Devoir Surveillé n°2

Correction Devoir Surveillé n°3
Exercice 1
On donne ci-contre, dans un repère orthogonal du plan, les
paraboles Cf et Cg représentant deux fonctions trinômes du
second degré f : x a ax 2 + bx + c et g : x a a′ x 2 + b′ x + c
définies sur ¡ .
Pour chaque question, indiquer la réponse exacte.
Questions
A
B
C
Réponse
Commentaires
La parabole est convexe,
« orientée vers le haut »
Le coefficient a est :
strictement négatif
Strictement positif
nul
B
Le discriminant de g est :
strictement négatif
Strictement positif
nul
B
Les discriminants de f et
g sont :
De même signe
De signes
contraires
égaux
A
L’ensemble des solutions
de l’équation g(x) = 3
est :
∅
S = {-3}
S = {0}
A
L’équation f(x) = g(x)
N’a pas de solution
A une solution
unique
A deux solutions
exactement
C
L’ensemble des solutions
de l’inéquation
g(x) < f(x) est :
]3 ; 6[
[3 ; 6]
]-∞ ; 3[ ∪]6 ;+∞[
C
Le polynôme g a
Une racine double
Deux racines de
même signe
Deux racines de
signes contraires
B
Si α = g(0) alors
α=3 ou α=4
α=3,5
α=-6
C
L’équation g(x-3)=f(x)
N’a pas de solution
A pour solutions 4
et 7
A pour solutions
1 et 6
B
L’équation g(x+a)+b=f(x)
a une seule solution
lorsque :
a=2 et b=4
a=-2 et b=-4
a=-2 et b=4
B
Cg coupe deux fois l’axe
des abscisses donc 2
solutions pour f(x)=0
Cf coupe deux fois (Ox)
donc deux racines et ∆f>0.
a priori ∆f≠∆g
On trace y=3 et on lit les
abscisses des points
d’intersection avec Cg
On regarde le nombre de
points d’intersection entre
Cf et Cg
On relève les abscisses des
points de Cf au dessus de
Cg.
Les racines de g sont les
solutions de g(x)=0,
abscisses des points
d’intersection de Cg avec
(Ox)
On cherche l’image de 0,
ordonnée du point
d’intersection de Cg avec
(Oy)
La courbe de x→g(x-3) se
déduite de celle de g par
translation de vecteur +3i
1 seul point d’intersection
lorsque les sommets se
« touchent ». Attention au
déplacement horizontal
(chgt de signe !)
1
Exercice 2
1) R.O.C. : Démontrer que si l’équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 a deux racines distinctes, la
somme S et le produit P de ces racines sont donnés par S = −
b
c
et P = .
a
a
Reprendre les définitions :
Si ∆<0, pas de solution,
Si ∆=0, 1 solution
Si ∆>0, 2 solutions
Prendre alors les formules donnant
les solutions. En calculer la
somme et le produit.
Supposons que l’équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 admette deux
racines distinctes.
Alors ∆, le discriminant de l’équation, est strictement positif, et les
solutions sont données par :
x1 =
Calculons S = x1 + x2 :
−b− ∆
2a
x2 =
et
−b+ ∆
.
2a
− b − ∆ − b + ∆ − 2b
b
+
=
= −
2a
2a
2a
a
P
=
x
x
Calculons
1 2 :
S = x1 + x2 =
−b− ∆ −b+ ∆
P = x1 x2 =
×
2a
2a
Or ∆ = b 2 − 4ac , il vient :
P=
b 2 − ( b 2 − 4ac )
4a 2
(−b−
=
∆
)(−b+
∆
4a 2
) = ( − b) − ( ∆ )
2
4a 2
b2 − ∆
=
4a 2
b 2 − b 2 + 4ac 4ac c .
=
=
4a 2
4a 2 a
=
2
2) On donne le trinôme du second degré f défini sur ¡ par : f ( x ) = 4 x −
a) Montrer que f admet
2
 6
 6
f 
 = 4 
 −
 4 
 4 
Penser à l’identité remarquable
(a-b)(a+b)=a²-b²
2
(
(
)
6 + 4 3 x+ 3 2.
6
pour racine.
4
a est racine de f si f(a) = 0
racine signifie solution de f(x)=0.
 6
6 + 4 3 
 + 3 2
 4 
)
6 6
3 6
− − 4
+3 2
16 4
4
6 6
= − − 18 + 3 2 = − 9 × 2 + 3 2 = − 3 2 + 3 2
4 4
= 0
6
Donc
est racine de f.
4
= 4×
b) Trouver l’autre racine (en valeur exacte).
On sait que le produit des racines, notées x1 et x2, vaut P =
3 2
6
. Comme x1 =
, on obtient :
4
4
6
3 2
3 2 4 3 2
3 2
3
× x2 =
⇔ x2 =
×
=
=
=
=
4
4
4
6
6
3× 2
3
6
Ainsi les deux racines de f sont x1 =
et x2 = 3 .
4
c
, c'est-à-dire :
a
Utiliser le ROC. Le produit des
racines vaut c/a.
P=
3
2
3) Déterminer les dimensions d’un terrain rectangulaire de périmètre 50 m et d’aire est de 114 m².
Posons x la largeur de terrain et y la longueur. On sait :
Périmètre du terrain : 2x + 2y
Aire du terrain : xy
On obtient le système suivant :
 2 x + 2 y = 50  x + y = 25
⇔ 

 xy = 114
 xy = 114
Résoudre ce système est équivalent à la résolution de l’équation :
X 2 − 25 X + 114 = 0
Le discriminant de cette équation est ∆ = ( − 25 ) − 4 × 1 × 114 = 625 − 456 = 169
L’équation admet donc deux solutions données par :
2
X1 =
Attention pour passer à une
équation du second degré, il faut
la SOMME : x + y et pas le
double !
x²-Sx+P=0 a pour solution x1 et
x2, avec S= x1+x2 et P=x1x2
25 − 169 25 − 13 12
25 + 169 25 + 13 38
=
=
= 6 et X 2 =
=
=
= 19
2
2
2
2
2
2
On en conclut que la largeur du terrain est 6 m et sa longueur est 19 m.
Exercice 3
1 2
x − 2x + 3 .
2
1. Montrer que la courbe Cf représentative de f est l’image de la parabole P d’équation y = x 2
par une translation dont on indiquera le vecteur.
2
Soit les fonctions f et g définies sur ¡ par : f ( x ) = x − 2 x − 3 et g ( x ) = −
Donnons la forme canonique de f : pour tout réel x
2
2
f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 1) − 1 − 3 = ( x − 1) − 4
r
Cf est l’image de P par la translation horizontale de vecteur + i puis la
r
translation verticale de vecteur − 4 j .
On commence par trouver la
forme canonique de f , ce qui
permet ensuite de trouver les
transformations à faire pour
obtenir la courbe de f à partir de
celle de la fonction carrée.
2. Montrer que la courbe Γ représentative de g est l’image de la parabole P' d’équation y = −
1 2
x
2
par une translation dont on indiquera le vecteur.
Donnons la forme canonique de g : pour tout réel x
1
1
1
1
2
2
g ( x ) = − x2 − 2 x + 3 = − ( x2 + 4 x − 6) = − ( x + 2) − 4 − 6 = − ( x + 2) + 5
2
2
2
2
r
Γ est l’image de P’ par la translation horizontale de vecteur − 2i puis la
r
translation verticale de vecteur 5 j .
(
)
Courbe de la fonction associée
x→f(x+k) obtenue de celle de f
r
par translation de vecteur -k i .
x→f(x)+k obtenue de celle de f
r
par translation de vecteur k j .
3. Tracer les courbes Cf et Γ dans un même repère (unité graphique : 2 cm).
Voir courbe page suivante.
4. Déterminer algébriquement les coordonnées des points d’intersection de Cf et Γ , puis vérifier les
résultats graphiquement.
Les points d’intersection de Cf et de Γ sont les points dont les abscisses x
vérifient :
1
3 2
f ( x ) = g ( x ) ⇔ x2 − 2 x − 3 = − x2 − 2 x + 3 ⇔
x = 6 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = 2 ou x = − 2
2
2
Les abscisses des points d’intersection des deux courbes sont 2 et -2. Leurs
ordonnées sont respectivement
2
f ( 2 ) = 22 − 2 × 2 − 3 = − 3 et f ( − 2 ) = ( − 2 ) − 2 × ( − 2 ) − 3 = 5 .
On doit vérifier l’équation de
Cf et l’équation de Γ.
Attention à la question, on
veut les COORDONNÉES, x
et y.
3
5. Déterminer algébriquement le signe de la différence f (x) − g(x). Donner une interprétation graphique
de ce signe.
Pour tout réel x :
3 2
3
 1
 3
f ( x ) − g ( x ) = x2 − 2 x − 3 −  − x2 − 2 x + 3  = x2 − 6 =
x − 4 = ( x − 2) ( x + 2)
2
2
2
2


f ( x ) − g ( x ) est du signe de ( x − 2 ) ( x + 2 ) :
(
x
-∞
-2
)
2
Calculer la différence. Mettre
sous forme d’un produit puis
faire un tableau de signes.
+∞
x-2
-
-
+
x+2
-
+
+
f ( x) − g ( x)
+
-
+
Le signe de cette différence détermine la position relative des courbes de f et g :
Pour tout x ∈ [ − 2; 2] , la courbe de f est en dessous de celle de g.
Pour tout x ∈ ] − ∞ ; − 2] ∪ [ 2; + ∞ [ , la courbe de f est au dessus de celle de g.
Cette différence représente
l’écart vertical entre les deux
courbes (voir graphique)
4
Exercice 4
4
3
2
Considérons le polynôme P défini sur ¡ par : P ( x ) = x − x − 5 x + 4 x + 4 .
1) Prouver que 2 est une racine évidente de P.
a est une racine de P s’il est
P(2) = 24 − 23 − 5 × 22 + 4 × 2 + 4 = 16 − 8 − 20 + 8 + 4 = 0
solution de P(x)=0, c’est à dire
Donc 2 est une racine de P.
si P(a)=0.
2) Calculer P ( − 2 ) . Que peut-on en déduire ?
P( − 2) = ( − 2 ) − ( − 2 ) − 5 × ( − 2 ) + 4 × ( − 2 ) + 4 = 16 + 8 − 20 − 8 + 4 = 0
4
3
2
Donc -2 est une racine de P.
(
)(
)
2
2
3) Trouver des réels a, b et c tels que pour tout réel x, P ( x ) = x − 4 ax + bx + c .
Pour tout réel x :
Méthode par identification :
(x
développer la forme
2
− 4 ) ( ax 2 + bx + c ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 − 4ax 2 − 4bx − 4c
factorisée, puis identifier les
= ax 4 + bx3 + ( c − 4a ) x 2 − 4bx − 4c
différents coefficients. Enfin
Alors :
résoudre le système obtenu
(
)(
P ( x ) = x 2 − 4 ax 2 + bx + c
)
et trouver les coefficients.
⇔ x 4 − x 3 − 5 x 2 + 4 x + 4 = ax 4 + bx3 + ( c − 4a ) x 2 − 4bx − 4c
1= a
 − 1= b

⇔  − 5 = c − 4a ⇔
 4 = − 4b

 4 = − 4c
a= 1

b= −1

c= −1
2
2
D’où : P ( x ) = ( x − 4 ) ( x − x − 1) pour tout réel x.
4) Résoudre l’équation P ( x ) = 0 . En déduire les antécédents de 0 par P.
P ( x) = 0 ⇔
(x
2
)(
)
− 4 x2 − x − 1 = 0 ⇔
⇔ x = 2 ou x = − 2
( x − 2) ( x + 2) ( x2 −
)
x− 1 = 0
x2 − x − 1 = 0
ou
On utilise la forme factorisée
pour obtenir une équation
produit.
Résolvons x 2 − x − 1 = 0 . Calculons d’abord le discriminant.
∆ = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 1) = 1 + 4 = 5
2
Le discriminant est positif, l’équation admet deux solutions données par :
x=
1−
5
2
et
x=
1+
5
2
.
1−
D’où, les solution de P ( x ) = 0 sont : 2, -2,
5
2
et
1+
5
2
. C’est aussi les
antécédents de 0.
5
Exercice 5
Résoudre l’équation :
− x 4 + 17 x 2 − 16 = 0
On pose X = x².
L’équation devient : - X ² + 17X – 16 = 0
Calculons le discriminant de l’équation : ∆ = 17² - 4 × (-1) × (-16) = 289 – 64 = 225
Comme ∆ > 0 , l’équation en X admet deux solutions :
X1 =
− 17 − 225 − 17 − 15 − 32
=
=
= 16
2 × ( − 1)
−2
−2
On obtient alors :
x² = 16
ou
x² = 1
Ce qui équivaut à :
x = 4 ou
x=-4
ou
ou
x = 1 ou
X2 =
− 17 + 225 − 17 + 15 − 2
=
=
= 1.
2 × ( − 1)
−2
−2
x=-1
Les solutions sont donc 1, -1, 4 et – 4.
6