THÉOR`EME DU CHANGEMENT DE BASE LISSE Contents 1

TH´ EOR` EME DU CHANGEMENT DE BASE LISSE
ANNA CADORET
Contents
1. Introduction 1
2. Enonc´es 2
2.1. Morphisme de changement de base 2
2.2. Interlude sur les morphismes de bord d’une suite spectrale cohomologique 2
2.3. Acyclicit´e 3
2.4. Th´eor`eme de changement de base 4
3. Preuve du th´eor`eme 2.4 5
3.1. Cas o`u π:X0→Xest compactifiable 5
3.2. Cas g´en´eral 6
4. Preuve du th´eor`eme 2.5 - esquisse 7
4.1. un crit`eres d’acyclicit´e 7
4.2. Preuve du th´eor`eme 2.5 11
5. Applications 14
5.1. Invariance de la cohomolohie ´etale par extension de corps s´eparablement clos 14
5.2. Th´eor`eme de sp´ecialisation de la cohomologie pour les morphismes propres et lisses 15
References 19
1. Introduction
Ces notes sont une version d´etaill´ee de mon expos´e sur le th´eor`eme du ’changement de base lisse’.
Je me suis essentiellement bas´ee sur les trois tomes de SGA 4 et Etale Cohomology, de Milne. Comme
on le verra, le th´eor`eme du ’changement de base lisse’ est la conjonction de ce qu’on pourrait appeler
le th´eor`eme du ’changement de base universellement localement acyclique’ (th´eor`eme 2.4), qui est une
cons´equence du th´eor`eme du changement base propre et du fait que tout morphisme lisse est uni-
versellement localement acyclique (th´eor`eme 2.5) qui, lui, ne r´esulte pas du th´eor`eme de changement
de base propre.
Etant donn´e un sch´ema X, on notera toujours Xet le petit site ´etale sur Xet S(Xet) la cat´egorie des
faisceaux en Z-modules sur Xet. On fera ´egalement l’hypoth`ese que tous les sch´emas sont localement
noetheriens. En particulier, les morphismes sont automatiquement quasi-s´epar´es. Cela permettra
d’utiliser le lemme suivant.
Lemma 1.1. [SGA4, VII.5.11](’La cohomologie commute `a certaines limites projectives’) Soit (Yj→
Yi)j>i et (Xj→Xi)j>i deux syst`emes projectifs de sch´emas sur X`a morphismes de transition affines
et (fi:Yi→Xi)iun morphisme de syst`emes projectifs de sch´emas sur Xtel que les fi:Yi→Xisont
quasi-compacts et quasi-s´epar´es. Notons
f∞:= lim
←− fi:Y∞:= lim ←− Yi→X∞:= lim ←− Xi
Pour tout i0et F ∈ S(Yi0et), notons Fi:= F|Yi,i>i0. Alors les morphismes canoniques
lim
−→(Rnfi∗Fi)|X∞˜→Rnf∞∗(F|X∞), n ≥0
Date: Rencontre ARIVAF 30 mai - 1er juin 2011, Paris.
1

2 ANNA CADORET
sont des isomorphismes.
2. Enonc´ es
2.1. Morphisme de changement de base. A tout carr´e commutatif de sch´emas
Y
π
Y0
f0
oo
π0
X X0
f
oo
on peut associer des morphismes de foncteurs S(Yet)→ S(X0
et)
f∗Riπ∗→Riπ0
∗f0∗, i ≥0
appel´es morphismes de changement de base lorsque le carr´e ci-dessus est cart´esien.
En degr´e i, ce morphisme est d´efini comme l’adjoint de la compos´ee
Riπ∗→Riπ∗f0
∗f0∗→Ri(π◦f0)∗f0∗=Ri(f◦π0)∗f0∗→f∗Riπ0 ∗f0∗,
o`u la premi`ere fl`eche est le foncteur Riπ∗appliqu´e au morphisme d’adjonction
Id →f0
∗f0∗,
la deuxi`eme fl`eche est le morphisme de bord Ei,0
2→Eide la suite spectrale de Leray
Riπ∗Rjf0
∗⇒Ri+j(π◦f0)∗
et la derni`ere fl`eche est le morphisme de bord Ei→E0,i
2de la suite spectrale de Leray
Rif∗Rjπ0
∗⇒Ri+j(f◦π0)∗.
On voit donc qu’une condition suffisante pour que ces morphismes soient des isomorphismes est la
combinaison de (1), (2), (3) et (4) ci-dessous.
(1) Le morphisme d’adjonction F → f0
∗f0∗Fest un isomorphisme;
(2) Le morphisme de bord Ei,0
2→Eide Riπ∗Rjf0
∗F ⇒ Ri+j(π◦f0)∗Fest un isomorphisme;
(3) Le morphisme de bord Ei→E0,i
2de Rif∗Rjπ0
∗F ⇒ Ri+j(f◦π0)∗Fest un isomorphisme;
(4) Le morphisme d’adjonction f∗f∗(Riπ0
∗f0∗F)→Riπ0 ∗f0∗Fest un isomorphisme.
2.2. Interlude sur les morphismes de bord d’une suite spectrale cohomologique. Soit
Ei,j
2⇒Ei+j
une suite spectrale cohomologique (i.e. Ei,j
2= 0 pour i < 0 ou j < 0). En calculant les feuilles
successives en degr´e (0, n) et (n, 0), on obtient, respectivement
E0,n
2← E0,n 3←· · · ← E0,n
∞En
et
En,0
2En,0 3· · · En,0
∞→En.
Ce sont ces compos´ees En→E0,n
2et En,0 2→Enqu’on appelle les morphismes de bords. Par d´efinition
d’une suite spectrale cohomologique, on voit imm´ediatement que
Ei,j
2= 0, i+j≥n,i≥1⇒E0,n
∞˜→E0,n
2
Ei,n−i
2= 0, i≥1⇒En˜→E0,n
∞
Ei,j
2= 0, i+j≤n,j≥1⇒En,0 2˜→En,0
∞
En−j,j
2= 0, j≥1⇒En,0
∞˜→En
Les conditions suffisantes (1), (2), (3) et (4) du paragraphe pr´ec´edent sont donc impliqu´ees par
(1) Le morphisme d’adjonction F → f0
∗f0∗Fest un isomorphisme;
(2) Rjf0
∗F= 0, j≥1;
(3) Rif∗F= 0, i≥1;

TH´ EOR` EME DU CHANGEMENT DE BASE LISSE 3
(4) Le morphisme d’adjonction f∗f∗(Riπ0
∗f0∗F)→Riπ0 ∗f0∗Fest un isomorphisme.
Les propri´et´es (1), (2), (3), lorsqu’on se restreint aux morphismes π:Y→X´etales de pr´esentation
finie (ou quasi-finis), caract´erisent la notion d’acyclicit´e, qui est la ’bonne’ notion pour que les mor-
phismes de changement de base soient des isomorphismes.
2.3. Acyclicit´e.
Proposition 2.1. Soit Soit Pun ensemble (´eventuellement vide) de nombre premier et f:Y→X
un morphisme de sch´emas. Pour tout g:X0→X, on utilisera les notations suivantes
Y
f
Y0
g0
oo
f0
X X0
g
oo
Les conditions (1) `a (4) ci-dessous sont alors ´equivalentes.
(1) Pour tout morphisme g:X0→X´etale de pr´esentation finie et pour tout faisceau F0∈ S(X0
et)
de torsion dont la torsion est premi`ere `a P, le morphisme d’adjonction
F0→f0
∗f0∗F0
est un isomorphisme et Rif0
∗(f0∗F0)=0,i≥1.
(2) Pour tout morphisme g:X0→X´etale de pr´esentation finie et pour tout faisceau F0∈ S(X0
et)
de torsion dont la torsion est premi`ere `a P, les morphismes canoniques
Hi(X0,F0)→Hi(Y0, f0∗F0), i ≥0
sont des isomorphismes.
(3) Pour tout morphisme g:X0→Xquasi-fini et pour tout faisceau F0∈ S(X0
et)de torsion dont
la torsion est premi`ere `a P, le morphisme d’adjonction
F0→f0
∗f0∗F0
est un isomorphisme et Rif0
∗(f0∗F0)=0,i≥1.
(4) Pour tout morphisme g:X0→Xquasi-fini et pour tout faisceau F0∈ S(X0
et)de torsion dont
la torsion est premi`ere `a P, les morphismes canoniques
Hi(X0,F0)→Hi(Y0, f0∗F0), i ≥0
sont des isomorphismes.
On dit qu’un morphisme f:Y→Xqui v´erifie les conditions ´equivalentes (1), (2), (3), (4) ci-dessous
est P-acyclique. On dit qu’un morphisme f:Y→Xest localement P-acyclique si pour tout y∈Y
le morphisme induit spec(OY,y)→spec(OX,f(y)) est P-acyclique. Enfin, on dit qu’un morphisme
f:Y→Xest universellement (localement) P-acyclique si pour tout morphisme g:X0→X, le
morphisme f0:Y0→X0est encore (localement) P-acyclique.
Remark 2.2. Attention, un morphisme P-acyclique n’est pas forc´ement localement P-acyclique. Pour
le lien, relativement subtil, entre acyclicit´e et acyclicit´e locale, cf. th´eor`eme 4.5.
Preuve de la proposition 2.1. (3) ⇒(1) et (4) ⇒(2) sont imm´ediats puisque tout morphisme ´etale de
pr´esentation finie est quasi-fini.
Montrons d’abord (1) ⇔(2). (2) implique que RiIdX0∗F0˜→Rif0
∗F0, 0 ≤i≤ndonc (1). Pour (1) ⇒
(2), rappelons que le morphisme canonique Hi(X0,F0)→Hi(Y0, f0∗F0) est d´efini comme la compos´ee
Hi(X0,F0)(a) →Hi(X0, f0
∗f0∗F0)(b)
→Hi(Y0, f0∗F0),
o`u (a) est le foncteur sections globales appliqu´e au morphisme d’adjonction F0→f0
∗f0∗F0et (b) est
le bord de la suite spectrale de Leray
Ep,q
2= Hq(X0, Rpf0
∗f0∗F0)⇒Hp+q(X0, f0∗F0)

4 ANNA CADORET
(1) implique, d’une part, que (a) est un isomorphisme et, d’autre part, que Ep,q
2= 0, p≥1, ce qui
`a son tour implique que (b) est un isomorphisme, i≥0. Notons que l’argument ci-dessus montre
´egalement (3) ⇔(4).
Montrons maintenant (1) ⇒(3). Comme (3) est locale sur X0
et, le lemme suivant permet de se
ramener au cas o`u g:X0→Xest fini.
Lemma 2.3. [M80, VI 6.4.7] (les morphismes quasi-finis sont finis localement pour la topologie ´etale)
Pour tout morphisme g:X0→Xquasi-fini, il existe un recouvrement ui:X0
i→X0,i∈Idans X0
et
tel que, pour tout i∈Ion a un carr´e cart´esien
Xi
ui
X0
i
gi
oo
u0
i
X X0
g
oo
avec ui:Xi→X´etale et gi:X0
i→Xifini.
Or, pour un morphisme g:X0→Xfini, le foncteur g∗:S(X0
et)→ S(Xet) est exact et commute `a
tout changement de base [M80, II 3.5.c, 3.6 et 3.8]. En particulier
g∗Rif0
∗(f0∗F0) = Rig∗f0 ∗(f0∗F0) = Ri(g◦f0)∗(f0∗F0) = Ri(f◦g0)∗(f0∗F0) = Rif∗g0 ∗(f0∗F0) = Rif∗(f∗g∗F0)
Comme f:Y→Xest acyclique, le morphisme d’adjonction g∗F0→f∗(f∗g∗F0) est un isomorphisme
et Rif∗(f∗π∗F0) = 0, i≥1. On en d´eduit (3) en passant aux germes et en utilisant que g:Y→X
est fini donc surjectif. 
2.4. Th´eor`eme de changement de base.
Theorem 2.4. (Changement de base universellement localement acyclique) Soit Pun ensemble de
nombres premiers. Pour tout carr´e cart´esien de sch´emas
Y
π
Y0
f0
oo
π0
X X0
f
oo
avec f:X0→Xuniversellement localement acyclique pour Pet π:Y→Xquasi-compact et pour
tout F ∈ S(Yet)de torsion dont la torsion est premi`ere `a P, les morphismes de changement de base
f∗Riπ∗F → Riπ0
∗f0∗F, i ≥0
sont des isomorphismes.
Le th´eor`eme qu’on appelle classiquement le th´eor`eme du changement de base lisse est la combinaison
du th´eor`eme 2.4 et de l’´enonc´e suivant.
Theorem 2.5. Tout morphisme lisse f:X0→Xest universellement localement acyclique pour
char(X)(o`u char(X)d´esigne l’ensemble des caract´eristiques r´esiduelles de X).
Dans la suite de cet expos´e je vais
- Donner la preuve du th´eor`eme 2.4;
- Esquisser la preuve du th´eor`eme 2.5;
- Enoncer et prouver deux applications classiques des th´eor`emes 2.4 et 2.5 `a savoir
– L’invariance de la cohomologie ´etale par extension de corps s´eparablement clos;
– La sp´ecialisation de la cohomologie ´etale pour un morphisme propre et universellement localement
acyclique.

TH´ EOR` EME DU CHANGEMENT DE BASE LISSE 5
3. Preuve du th´ eor` eme 2.4
3.1. Cas o`u π:X0→Xest compactifiable. Soit
Y
π
i//Y
π
~
~
~
~
~
~
~
~
X
une compactification de π:Y→Xi.e. π:Y→Xest propre et i:Y →Yest une immersion ouverte
(pas forc´ement d’image dense). On consid`ere les notations
X0
f (1)
Y0
f0
π0
oo
(2)
Y0
f0
i0
oo
X Y
π
ooY
i
oo
On va montrer que les morphismes de changement de base sont des isomorphismes dans les deux carr´es
cart´esiens (1) et (2) et en d´eduire que les morphismes de changement de base sont des isomorphismes
dans le carr´e cart´esien (1) −(2) en passant `a la limite dans les suites spectrales de Leray associ´ees
aux compos´ees des fl`eches horizontales. Le fait que les morphismes de changement de base sont des
isomorphisme dans (1) r´esulte du th´eor`eme de changement de base propre et le fait que les morphismes
de changement de base sont des isomorphisme dans (2) r´esulte de l’acyclicit´e locale de f:X0→X.
Plus pr´ecis´ement, le th´eor`eme du changement de base propre (pour π:X0→Xet Rji∗F0) implique
que les morphismes de changement de base
f∗Riπ∗(Rji∗F) ˜→Riπ0
∗f
0∗(Rji∗F), i, j ≥0
sont des isomorphismes. Par ailleurs, les morphismes de changement de base
f
0∗Rji∗F˜→Rji0
∗f0∗F, j ≥0
sont aussi des isomorphismes. En effet, pour tout y0∈Y0notons
˜
Y0:= spec(OY0,y0),˜ Y:= spec(OY ,f0(y0))
et consid´erons le cube commutatif suivant, dont les quatres faces lat´erales sont suppos´ees cart´esiennes.
˜
Y
˜
Y0
oo
~~}
}
}
}
}
}
}
}
Y Y0
oo
˜
Y
˜
Y0
oo
Y Y 0
oo
Avec ces notations, on a
Hj(˜ Y , F|˜
Y)=(Rji∗F)f(y0)= (f
0∗Rji∗F)y0→Rji0
∗f0∗Fy0= Hj(˜
Y0, f0∗F|˜
Y0)
Comme f:X0→Xest universellement localement acyclique, il en est de mˆeme de f0:Y0→Y. Donc
˜
f0:˜ Y0→˜ Yest acyclique et, par cons´equent, Hj(˜ Y , F|˜
Y) ˜→Hj(˜
Y0, f0∗F|˜
Y0) est un isomorphisme. En
appliquant les foncteurs Riπ0
∗aux isomorphismes f
0∗Rji∗F˜→Rji0
∗f0∗F, on obtient des isomorphismes
f∗Riπ∗(Rji∗F) ˜→Riπ0
∗(f
0∗Rji∗F) ˜→Riπ0
∗(Rji0 ∗f0∗F), i, j ≥0.