Devoir Surveillé n°2

Correction Devoir Surveillé n°3
Exercice 1
On donne ci-contre, dans un repère orthogonal du plan, les
paraboles Cf et Cg représentant deux fonctions trinômes du
second degré
2
:f x ax bx c + + a
et
2
:g x a x b x c
′ ′
+ + a
définies sur
¡
.
Pour chaque question, indiquer la réponse exacte.
Questions A B C Réponse Commentaires
Le coefficient a est : strictement négatif Strictement positif nul BLa parabole est convexe,
« orientée vers le haut »
Le discriminant de g est : strictement négatif Strictement positif nul B
Cg coupe deux fois l’axe
des abscisses donc 2
solutions pour f(x)=0
Les discriminants de f et
g sont : De même signe De signes contraires égaux A
Cf coupe deux fois (Ox)
donc deux racines et ∆f>0.
a priori ∆f≠∆g
L’ensemble des solutions
de l’équation g(x) = 3
est : ∅S = {-3} S = {0} A
On trace y=3 et on lit les
abscisses des points
d’intersection avec Cg
L’équation f(x) = g(x)N’a pas de solution A une solution
unique
A deux solutions
exactement C
On regarde le nombre de
points d’intersection entre
Cf et Cg
L’ensemble des solutions
de l’inéquation
g(x) < f(x) est :
]3 ; 6[ [3 ; 6] ]-∞ ; 3[ ∪]6 ;+∞[C
On relève les abscisses des
points de Cf au dessus de
Cg.
Le polynôme g a Une racine double Deux racines de
même signe
Deux racines de
signes contraires B
Les racines de g sont les
solutions de g(x)=0,
abscisses des points
d’intersection de Cg avec
(Ox)
Si α = g(0) alors α=3 ou α=4 α=3,5 α=-6 C
On cherche l’image de 0,
ordonnée du point
d’intersection de Cg avec
(Oy)
L’équation g(x-3)=f(x)N’a pas de solution A pour solutions 4
et 7
A pour solutions
1 et 6 B
La courbe de x→g(x-3) se
déduite de celle de g par
translation de vecteur +3i
L’équation g(x+a)+b=f(x)
a une seule solution
lorsque :
a=2 et b=4 a=-2 et b=-4 a=-2 et b=4 B
1 seul point d’intersection
lorsque les sommets se
« touchent ». Attention au
déplacement horizontal
(chgt de signe !)
1

Exercice 2
1) R.O.C. : Démontrer que si l’équation du second degré
2
0ax bx c + + =
a deux racines distinctes, la
somme S et le produit P de ces racines sont donnés par
b
Sa = −
et
c
Pa =
.
Supposons que l’équation du second degré
2
0ax bx c + + =
admette deux
racines distinctes.
Alors ∆, le discriminant de l’équation, est strictement positif, et les
solutions sont données par :
1
2
b
xa
− − ∆
=
et
2
2
b
xa
− + ∆
=
.
Calculons
1 2
S x x = +
:
1 2
2
2 2 2
b b b b
S x x a a a a
− − ∆ − + ∆ −
= + = + = = −
Calculons
1 2
P x x =
:
( ) ( )
( )
( )
2
22
1 2 2 2 2
2 2 4 4 4
b b b
b b b
P x x a a a a a
− − ∆ − + ∆ − − ∆
− − ∆ − + ∆ − ∆
= = × = = =
Or
2
4b ac ∆ = −
, il vient :
( )
2 2 2 2
2 2 2
44 4
4 4 4
b b ac b b ac ac c
Pa a a a
− − − +
= = = =
.
Reprendre les définitions :
Si ∆<0, pas de solution,
Si ∆=0, 1 solution
Si ∆>0, 2 solutions
Prendre alors les formules donnant
les solutions. En calculer la
somme et le produit.
Penser à l’identité remarquable
(a-b)(a+b)=a²-b²
2) On donne le trinôme du second degré f défini sur
¡
par :
( )
( )
2
4 6 4 3 3 2f x x x = − + +
.
a) Montrer que f admet
6
4
pour racine.
( )
2
6 6 6
4 6 4 3 3 2
4 4 4
6 6 3 6
4 4 3 2
16 4 4
6 6 18 3 2 9 2 3 2 3 2 3 2
4 4
0
f = − + +
= × − − +
= − − + = − × + = − +
=
Donc
6
4
est racine de f.
a est racine de f si f(a) = 0
racine signifie solution de f(x)=0.
b) Trouver l’autre racine (en valeur exacte).
On sait que le produit des racines, notées x1 et x2, vaut
c
Pa =
, c'est-à-dire :
3 2
4
P =
. Comme
1
6
4
x =
, on obtient :
2 2
6 3 2 3 2 4 3 2 3 2 3 3
4 4 4 6 6 3 2 3
x x × = ⇔ = × = = = =
×
Ainsi les deux racines de f sont
1
6
4
x =
et
2
3x =
.
Utiliser le ROC. Le produit des
racines vaut c/a.
2

3) Déterminer les dimensions d’un terrain rectangulaire de périmètre 50 m et d’aire est de 114 m².
Posons x la largeur de terrain et y la longueur. On sait :
Périmètre du terrain : 2x + 2y
Aire du terrain : xy
On obtient le système suivant :
2 2 50 25
114 114
x y x y
xy xy
+ = + =
⇔
= =
Résoudre ce système est équivalent à la résolution de l’équation :
2
25 114 0X X − + =
Le discriminant de cette équation est
( )
2
25 4 1 114 625 456 169 ∆ = − − × × = − =
L’équation admet donc deux solutions données par :
1
25 169 25 13 12 6
2 2 2
X
− −
= = = =
et
2
25 169 25 13 38 19
2 2 2
X
+ +
= = = =
On en conclut que la largeur du terrain est 6 m et sa longueur est 19 m.
Attention pour passer à une
équation du second degré, il faut
la SOMME : x + y et pas le
double !
x²-Sx+P=0 a pour solution x1 et
x2, avec S= x1+x2 et P=x1x2
Exercice 3
Soit les fonctions f et g définies sur
¡
par :
( )
2
2 3f x x x = − −
et
( )
2
12 3
2
g x x x = − − +
.
1. Montrer que la courbe Cf représentative de f est l’image de la parabole P d’équation
2
y x =
par une translation dont on indiquera le vecteur.
Donnons la forme canonique de f : pour tout réel x
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 1 1 3 1 4f x x x x x = − − = − − − = − −
Cf est l’image de P par la translation horizontale de vecteur
i +
r
puis la
translation verticale de vecteur
4j −
r
.
On commence par trouver la
forme canonique de f , ce qui
permet ensuite de trouver les
transformations à faire pour
obtenir la courbe de f à partir de
celle de la fonction carrée.
2. Montrer que la courbe Γ représentative de g est l’image de la parabole P' d’équation
2
1
2
y x = −
par une translation dont on indiquera le vecteur.
Donnons la forme canonique de g : pour tout réel x
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1 1 1
2 3 4 6 2 4 6 2 5
2 2 2 2
g x x x x x x x = − − + = − + − = − + − − = − + +
Γ est l’image de P’ par la translation horizontale de vecteur
2i −
r
puis la
translation verticale de vecteur
5j
r
.
Courbe de la fonction associée
x→f(x+k) obtenue de celle de f
par translation de vecteur -k
i
r
.
x→f(x)+k obtenue de celle de f
par translation de vecteur k
j
r
.
3. Tracer les courbes Cf et Γ dans un même repère (unité graphique : 2 cm).
Voir courbe page suivante.
4. Déterminer algébriquement les coordonnées des points d’intersection de Cf et Γ , puis vérifier les
résultats graphiquement.
Les points d’intersection de Cf et de Γ sont les points dont les abscisses x
vérifient :
( ) ( )
2 2 2 2
1 3
2 3 2 3 6 4 2 ou 2
2 2
f x g x x x x x x x x x = ⇔ − − = − − + ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −
Les abscisses des points d’intersection des deux courbes sont 2 et -2. Leurs
ordonnées sont respectivement
( )
2
2 2 2 2 3 3f = − × − = −
et
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 3 5f − = − − × − − =
.
On doit vérifier l’équation de
Cf et l’équation de Γ.
Attention à la question, on
veut les COORDONNÉES, x
et y.
3

5. Déterminer algébriquement le signe de la différence f (x) − g(x). Donner une interprétation graphique
de ce signe.
Pour tout réel x :
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
1 3 3 3
2 3 2 3 6 4 2 2
2 2 2 2
f x g x x x x x x x x x − = − − − − − + = − = − = − +
( ) ( )
f x g x −
est du signe de
( ) ( )
2 2x x − +
:
x- ∞ - 2 2 + ∞
x - 2 - - +
x + 2 - + +
( ) ( )
f x g x −
+ - +
Le signe de cette différence détermine la position relative des courbes de f et g :
Pour tout
[ ]
2;2x ∈ −
, la courbe de f est en dessous de celle de g.
Pour tout
] ] [ [
; 2 2;x ∈ − ∞ − ∪ + ∞
, la courbe de f est au dessus de celle de g.
Calculer la différence. Mettre
sous forme d’un produit puis
faire un tableau de signes.
Cette différence représente
l’écart vertical entre les deux
courbes (voir graphique)
4

Exercice 4
Considérons le polynôme P défini sur
¡
par :
( )
4 3 2
5 4 4P x x x x x = − − + +
.
1) Prouver que 2 est une racine évidente de P.
4 3 2
(2) 2 2 5 2 4 2 4 16 8 20 8 4 0P = − − × + × + = − − + + =
Donc 2 est une racine de P.
a est une racine de P s’il est
solution de P(x)=0, c’est à dire
si P(a)=0.
2) Calculer
( )
2P −
. Que peut-on en déduire ?
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
( 2) 2 2 5 2 4 2 4 16 8 20 8 4 0P − = − − − − × − + × − + = + − − + =
Donc -2 est une racine de P.
3) Trouver des réels a, b et c tels que pour tout réel x,
( )
( ) ( )
2 2
4P x x ax bx c = − + +
.
Pour tout réel x :
( ) ( )
( )
2 2 4 3 2 2
4 3 2
4 4 4 4
4 4 4
x ax bx c ax bx cx ax bx c
ax bx c a x bx c
− + + = + + − − −
= + + − − −
Alors :
( )
( ) ( )
( )
2 2
4 3 2 4 3 2
4
5 4 4 4 4 4
1
1 1
5 4 1
4 4 1
4 4
P x x ax bx c
x x x x ax bx c a x bx c
a
b a
c a b
b c
c
= − + +
⇔ − − + + = + + − − −
=
− = =
⇔ − = − ⇔ = −
= − = −
= −
D’où :
( )
( ) ( )
2 2
4 1P x x x x = − − −
pour tout réel x.
Méthode par identification :
développer la forme
factorisée, puis identifier les
différents coefficients. Enfin
résoudre le système obtenu
et trouver les coefficients.
4) Résoudre l’équation
( )
0P x =
. En déduire les antécédents de 0 par P.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2
0 4 1 0 2 2 1 0
2 ou 2 ou 1 0
P x x x x x x x x
x x x x
= ⇔ − − − = ⇔ − + − − =
⇔ = = − − − =
Résolvons
2
1 0x x − − =
. Calculons d’abord le discriminant.
( ) ( )
2
1 4 1 1 1 4 5 ∆ = − − × × − = + =
Le discriminant est positif, l’équation admet deux solutions données par :
1 5
2
x
−
=
et
1 5
2
x
+
=
.
D’où, les solution de
( )
0P x =
sont : 2, -2,
1 5
2
−
et
1 5
2
+
. C’est aussi les
antécédents de 0.
On utilise la forme factorisée
pour obtenir une équation
produit.
5