26-35 - Département de mathématiques et de statistique

3.11. Utilisation des inférences dans les arguments et les preuves mathématiques. On
utilise les règles d’inférence dans les arguments et dans les preuves. Typiquement (ici pet qsont
certains propositions logiques explicites) :
Un petit argument comme le suivant est logiquement correct (par modus ponens) : "On a pet
aussi que pimplique q, donc on a aussi q", ce qui est une version courte pour : "La proposition
logique pest vraie et l’implication p→qest vraie, alors automatiquement la proposition logique q
est aussi vraie".
Remarque. Si on dit en mathématique "on montre p", ça veut dire "on donne des arguments pour
montrer que la proposition logique pest vraie". C’est plus court.
Ou un argument comme : "pimplique qet qimplique r, alors nécessairement pimplique raussi",
ce qui est la version courte de "Les implications p→qet q→rsont vraies alors nécessairement
l’implication p→rest aussi vraie" (par Syllogisme par hypothèse).
Ou trivialement : "On sait pet q, donc en particulier p", ce qui courte pour : "On sait que les
propositions logiques pet qsont vraie, donc pest vraie" (par Simplification).
Ou : "On sait pou q, mais qest faux ; donc nécessairement pest vraie," est courte pour : On
sait p∨qest vraie, mais que la proposition qest fausse ; alors la proposition logique pest vraie.
Tout ça devrait paraître naturel.
Exercice 3.1.(i) Mais comparer maintenant les deux "arguments" semblables suivants.
"On sait que pimplique q, mais pest faux ; alors qest aussi faux" (courte pour : On sait que
l’implication p→qest vraie et que la proposition pest fausse ; alors la proposition qest fausse)
et
"On sait que pimplique q, mais qest faux ; alors pest aussi faux" (courte pour : On sait que
l’implication p→qest vraie et que la proposition qest fausse ; alors la proposition pest fausse).
La différence semble être petite, mais le premier argument est logiquement invalide (car basée
sur une contre-vérité) et le deuxième argument est logiquement valide.
Trouver pourquoi.
(ii) Est-ce que l’argument suivant est valide :
"On a qet que qest impliqué par p; alors p.
La (contre-) vérité sous-entendue est ... ?
(iii) Est-ce que vous acceptez : On sait que qest vraie, alors l’implication p→qest vraie ?
(iv) Et : On sait que pest faux, alors l’implication p→qest vraie ?
(v) Et : On sait que l’implication p→qest faux, alors qest vraie ?
3.12. Preuve par contradiction. Soit pune proposition logique explicite, qu’on veut montrer
vraie. Une méthode est de supposer le contraire est vraie, alors que pest faux. Puis d’utiliser cet
hypothèse, et des théorèmes déjà montrés pour obtenir une contradiction ou une absurdité. On
conclut que pest vraie.
Encore une fois, comme un modèle.
Proposition 3.4. p
Structure d’une preuve par l’absurde typique. Montrons ppar une preuve par l’absurde. Supposons
par contre que psoit fausse, c.-à-d que ¬pvraie.
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Puis en utilisant cet hypothèse ¬p(et les théorèmes déjà montrés) on montre qu’une certain
proposition logique auxiliaire, disons q, est aussi fausse (donc ¬qest vrai). Puis on remarque que
c’était déjà connu (ou on avait déjà montré sans utiliser l’hypothèse que qest faux !) que qest vraie.
C’est absurde (ou une contradiction).
On conclut que pest vraie. 
Remarque. C’est quoi le principe logique utilisé ? Dans la preuve on montre en fait que l’implication
(¬p)→(¬q)est vraie et aussi que qest vraie. Par l’inférence
q∧(¬p→ ¬q)⇒p
(lemme 3.1) on conclut pest vraie. Ce qu’on voulait montrer en effet. Par exemple, souvent qest
une proposition logique qui est évidemment vrai comme q= ”3 >2”.
Exercice 3.2.Il y a une autre version d’une preuve par l’absurde, qui utlise la règle d’inférence
(¬p→(q∧ ¬q)⇒p
(i) Montrer cette règle d’inférence par une preuve directe, et par une preuve par tableau.
(ii) Quelle modification doit-on faire de notre modèle d’une preuve par l’absurde, si on veut
utiliser cette règle d’inférence ?
3.13. Preuves typiques d’une implication. En mathématiques il faut souvent montrer des
implications p→q, où pet qsont deux propositions logiques. Il y a trois versions. Voir par exemple
prop.2.2 9.
Soient pet qdeux propositions logiques explicites en mathématiques, et on veut montrer que p
implique q.
Théorème 3.3. p→q
Structure d’une preuve directe typique. Si pest fausse, l’implication est automatiquement vraie,
donc il n’y a rien à montrer dans ce cas. (Cette phrase est souvent omise).
Supposons pest vraie. Puis (en acceptant cet hypothèse et avec de l’aide des théorèmes déjà
montrés), on montre que qsera aussi vraie.
On aura montré que p→qest vraie. 
Cette version est claire, j’espère. Une autre version :
Structure d’une preuve indirecte typique. Il suffit de montrer sa contraposée (¬q)→(¬p).
Si ¬qest faux (ou qest vraie), l’implication est automatiquement vraie et il n’y a rien à montrer.
(Cette phrase est souvent omise).
Supposons ¬qest vraie, c.-à-d, qest fausse. Puis (en acceptant cette hypothèse et avec de l’aide
des théorèmes déjà montrés), on montre que psera aussi fausse, ou que ¬pest vraie.
On aura montré que P→Qest vraie. 
9. Voir [R, p. 164]

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Remarque. Cette version est basée sur l’équivalence logique : (p→q)⇔(¬q→ ¬p).Chacun consti-
tue la structure d’une preuve valide. Avec une preuve directe on peut travailler avec l’hypothèse
que Pest vraie pour montrer qu’alors Qest aussi vraie. Mais de temps en temps il est plus facile
de commencer avec l’hypothèse que Qest faux pour montrer qu’alors Pest aussi faux.
Structure d’une preuve par l’absurde typique. Montrons p→qpar une preuve par l’absurde. Sup-
posons par contre que p→qest fausse, c.-à-d que pest vraie mais qest fausse.
Puis en utilisant ces deux hypothèses (que pest vraie et qfausse) (et les théorèmes déjà montrés)
on montre qu’un certain proposition logique auxiliaire, disons r, est fausse (donc que ¬rest vrai).
Puis on remarque que c’était déjà connu (ou on montre directement sans utiliser l’hypothèse p∧¬q)
que rest vraie. Ce qui est absurde (ou une contradiction).
On conclut que p→qest vraie. 
Remarque. C’est une variation sur une preuve par l’absurde, ou l’énoncé à montrer est P:= p→q
(à la place de p). On a (p→q)⇔(¬p∨q)et le contraire est ¬(¬p∨q)⇔p∧ ¬q(par De Morgan
et double négation.
Différence entre la preuve directe, la preuve indirecte et la preuve par l’absurde pour montrer une
implication p→q? Pour la preuve directe : on peut utiliser l’hypothèse ppour montrer la conclusion
q. Pour la preuve indirecte : on peut utiliser l’hypothèse ¬qpour montrer la conclusion ¬p. Et pour
une preuve par l’absurde : on peut utiliser deux hypothèses pour commencer le raisonnement (p
vraie et qfaux) pour dériver une absurdité (ou une contradiction). Ça dépend des propositions
explicites pet qet de votre connaissance d’autres théorèmes quel façon est préférable !
Il y a aussi des fausse preuves, basées sur une contre-vérité. Considérons la "preuve" :
Structure d’une fausse preuve typique. Il suffit de montrer (¬P)→(¬Q)est vraie.
Si ¬Pest faux (ou Pest vraie), l’implication est automatiquement vraie. Donc il n’y a rien à
faire.
Supposons ¬Pest vraie, ou Pest fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide des théo-
rèmes déjà montrés), on montre que Qsera aussi fausse, ¬Qest vraie
On aura montré que P→Qest vraie. 
Remarque. Pourquoi c’est une fausse preuve (donc pas une preuve du tout), car c’est basée sur une
contre-vérité : les formules logiques p→qet (¬p)→(6=q)ne sont pas logiquement équivalentes.
Une telle FAUSSE preuve est inacceptable. (En fait, ce qu’on montrerait vraiment en fait est la
réciproque q→p).
3.14. Si et seulement si. Aussi utilisé souvent est l’équivalence logique entre "(p↔q)et "(p→
q)∧(q→p)".
Démonstration. Encore une fois montrée par un tableau de vérité :
p q p ↔q q →p q →p((p→q)∧(q→p))
V V V V V V
V F F F V F
F V F V F F
F F V V V V

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On conclut la preuve, car les colonnes correspondantes sont identiques. 
En mots : P↔Qest vraie si et seulement si P→Qet sa réciproque Q→Psont vraies.
On conclut que pour montrer que p↔q(est vraie) il suffit de montrer que p→q(est vraie)
et puis de montrer qu’aussi q→p(est vraie) (ou alternativement que (¬p)→(¬q)(est vraie)). À
vous de formuler une preuve typique.
3.15. Preuves vides. Nous avons déjà discuté certains preuves typiques. Il y en a d’autres.
Supposons on doit montrer P→Q, pour certain propositions Pet Q. Si on sait (ou si on peut
montrer) que Pest fausse ou si Qest vraie : il n’y a plus rien à faire ! L’implication P→Qest
vraie. On dit que c’est une preuve vide.
3.16. Preuves cas par cas. Si on n’est pas capable de trouver un argument général pour une
proposition, possiblement on peut briser la proposition en plusieurs parties et montrer chaque partie
(possiblement de façon différent).
Par exemple, si on doit montrer P↔Qil suffit de montrer cas par cas P→Qet Q→P. Disons
P→Qpar une preuve directe et Q→Ppar une preuve indirecte.
Ou, si on doit montrer (P∨Q)→Ril suffit de montrer cas par cas que P→Ret Q→R, parce
que nous avons l’équivalence logique [(p∨q)→r]⇔[(p→r)∧(q→r)].
Ou on peut utiliser la méthode de vérifier tous les possibilités.
Exemple 3.1.Soit U:= {2,4,6,8,10,12,14,16,18}l’univers du discours de la proposition logique
p(u) :="uest la somme de trois carrés parfaits".
On veut montrer que ∀u p(u)est vraie.
Preuve cas par cas. Nous vérifions chaque possibilité.
2=0+1+1,4=0+0+4,6=1+1+4,8=0+4+4,10 = 0 + 1 + 9,12 = 4 + 4 + 4,
14 = 1 + 4 + 9,16 = 0 + 0 + 16,18 = 0 + 9 + 9. Et en effet. 
Exemple 3.2.Soit nun nombre naturel fixé. Montrons :
"Si nn’est pas divisible par 3alors n2−1est divisible par 3".
On va réduire la preuve avant.
Démonstration. Posons p0:="il existe un nombre naturel mtel que n= 3m", p1:="il existe un
nombre naturel mtel que n= 3m+ 1", et p2:="il existe un nombre naturel mtel que n= 3m+ 2".
En mathématiques à l’école sécondaire (ou avant même) on a montré que strictement un des
trois propositions p0,p1ou p2est vraie.
nest divisible par 3si et seulement si p0est vraie. Donc si nn’est pas divisible par 3alors p1
est vraie ou p2est vraie.
Posons aussi r:="n2−1est divisible par 3".
Donc il suffit de montrer (p1∨p2)→r, et donc il suffit de montrer les deux cas p1→ret
p2→r.
Preuve de p1→r: Supposons p1vraie, alors il existe un nombre naturel mtel que n= 3m+ 1.
Donc par substitution on obtient
n2−1 = (3m+ 1)2−1=9m2+ 6m= 3(3m2+ 2m)

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est un 3-multiple. Ce qu’il fallait montrer.
Preuve de p2→r: Supposons p2vraie, alors il existe un nombre naturel mtel que n= 3m+ 2.
Donc par substitution on obtient
n2−1 = (3m+ 2)2−1=9m2+ 12m+ 3 = 3(3m2+ 4m+ 1)
est un 3-multiple. Ce qu’il fallait montrer.