Problème 1 : matrices d`ordre fini

Université de Poitiers Année 2015-2016
M1 MEEF
Composition d’algèbre
Mardi 9 mars 2016 à 8h30 – durée : cinq heure
Sujet proposé par Anne Moreau
Sources : deuxième composition de l’épreuve écrite du CAPES externe de Mathématiques, session 2014, et
deuxième composition de l’épreuve écrite du CAPES externe de Mathématiques, session 2010.
L’usage de documents, calculatrices ou matériels électroniques est interdit au cours de l’épreuve.
Les deux problèmes sont entièrement indépendants.
Problème 1 : matrices d’ordre fini
Notations et définitions
Dans tout le problème, ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 1. On désigne par Mn(C)
(respectivement Mn(R),Mn(Z)) l’ensemble des matrices carrées à nlignes et ncolonnes dont
les coefficients appartiennent à C(respectivement à R, à Z).
La matrice identité de taille nest notée In.
Soit A∈Mn(C). L’ensemble des valeurs propres de Aest appelé spectre de A. On le note Sp(A).
On dit que Aest d’ordre fini s’il existe k∈N∗tel que Ak=In. Si Aest d’ordre fini, le plus
petit entier strictement positif ktel que Ak=Inest appelé l’ordre de A. Il est note o(A).
Partie A : préliminaires
1. Cette question consiste en des rappels de théorèmes du cours.
(a) Soit A∈Mn(R). On suppose qu’il existe P∈R[X],P6= 0, tel que P(A)=0.
i. Donner une condition suffisante sur Ppour que Asoit trigonalisable dans Mn(R).
ii. Donner une condition suffisante sur Ppour que Asoit diagonalisable dans Mn(R).
(b) Soit A∈Mn(C). On suppose qu’il existe P∈R[X],P6= 0, tel que P(A) = 0. Que
deviennent les conditions précédentes lorsque l’on s’intéresse à la trigonalisation ou à
la diagonalisation de Adans Mn(C)?
2. Soit B∈Mn(C)d’ordre fini. On pose b=o(B).
(a) Démontrer que Best inversible.
(b) Soit k∈Z. Démontrer que Bk=Insi et seulement si bdivise k.
(Indication : on pourra écrire la division euclidienne de kpar b.)
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(c) Démontrer que les valeurs propres de Bsont des racines b-ièmes de l’unité.
(d) Démontrer que Best diagonalisable dans Mn(C).
3. Soit C∈Mn(C). Ses valeurs propres sont notées λ1, . . . , λn.
On suppose que Cest diagonalisable et que pour tout entier itel que 16i6n,λiest
une ni-ième racine de l’unité pour un certain entier ni.
Pour tout entier itel que 16i6n, on note kile plus petit entier strictement positif tel
que λki
i= 1.
(a) Démontrer que Cest d’ordre fini et que son ordre divise le PPCM de k1, . . . , kn.
(b) Démontrer que o(C)est le PPCM de k1, . . . , kn.
Partie B : matrices d’ordre fini à coefficients réels
Dans cette partie, on considère une matrice A∈M3(R)d’ordre fini. Le but est de démontrer
que cette matrice est diagonalisable dans M3(C)et de déterminer le spectre de Adans C.
1. Démontrer que si toutes les valeurs propres de Adans Csont réelles, alors Sp(A)⊆ {−1,1}.
2. On suppose que 1est la seule valeur propre de Adans C.
(a) Justifier qu’il existe P∈M3(R), inversible, et a, b, c éléments de Rtels que
P−1AP =
1a b
0 1 c
0 0 1
.
(b) On pose B=P−1AP . Démontrer que Best d’ordre fini.
(c) Démontrer par récurrence que pour tout k∈N:
Bk=
1ka k(k−1)
2ac +kb
0 1 kc
0 0 1 
.
(d) En déduire que A=I3.
3. Énoncer sans démonstration un résultat semblable lorsque −1est la seule valeur propre
de Adans C.
4. On suppose que −1est valeur propre simple de Aet que 1est valeur propre double de A.
(a) Justifier qu’il existe Q∈M3(R), inversible, et a, b, c éléments de Rtels que :
Q−1AQ =
−1a b
0 1 c
0 0 1
.
(b) On pose C=Q−1AQ.
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Démontrer qu’il existe trois suites de nombres réels (αk)k∈N,(βk)k∈Net (γk)k∈Ntelles
que pour tout entier naturel k:
Ck=
(−1)kαkβk
0 1 γk
0 0 1 
.
On définira ces suites à l’aide de relations de récurrence.
(c) Donner une expression de γkpour tout k>0.
(d) En déduire que c= 0.
(e) En déduire que Cet Asont diagonalisables dans M3(C).
5. Énoncer sans démonstration un résultat lorsque −1est valeur propre double de Aet 1est
valeur propre simple de A.
6. On suppose que Aadmet dans Cau moins une valeur propre non réelle.
(a) Démontrer qu’il existe θ∈2πQ\πZtel que Sp(A) = {eiθ, e−iθ ,1}ou {eiθ , e−iθ ,−1}.
(Indication : on pourra considérer le polynôme caractéristique de A.)
(b) Démontrer que Aest diagonalisable dans M3(C).
7. Soit A∈M3(R). Démontrer que Aest d’ordre fini si et seulement si Aest diagonalisable
dans M3(C)et il existe θ∈2πQtel que Sp(A) = {eiθ , e−iθ ,1}ou {eiθ , e−iθ,−1}.
Partie C : matrices d’ordre fini à coefficients entiers
Soit A∈M3(Z)d’ordre fini. D’après la partie B, son spectre dans Cest de la forme Sp(A) =
{eiθ, e−iθ,1}ou {eiθ, e−iθ,−1}, où θ∈2πQ.
1. Démontrer que 2 cos θ∈Z.
(Indication : on pourra considérer la trace de A.)
2. Donner les valeurs possibles pour θ.
3. Donner les différents spectres dans Cpossibles pour Apuis démontrer que o(A)∈ {1,2,3,4,6}.
4. On cherche maintenant à construire des matrices de M3(Z)de chaque ordre.
(a) Donner des matrices de M3(Z)d’ordre 1et 2.
(b) i. Soit (a, b, c)∈C3. Calculer le polynôme caractéristique de :
0 0 −a
1 0 −b
0 1 −c
.
ii. Construire une matrice de M3(Z)dont les valeurs propres sont 1,e2iπ
3et e−2iπ 3.
Démonter que cette matrice est d’ordre 3.
iii. Construire des matrices de M3(Z)d’ordre 4 et d’ordre 6.
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Problème 2 : séries génératrices et suites
Dans tout le problème, Kdésigne Rou C. L’ensemble des suites d’éléments de Kest noté
KN. Une suite (an)n∈Nd’éléments de Ksera notée plus simplement (an). On note (0) la suite
constante dont tous les termes sont nuls et on rappelle que deux suites (an)et (bn)sont égales
si et seulement si pour tout entier k∈Non a ak=bk.
•Soient (an)et (bn)deux éléments de KN. On définit leur somme (an) + (bn), leur produit
(an)×(bn)et le produit d’une suite (an)par un élément λ∈Krespectivement par :
(an)+(bn)=(an+bn),
(an)×(bn)=(cn)où, pour tout entier n∈N:cn=
n
X
k=0
akbn−k,
λ·(an)=(λan).
•On admet que (KN,+) est un groupe commutatif d’élément nul (0).
•Pour tout p∈N, on notera Xpla suite (xn)∈KNdéfinie par :
(xp= 1
xn= 0 si n6=p.
On écrira aussi X0et X1respectivement pour 1et X.
•Pour tout (k, n)∈N2tel que 06k6n, le coefficient binomial n
k!est égal à n!
k!(n−k)!.
NB : les notions d’«anneau», d’«anneau commutatif», d’«anneau intègre» et de «K-espace vec-
toriel» sont rappelées en annexe à la fin du sujet.
Partie A : série génératrice d’une suite (an)
1. Propriétés algébriques
(a) Montrer que (KN,+,×)est un anneau commutatif dont on précisera l’élément neutre.
(b) Montrer que l’anneau (KN,+,×)est intègre.
(Indication : si (an)est un élément non nul de KN, on pourra considérer le plus petit
entier ktel que ak6= 0.)
(c) Montrer qu’un élément (an)de KNest inversible dans KNsi et seulement si a06= 0.
(d) Montrer que (KN,+,·)est un K-espace vectoriel.
Les résultats précédents montrent que toute suite (an)∈KNpeut s’écrire formellement
sous la forme Pn>0anXn. Lorsqu’on note A(X) = Pn>0anXn, ou A=Pn>0anXn, alors
A(X)ou Asera appelée série génératrice de la suite (an). On remarque que par
définition du produit des suites on a
Xp×Xq=Xp+qpour tout (p, q)∈N2.
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D’autre part, si Aest une série génératrice, pour tout entier k>2,Akdésigne le produit
A× ··· × A
| {z }
kfacteurs
.
On remarquera aussi que s’il existe un entier ptel que ap6= 0 et tel que pour tout entier
n>pon a an= 0 alors la série génératrice de la suite (an)n’est autre qu’un polynôme de
degré pqu’on notera Pp
n=0 anXn.
D’après la question A.1(c) ci-dessus, la série génératrice Pn>0anXnest inversible si et
seulement ment si a06= 0. Dans toute la suite, si la série génératrice A(X)est inversible,
on écrira son inverse sous la forme 1
A(X). Plus généralement, si la série génératrice A(X)
est inversible et si B(X)est une série génératrice quelconque, le produit B(X)×1
A(X)
sera noté B(X)
A(X). Si de plus B(X)et A(X)sont des séries génératrices sous la forme de
polynômes alors B(X)
A(X)peut être assimilée à une fraction rationnelle sur Ket on admet que
les techniques de décomposition en éléments simples sur Krestent valables pour B(X)
A(X).
2. Éléments inversibles
(a) Montrer que la série génératrice inversible Pn>0Xna pour inverse 1−X, c’est-à-dire
que : 1
1−X=X
n>0
Xn.
(b) Soit a∈K\ {0}. Montrer que :
1
1−aX =X
n>0
anXn.
(c) Soit a∈K\ {0},b∈K\ {0}avec a6=b. Montrer que :
1
(1 −aX)×(1 −bX)=a a−b1 1−aX +b b−a1 1−bX .
3. L’opérateur de dérivation
L’opérateur de dérivation, D:KN→KNest défini par :
D:A=X
n>0
anXn7→ D(A) = X
n>1
nanXn−1=X
n>0
(n+ 1)an+1Xn.
(a) Montrer que Dest en endomorphisme du K-espace vectoriel KN.
(b) Soient Aet Bdeux séries génératrices. Montrer que :
i. D(A×B) = D(A)×B+A×D(B).
ii. Si Best inversible,
DA
B=D(A)×B−A×D(B) B2.
(Indication : on pourra remarquer que D(A) = D(B×A
B)et utiliser (i).)
En particulier, on a : D1
B=−D(B) B2.
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