26-35 - Département de mathématiques et de statistique

3.11. Utilisation des inférences dans les arguments et les preuves mathématiques. On
utilise les règles d’inférence dans les arguments et dans les preuves. Typiquement (ici p et q sont
certains propositions logiques explicites) :
Un petit argument comme le suivant est logiquement correct (par modus ponens) : "On a p et
aussi que p implique q, donc on a aussi q", ce qui est une version courte pour : "La proposition
logique p est vraie et l’implication p → q est vraie, alors automatiquement la proposition logique q
est aussi vraie".
Remarque. Si on dit en mathématique "on montre p", ça veut dire "on donne des arguments pour
montrer que la proposition logique p est vraie". C’est plus court.
Ou un argument comme : "p implique q et q implique r, alors nécessairement p implique r aussi",
ce qui est la version courte de "Les implications p → q et q → r sont vraies alors nécessairement
l’implication p → r est aussi vraie" (par Syllogisme par hypothèse).
Ou trivialement : "On sait p et q, donc en particulier p", ce qui courte pour : "On sait que les
propositions logiques p et q sont vraie, donc p est vraie" (par Simplification).
Ou : "On sait p ou q, mais q est faux ; donc nécessairement p est vraie," est courte pour : On
sait p ∨ q est vraie, mais que la proposition q est fausse ; alors la proposition logique p est vraie.
Tout ça devrait paraître naturel.
Exercice 3.1. (i) Mais comparer maintenant les deux "arguments" semblables suivants.
"On sait que p implique q, mais p est faux ; alors q est aussi faux" (courte pour : On sait que
l’implication p → q est vraie et que la proposition p est fausse ; alors la proposition q est fausse)
et
"On sait que p implique q, mais q est faux ; alors p est aussi faux" (courte pour : On sait que
l’implication p → q est vraie et que la proposition q est fausse ; alors la proposition p est fausse).
La différence semble être petite, mais le premier argument est logiquement invalide (car basée
sur une contre-vérité) et le deuxième argument est logiquement valide.
Trouver pourquoi.
(ii) Est-ce que l’argument suivant est valide :
"On a q et que q est impliqué par p ; alors p.
La (contre-) vérité sous-entendue est ... ?
(iii) Est-ce que vous acceptez : On sait que q est vraie, alors l’implication p → q est vraie ?
(iv) Et : On sait que p est faux, alors l’implication p → q est vraie ?
(v) Et : On sait que l’implication p → q est faux, alors q est vraie ?
3.12. Preuve par contradiction. Soit p une proposition logique explicite, qu’on veut montrer
vraie. Une méthode est de supposer le contraire est vraie, alors que p est faux. Puis d’utiliser cet
hypothèse, et des théorèmes déjà montrés pour obtenir une contradiction ou une absurdité. On
conclut que p est vraie.
Encore une fois, comme un modèle.
Proposition 3.4. p
Structure d’une preuve par l’absurde typique. Montrons p par une preuve par l’absurde. Supposons
par contre que p soit fausse, c.-à-d que ¬p vraie.
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Puis en utilisant cet hypothèse ¬p (et les théorèmes déjà montrés) on montre qu’une certain
proposition logique auxiliaire, disons q, est aussi fausse (donc ¬q est vrai). Puis on remarque que
c’était déjà connu (ou on avait déjà montré sans utiliser l’hypothèse que q est faux !) que q est vraie.
C’est absurde (ou une contradiction).
On conclut que p est vraie.
Remarque. C’est quoi le principe logique utilisé ? Dans la preuve on montre en fait que l’implication
(¬p) → (¬q) est vraie et aussi que q est vraie. Par l’inférence
q ∧ (¬p → ¬q) ⇒ p
(lemme 3.1) on conclut p est vraie. Ce qu’on voulait montrer en effet. Par exemple, souvent q est
une proposition logique qui est évidemment vrai comme q = ”3 > 2”.
Exercice 3.2. Il y a une autre version d’une preuve par l’absurde, qui utlise la règle d’inférence
(¬p → (q ∧ ¬q) ⇒ p
(i) Montrer cette règle d’inférence par une preuve directe, et par une preuve par tableau.
(ii) Quelle modification doit-on faire de notre modèle d’une preuve par l’absurde, si on veut
utiliser cette règle d’inférence ?
3.13. Preuves typiques d’une implication. En mathématiques il faut souvent montrer des
implications p → q, où p et q sont deux propositions logiques. Il y a trois versions. Voir par exemple
prop.2.2 9.
Soient p et q deux propositions logiques explicites en mathématiques, et on veut montrer que p
implique q.
Théorème 3.3. p → q
Structure d’une preuve directe typique. Si p est fausse, l’implication est automatiquement vraie,
donc il n’y a rien à montrer dans ce cas. (Cette phrase est souvent omise).
Supposons p est vraie. Puis (en acceptant cet hypothèse et avec de l’aide des théorèmes déjà
montrés), on montre que q sera aussi vraie.
On aura montré que p → q est vraie.
Cette version est claire, j’espère. Une autre version :
Structure d’une preuve indirecte typique. Il suffit de montrer sa contraposée (¬q) → (¬p).
Si ¬q est faux (ou q est vraie), l’implication est automatiquement vraie et il n’y a rien à montrer.
(Cette phrase est souvent omise).
Supposons ¬q est vraie, c.-à-d, q est fausse. Puis (en acceptant cette hypothèse et avec de l’aide
des théorèmes déjà montrés), on montre que p sera aussi fausse, ou que ¬p est vraie.
On aura montré que P → Q est vraie.
9. Voir [R, p. 164]
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Remarque. Cette version est basée sur l’équivalence logique : (p → q) ⇔ (¬q → ¬p). Chacun constitue la structure d’une preuve valide. Avec une preuve directe on peut travailler avec l’hypothèse
que P est vraie pour montrer qu’alors Q est aussi vraie. Mais de temps en temps il est plus facile
de commencer avec l’hypothèse que Q est faux pour montrer qu’alors P est aussi faux.
Structure d’une preuve par l’absurde typique. Montrons p → q par une preuve par l’absurde. Supposons par contre que p → q est fausse, c.-à-d que p est vraie mais q est fausse.
Puis en utilisant ces deux hypothèses (que p est vraie et q fausse) (et les théorèmes déjà montrés)
on montre qu’un certain proposition logique auxiliaire, disons r, est fausse (donc que ¬r est vrai).
Puis on remarque que c’était déjà connu (ou on montre directement sans utiliser l’hypothèse p∧¬q)
que r est vraie. Ce qui est absurde (ou une contradiction).
On conclut que p → q est vraie.
Remarque. C’est une variation sur une preuve par l’absurde, ou l’énoncé à montrer est P := p → q
(à la place de p). On a (p → q) ⇔ (¬p ∨ q) et le contraire est ¬(¬p ∨ q) ⇔ p ∧ ¬q (par De Morgan
et double négation.
Différence entre la preuve directe, la preuve indirecte et la preuve par l’absurde pour montrer une
implication p → q ? Pour la preuve directe : on peut utiliser l’hypothèse p pour montrer la conclusion
q. Pour la preuve indirecte : on peut utiliser l’hypothèse ¬q pour montrer la conclusion ¬p. Et pour
une preuve par l’absurde : on peut utiliser deux hypothèses pour commencer le raisonnement (p
vraie et q faux) pour dériver une absurdité (ou une contradiction). Ça dépend des propositions
explicites p et q et de votre connaissance d’autres théorèmes quel façon est préférable !
Il y a aussi des fausse preuves, basées sur une contre-vérité. Considérons la "preuve" :
Structure d’une fausse preuve typique. Il suffit de montrer (¬P ) → (¬Q) est vraie.
Si ¬P est faux (ou P est vraie), l’implication est automatiquement vraie. Donc il n’y a rien à
faire.
Supposons ¬P est vraie, ou P est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide des théorèmes déjà montrés), on montre que Q sera aussi fausse, ¬Q est vraie
On aura montré que P → Q est vraie.
Remarque. Pourquoi c’est une fausse preuve (donc pas une preuve du tout), car c’est basée sur une
contre-vérité : les formules logiques p → q et (¬p) → (6= q) ne sont pas logiquement équivalentes.
Une telle FAUSSE preuve est inacceptable. (En fait, ce qu’on montrerait vraiment en fait est la
réciproque q → p).
3.14. Si et seulement si. Aussi utilisé souvent est l’équivalence logique entre "(p ↔ q) et "(p →
q) ∧ (q → p)".
Démonstration. Encore une fois montrée par un tableau de vérité :
p
V
V
F
F
q p ↔ q q → p q → p ((p → q) ∧ (q → p))
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
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On conclut la preuve, car les colonnes correspondantes sont identiques.
En mots : P ↔ Q est vraie si et seulement si P → Q et sa réciproque Q → P sont vraies.
On conclut que pour montrer que p ↔ q (est vraie) il suffit de montrer que p → q (est vraie)
et puis de montrer qu’aussi q → p (est vraie) (ou alternativement que (¬p) → (¬q) (est vraie)). À
vous de formuler une preuve typique.
3.15. Preuves vides. Nous avons déjà discuté certains preuves typiques. Il y en a d’autres.
Supposons on doit montrer P → Q, pour certain propositions P et Q. Si on sait (ou si on peut
montrer) que P est fausse ou si Q est vraie : il n’y a plus rien à faire ! L’implication P → Q est
vraie. On dit que c’est une preuve vide.
3.16. Preuves cas par cas. Si on n’est pas capable de trouver un argument général pour une
proposition, possiblement on peut briser la proposition en plusieurs parties et montrer chaque partie
(possiblement de façon différent).
Par exemple, si on doit montrer P ↔ Q il suffit de montrer cas par cas P → Q et Q → P . Disons
P → Q par une preuve directe et Q → P par une preuve indirecte.
Ou, si on doit montrer (P ∨ Q) → R il suffit de montrer cas par cas que P → R et Q → R, parce
que nous avons l’équivalence logique [(p ∨ q) → r] ⇔ [(p → r) ∧ (q → r)].
Ou on peut utiliser la méthode de vérifier tous les possibilités.
Exemple 3.1. Soit U := {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} l’univers du discours de la proposition logique
p(u) :="u est la somme de trois carrés parfaits".
On veut montrer que ∀u p(u) est vraie.
Preuve cas par cas. Nous vérifions chaque possibilité.
2 = 0 + 1 + 1, 4 = 0 + 0 + 4, 6 = 1 + 1 + 4, 8 = 0 + 4 + 4, 10 = 0 + 1 + 9, 12 = 4 + 4 + 4,
14 = 1 + 4 + 9, 16 = 0 + 0 + 16, 18 = 0 + 9 + 9. Et en effet.
Exemple 3.2. Soit n un nombre naturel fixé. Montrons :
"Si n n’est pas divisible par 3 alors n2 − 1 est divisible par 3".
On va réduire la preuve avant.
Démonstration. Posons p0 :="il existe un nombre naturel m tel que n = 3m", p1 :="il existe un
nombre naturel m tel que n = 3m + 1", et p2 :="il existe un nombre naturel m tel que n = 3m + 2".
En mathématiques à l’école sécondaire (ou avant même) on a montré que strictement un des
trois propositions p0 , p1 ou p2 est vraie.
n est divisible par 3 si et seulement si p0 est vraie. Donc si n n’est pas divisible par 3 alors p1
est vraie ou p2 est vraie.
Posons aussi r :="n2 − 1 est divisible par 3".
Donc il suffit de montrer (p1 ∨ p2 ) → r , et donc il suffit de montrer les deux cas p1 → r et
p2 → r.
Preuve de p1 → r : Supposons p1 vraie, alors il existe un nombre naturel m tel que n = 3m + 1.
Donc par substitution on obtient
n2 − 1 = (3m + 1)2 − 1 = 9m2 + 6m = 3(3m2 + 2m)
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est un 3-multiple. Ce qu’il fallait montrer.
Preuve de p2 → r : Supposons p2 vraie, alors il existe un nombre naturel m tel que n = 3m + 2.
Donc par substitution on obtient
n2 − 1 = (3m + 2)2 − 1 = 9m2 + 12m + 3 = 3(3m2 + 4m + 1)
est un 3-multiple. Ce qu’il fallait montrer.
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3.17. Quantificateurs (encore). On veut obtenir d’autres formules utiles pour manipuler les
quantificateurs. Soit p(u) une fonction propositionnelle avec univers de discours un ensemble U .
Nous avons déjà rencontré deux formules
¬[∀u p(u)] ⇔ [∃u ¬p(u)];
¬[∃u p(u)] ⇔ [∀u ¬p(u)].
Commençons avec une trivialité. Est-ce que (∀u p(u)) → (∃u p(u)) est vraie ? Oui, sauf si U est
l’ensemble vide ! Car si U = ∅ alors ∀u p(u) est automatiquement vraie et ∃u p(u) automatiquement
fausse. Mais si U n’est pas vide ça marche.
Pour comprendre des formules pour les quantificateurs, c’est bon de commencer par le cas spécial
où l’univers de discours est fini. Nous donnons quelques exemples.
Soit p(u) une fonction propositionnelle avec univers du discours un ensemble fini
U = {u1 , u2 , . . . , un }
Vérifions dans cette situation la règle
¬[∀u p(u)] ⇔ [∃u ¬p(u)]
En utilisant les définitions de ∀, ∃ et la règle de De Morgan plusieurs fois, on obtient
¬[∀u p(u)] ⇔ ¬[p(u1 ) ∧ p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )]
⇔ ¬p(u1 ) ∨ ¬[p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )]
⇔ ¬p(u1 ) ∨ ¬p(u2 ) ∨ ¬[p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )]
⇔ ...
⇔ ¬p(u1 ) ∨ ¬p(u2 ) ∨ . . . ∨ ¬p(un )
⇔ ∃u ¬p(u).
Donc notre formule est une règle de De Morgan généralisée.
Maintenant une nouvelle formule basée sur une des règles de la distributivité. Soit q une proposition logique. En utilisant la distributivité plusieurs fois, on obtient
[∀u p(u)] ∨ q ⇔ [p(u1 ) ∧ p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )] ∨ q
⇔ [p(u1 ) ∨ q] ∧ [[p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )] ∨ q]
⇔ [p(u1 ) ∨ q] ∧ [p(u2 ) ∨ q] ∧ [[p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )] ∨ q]
⇔ ...
⇔ [p(u1 ) ∨ q] ∧ [p(u2 ) ∨ q] ∧ . . . ∧ [p(un ) ∨ q]
⇔ ∀u [p(u) ∨ q]
Nous avons obtenue une règle logique. Nous allons voir que cette règle reste vraie si U n’est pas
fini.
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En utilisant la commutativité et l’associativité de ∧ et
q ⇔ [q ∧ q] ⇔ [q ∧ q ∧ q] ⇔ [q ∧ q ∧ q ∧ q] ⇔ . . .
on obtient
[∀u p(u)] ∧ q ⇔ [p(u1 ) ∧ p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )] ∧ q
⇔ [p(u1 ) ∧ p(u2 ) ∧ p(u3 ) ∧ . . . ∧ p(un )] ∧ [q ∧ q ∧ q . . . ∧ q]
⇔ [p(u1 ) ∧ q] ∧ [p(u2 ) ∧ q] ∧ . . . ∧ [p(un ) ∧ q]
⇔ ∀u [p(u) ∧ q]
Nous avons obtenue une règle logique. Cette règle reste aussi vraie si U n’est pas fini.
Similairement pour ∃.
Proposition 3.5. Soit p(u) une fonction propositionnelle avec univers de discours un ensemble U ,
et q une proposition logique. Alors on a
(∀u p(u)) ∨ q ⇔ ∀u [p(u) ∨ q] (distr. généralisée)
(∀u p(u)) ∧ q ⇔ ∀u [p(u) ∧ q] (assoc. et comm. de ∧ généralisée)
(∃u p(u)) ∨ q ⇔ ∃u [p(u) ∨ q] (assoc. et comm. de ∨ généralisée)
(∃u p(u)) ∧ q ⇔ ∃u [p(u) ∧ q] (distr. généralisée)
Démonstration. Montrons la première formule.
Pour montrer "(∀u p(u)) ∨ q → ∀u [p(u) ∨ q]", supposons (∀u p(u)) ∨ q est vraie, c-.à-d. q est vraie
ou (∀u p(u)) est vraie. Si q est vraie, alors [p(u) ∨ q] est vraie pour chaque u ; c.-à-d. ∀u [p(u) ∨ q]
est vraie. Si p(u) est vraie pour chaque u, alors aussi p(u) ∨ q est vraie pour chaque u, c.-à-d.
∀u [p(u) ∨ q] est vraie. Donc nous avons montré que si (∀u p(u)) ∨ q est vraie, alors ∀u [p(u) ∨ q]
est vraie aussi.
Pour montrer "(∀u [p(u) ∨ q]) → [(∀u p(u)) ∨ q]", supposons (∀u [p(u) ∨ q]) est vraie, c-.à-d.,
[p(u) ∨ q] est vraie pour chaque u. Alors si q est fausse, on a nécessairement p(u) est vraie pour
chaque u, i.e, ∀u p(u) est vraie et donc aussi [∀u p(u)]∨q est vraie. Et si q est vraie, alors [∀u p(u)]∨q
est vraie aussi. Donc nous avons montré que si ∀u [p(u) ∨ q] est vraie alors (∀u p(u)) ∨ q est vraie
aussi.
Ainsi la première formule est montrée.
La preuve des trois autres formules est laissée à vous.
Corollaire 3.1. Soit p(u) une fonction propositionnelle avec univers du discours un ensemble U ,
et q(v) une proposition logique avec univers de discours l’ensemble V .
Quelques équivalences (mais on en d’autres similaires) :
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(∀u p(u)) ∨ (∀v q(v)) ⇔ ∀u [p(u) ∨ (∀v q(v))]
⇔ ∀u ∀v [p(u) ∨ q(v)]
(∀u p(u)) ∨ (∃v q(v)) ⇔ ∀u [p(u) ∨ (∃v q(v))]
⇔ ∀u ∃v [p(u) ∨ q(v)]
(∃u p(u)) ∧ (∀v q(v)) ⇔ ∃u [p(u) ∧ (∀v q(v))]
⇔ ∃u ∀v [p(u) ∧ q(v))]
Ces règles sont donc naturelles.
Autres règles s’en déduisent. Par exemple la règle
((p1 ∨ p2 ) → q) ⇔ ((p1 → q) ∧ (p2 → q))
est généralisée ainsi :
Lemme 3.2.
([∃u p(u)] → q) ⇔ (∀u [p(u) → q])
Démonstration. Même la preuve est généralisée :
([∃u p(u)] → q) ⇔ ¬[∃u p(u)] ∨ q (Car (p → q) ⇔ ¬p ∨ q)
⇔ [∀u ¬p(u)] ∨ q (De Morgan généralisée)
⇔ [∀u (¬p(u) ∨ q)] (distr. généralisée)
⇔ [∀u (p(u) → q)] (Car (p → q) ⇔ ¬p ∨ q)
3.18. Attention. Mais supposons maintenant p(u) et q(u) sont deux fonctions propositionnelles
sur le même univers de discours U . Dans ce cas il faut faire attention ! On a en effet
(∀u p(u)) ∨ (∀u q(u)) ⇔ (∀u p(u)) ∨ (∀v q(v))
⇔ (∀u ∀v (p(u) ∨ q(v))
mais ce n’est pas la même chose que (∀u (p(u) ∨ q(u)) !
En effet, on a seulement :
Proposition 3.6.
(∀u p(u)) ∨ (∀u q(u)) ⇒ (∀u (p(u) ∨ q(u))
(∃u (p(u) ∧ q(u)) ⇒ (∃u p(u)) ∧ (∃u q(u))
mais
(∀u p(u)) ∧ (∀u q(u)) ⇔ (∀u (p(u) ∧ q(u)))
(∃u (p(u) ∨ q(u))) ⇔ (∃u p(u)) ∨ (∃u q(u))
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Exemple 3.3. Posons p(u) :="u = 0" et q(u) :="u > 0" avec univers du discours N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Alors la proposition ∀u p(u) est fausse (parce que p(1) est fausse) et aussi la proposition ∀u q(u)
est fausse (parce que q(0) est fausse). Mais pour chaque nombre naturel u on a u = 0 ou u > 0,
c.-a-d., ∀u (p(u) ∨ q(u)) est vraie. Donc l’implication (∀u (p(u) ∨ q(u)) → (∀u p(u)) ∨ (∀u q(u)) est
fausse.
Nous pouvons combiner ces équivalences logiques avec les équivalences et règles d’inférence déjà
établies.
Par exemple. Soient p(u), q(u) et r(u) trois fonctions propositionnelles avec le même univers du
discours U . On a
[[∀u (p(u) → q(u))]∧[∀u (q(u) → r(u))]] ⇔ [∀u ((p(u) → q(u))∧(q(u) → r(u))] ⇒ [∀u (p(u) → r(u))],
où nous avons combiné avec ((p → q) ∧ (q → r)) ⇒ (p → r).
3.19.
On a une autre situation qui demande un peu d’attention.
Proposition 3.7. Soit p(u, v) une fonction propositionnelle avec univers du discours U × V .
(i) On a seulement :
(∃v ∀u p(u, v)) ⇒ (∀u ∃v p(u, v))
(ii) Mais
(∀u ∀v p(u, v)) ⇔ (∀v ∀u p(u, v))
(∃u ∃v p(u, v)) ⇔ (∃v ∃u p(u, v))
Démonstration. (i) Supposons que l’hypothèse (∃v ∀u p(u, v)) est vraie, c.-à-d., il existe un élément
de V , disons v0 ∈ V , tel que p(u, v0 ) est vraie pour chaque u ∈ U .
Est-ce que (∀u ∃v p(u, v)) est vraie ? Soit u ∈ U , est-ce qu’il existe un v ∈ V (qui dépend possiblement de u) tel que p(u, v) est vraie ? Oui, nous pouvons prendre v0 (pour tous les u simultanément
même) ! Donc la conclusion sera vraie.
On a montré l’implication.
(ii) (∀u ∀v p(u, v)) veut dire pour chaque u et pour chaque v on a p(u, v). Mais parce que
u ∧ v ⇔ v ∧ u, c’est la même chose comme dire pour chaque v et pour chaque u on a p(u, v), c.-à-d.,
(∀v ∀u p(u, v))
Similairement pour l’autre équivalence.
Exemple 3.4. Mais l’autre implication (∀u ∃v p(u, v)) → (∃v ∀u p(u, v)) n’est pas vraie pour tous
les p(u, v)’s (c’est donc une contre-vérité).
Si pour chaque u il existe un v tel que p(u, v) est vraie, il est possible qu’un tel v est variable et
dépend de u.
Par contre, (∃v ∀u p(u, v)) veut dire qu’il existe un v indépendant de u, tel que p(u, v) est vraie.
C’est plus fort.
Par exemple, soit U = V = Z et p(u, v) ="u + v = 1".
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Dans ce cas l’hypothèse (∀u ∃v p(u, v) est vraie, car pour chaque entier u il existe un entier v tel
que u + v = 1 (en effet on peut prendre v = 1 − u).
Supposons que la conclusion (∃v ∀u p(u, v)) est vraie, c.-à-d, il existe pas un entier, disons n, tel
que pour chaque entier u on a u + n = 1. En particulier pour u = 0 et u = 1 on obtient
0+n=1=1+n
donc 0 = 1, une contradiction. Donc la conclusion (∃v ∀u p(u, v)) est fausse.
Par définition, dans ce cas l’implication (∀u ∃v p(u, v)) → (∃v ∀u p(u, v)) est fausse.
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Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal, C.P. 6128, succursale
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