant des nombres, on a :
5 7
5 × 7 35
exemples : ×
=
=
2 3
2×3 6
2 5 2 5×2 5×2
5× = × =
=
3 1 3 1×3
3
2 7 × 2 14
=
7× =
3
3
3
1 3 7 1 × 3 × 7 21
× × =
=
2 5 2 2 × 5 × 2 20
a c a×c
× =
b d b×d
4,3 2
4,3 × 2
8,6
×
=
=
1,1 2,6 1,1 × 2,6 2,86
on peut toujours rajouter un "1" pour bien voir la fraction.
4,1
4,1 × 8 40,8
×8=
=
7
7
7
III Simplification des fractions
La règle 1 de multiplication peut s’appliquer dans les deux sens :
8×5 8 5
5 5
= × =1× =
6 6
8×6 8 6
On a simplifié par 8 le numérateur et le dénominateur.
●
8 ×5 5
Pour aller plus vite, on écrit :
=
●
8 ×6 6
Plus généralement, on a la règle suivante.
Règle de simplification de fraction : k, a et b étant des nombres, on a :
On dit qu’on a simplifié la fraction par k.
●
k ×a a
=
●
k ×b b
a ) Application à la simplification des fractions
48 ●
6× 8 8
=
= : on a simplifié la fraction par 6.
36 ●
6 ×6 6
48 8 ●
2 ×4 4
4
= =
= on a simplifié la fraction par 2 et on ne peut plus simplifier .
36 6 ●
3
2 ×3 3
Définition : Une fraction est dite simplifiée ou irréductible si elle a été simplifiée au maximum.
Pour simplifier une fraction, il est utile de connaître :
Critères de divisibilités : – un nombre est divisible par 2 si il se termine par les chiffres 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Un nombre divisible par 2 est aussi appelé un nombre pair. (et impair sinon)
– un nombre est divisible par 10 si il se termine par 0.
– un nombre est divisible par 5 si il se termine par 0 ou 5.
– un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemple : 1245 est : – un nombre impair car il n’est pas divisible par 2. (Il ne se termine pas par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8)
– n’est pas divisible par 10 car il ne se termine pas par 0.
– est divisible par 5 car il se termine par 5.
– est divisible par 3 car 1 + 2 + 4 + 5 = 12 et 12 est divisible par 3.
Remarque : Les phrases suivantes ont la même signification :
– 1 245 est divisible par 5.
– 1 245 est un multiple de 5.
– 5 divise 1 245.
b ) Application à la multiplication des fractions
●
●
5
1
5
5 ×1 1
= : quand on a tout barré, il reste 1 car :
=
=
●
5×2 ●
5 ×2 2
5 ×2 2
2×●
3 ×●
4 2
= : on peut simplifier plusieurs nombres à la fois
●
●
3 × 4 ×5 5
7 312
18
7◙
312× 18
18
×
=
=
: on évite les calculs inutiles
5
7 312
5
5 × 7◙
312
●
7 15
5
7 ×●
3 ×5
×
=
= : on donne TOUJOURS les résultats écrits de façon irréductible.
12 14 ●
●
3 ×4×2× 7 8
c ) Application à la conversion des fractions
La règle de simplification peut s’appliquer dans les deux sens
3 3×2 6
=
=
on a converti des quarts en huitièmes.
4 4×2 8
Remarque : On peut toujours écrire une fraction avec des nombres entiers.
7,34 7,34 × 100 734
=
=
6,1
6,1 × 100 610
IV Fractions et grandeur
3
Les d’une classe de 28 élèves ont eu la moyenne au contrôle.
4
28
3
Le nombre d’élèves ayant eu la moyenne est de :
× 3 = × 28 = 21 élèves
4
4
Règle : Calculer une fraction d’une grandeur revient à multiplier la fraction et la grandeur.
3
3
3 × 28 3 × ●
4 ×7
Exemple : de 28 élèves fait × 28 =
=
= 21 élèves
4
4
4
●
4
Activité : Multiplication des fractions.
Sur cette figure, le rectangle ABCD a été découpé.
Que représentent les calculs suivants :
7×5
5
7 5
7
×
7×5
3×2
3
2
3 2
3×2
Quelle égalité peut-on donc écrire ?
A
AB = 7 cm
B
BC = 5 cm
D
C
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Exercices pour préparer le contrôle (calculatrice interdite)
Exercice 1 : Simplifier le plus possible les fractions suivantes.
49
48
18
320
A=
B=
C=
D=
42
64
72
560
Exercice 2 : Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
3 9
15 32
11
1
1 2 3
36 56
A= ×
B=
×
C=5×
D= ×8
E= × ×
F=7×
×
4 40
3
3
2 3 5
49 24
7 5
Exercices 3 : réécris et complète pour avoir les égalités.
7 … …
9 … 81
56 … 7
42 …
…
A= =
=
B= =
=
C= =
=
D=
= =
3 … 15
4 … …
… … 8
50 … 5000
Exercices 4 : Ecris ces fractions avec des nombres sans virgule.
85,12
9
0,1
48,7
B=
C=
D=
A=
10,1
7,9
142,04
1,37
Exercice 5 : Sophie achète une chemise qui est soldée de 20 %. A l’origine, la chemise coûte 15 €.
20
a ) Sachant que 20 % correspond à la fraction
, calculer le montant de la réduction.
100
b ) Combien va payer Sophie ?
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Devoir
Exercice 1 : simplifier les fractions suivantes et donner les résultats en fraction irréductible.
2 4
48 ●
6× 8 8 4 × ●
Exemple : =
= =
=
36 ●
2 ×3 3
6 ×6 6 ●
81
42
100
48
64
B=
C=
D=
E=
A=
45
35
70
56
72
Exercice 2 : effectuer les multiplications suivantes et donner les résultats en fraction irréductible.
●
7 15 7 × 15
7 ×●
3 ×5
5
Exemples : × =
=
=
12 14 12 × 14 ●
3 ×4×2×●
7 8
42
42 24 42 × 24 6 × ●
7 ×3×●
8 18
× 24 = × =
=
= = 18
56 1
1
56
●
56 × 1
7 ×●
8 ×1
9 11
6
18 5
40 28
15
A= ×
B=8×
C= ×
D= ×
E = × 16
4 9
8
30 3
49 32
24
Résultats des exercices pour préparer le contrôle
Exercice 1 : Simplifier le plus possible les fractions suivantes.
48
3
18 1
320 4
49 7
=
B=
=
C= =
D=
=
A=
64
4
72 4
560 7
42 6
Exercice 2 : Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
8
3 9 27 B =15 × 32 = 3
11 55
1
1 2 3 1 F = 7 × 36 × 56 = 12
A= × =
C=5×
=
D= ×8=
E= × × =
3
3
4 40
49 24
7 5 35
3
3
2 3 5 5
Exercices 3 : réécris et complète pour avoir les égalités.
9 9 × 9 81
56 7 × 8 7
42 42 × 100 4200
7 7 × 5 35
A= =
=
B= =
=
C= =
=
D=
=
=
3 3 × 5 15
4 4 × 9 36
64 8 × 8 8
50 50 × 100 5000
Exercices 4 : Ecris ces fractions avec des nombres sans virgule.
85,12 8512
9
90
0,1 1
48,7
4870
A=
=
B=
=
C=
=
D=
=
1,37
137
10,1 101
7,9 79
142,04 14204
Exercice 5 : Sophie achète une chemise qui est soldée de 20 %. A l’origine, la chemise coûte 15 €.
20
20 × 3 × 5
20
de 15 € fait
× 15 =
= 3 €. Le montant de la réduction est de 3 €.
a ) 20% de 15 € fait
100
100
5 × 20
b ) Sophie va payer 15 – 3 = 12 €