Notes sur la théorie de Galois des schémas

Notes sur la théorie de Galois des schémas
Tristan Vaccon
6 mai 2015
Table des matières
0 Quelques rappels sur les schémas 2
0.1 Notions qui dépendent du faisceau de fonctions . . . . . . . . . . . 2
0.2 Notions qui dépendent de la topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3 Notionscomposées ........................... 2
0.4 Produit ................................. 2
0.5 Dernierrappel.............................. 3
1 Revêtements étales finis de schémas 3
2 Théorie de Galois des revêtements étales finis 4
3 Le groupe fondamental algébrique 6
3.1 Foncteurfibre.............................. 6
3.2 Applications............................... 8
3.3 Engendrement.............................. 9
4 Catégories galoisiennes (SGA 1) 10
Remarque. Ce qui suit est (sauf mention du contraire) extrait de Galois Groups
and Fundamental Groups de Tamás Szamuely (Cambridge University Press, 2009).
Tout y est bien sûr bien mieux expliqué et détaillé : les notes ici ne constituent
qu’un très rapide extrait.
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0 Quelques rappels sur les schémas
0.1 Notions qui dépendent du faisceau de fonctions
Propriété du schéma XPropriété de OX
réduit ∀U⊂X, ouvert, OX(U)sans élément nilpotent
entier ∀U⊂X, ouvert, OX(U)sans diviseur de zéro
localement noethérien les OX,P sont locaux et noethériens
normal les OX,P sont intégralement clos
régulier tout OX,P =Rest local régulier
(dimκ(R)M(R)/M(R)2= dim R)
φ:Y→X X =∪Ui, Ui=Spec Ai, φ−1(Ui) = ∪Vi,j
loc. de type fini Vi,j =Spec Bi,j et Bi,j est une Ai-algèbre de type fini
de type fini comme au-dessus avec un nombre fini de Vi,j pour chaque i.
φ:Y→X X =∪Ui, Ui=Spec Ai, φ−1(Ui) = Spec Bi
fini Biest un Ai-module de type fini
0.2 Notions qui dépendent de la topologie
Propriété du schéma XPropriété de Xcomme espace topologique
irréductible pas l’union de deux ouverts non-triviaux
connexe connexe
quasi-compact de tout recouvrement ouvert,
on peut extraire un sous-recouvrement fini
0.3 Notions composées
entier =réduit +irréductible
noethérien =quasi-compact +loc. noethérien
0.4 Produit
Proposition 0.1. Soit Xun schéma et deux morphismes de schéma p:Y→X
et q:Z→X. Alors le foncteur contravariant suivant :
S7→ {(φ, ψ)∈Hom(S, Y )×Hom(S, Z) : p◦φ=q◦ψ},
de la catégorie des X-schémas vers les ensembles est représentable par un schéma,
Y×XZ.
Démonstration. Dans le cas affine, X=Spec A, Y =Spec B, Z =Spec C, Y ×X
Z=Spec B⊗AC. Le cas général s’obtient par recollement.
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On a bien sûr une propriété universelle correspondante.
Sur Spec A, si Pest un point, on a bien sûr la composition de morphismes
A→AP→AP/P AP=κ(P).Sur un schéma X, si Pest un point de X, on en
déduit un morphisme d’inclusion Spec κ(P)→X.
Définition 0.2. Si φ:Y→Xest un morphisme de schémas, si Pest un point
de X, nous définissons la fibre de φen Ppar YP=Y×XSpec κ(P).
Remarque. YPest homéomorphe, en tant qu’espace topologique, à φ−1(P).
0.5 Dernier rappel
Définition 0.3. Un morphisme Z→Xde schémas affines est une immersion
fermée s’il correspond à une projection A→A/I. Un morphisme Z→Xde
schémas est une immersion fermée s’il est injectif, d’image fermée, et tel que sa
restriction sur un recouvrement affine de Zdonne lieu à des immersions fermées
de schémas affines.
Définition 0.4. Un morphisme Y→Xde schémas est séparé si la diagonale
∆ : Y→Y×XYest une immersion fermée.
Définition 0.5. Un morphisme séparé Y→Xde schémas est propre s’il est de
type fini, et pour tout Z→X, le changement de base Y×XZ→Zest une
application fermée (elle envoie fermé sur fermé).
1 Revêtements étales finis de schémas
Définition 1.1. Une k-algèbre Ade dimension finie est étale (sur k) si elle est
isomorphe à un produit fini d’extension séparables de k.
Remarque. Une k-algèbre Ade dimension finie est étale (sur k) si et seulement si
A⊗kk=kl(pour un certain l), si et seulement si A⊗kkest réduit.
Définition 1.2. Un morphisme fini de schémas φ:X→Sest localement libre si
le faisceau image directe φ∗OXest localement libre (de rang fini).
Si de plus, chaque fibre XPde φest le spectre d’une κ(P)-algèbre finie étale, alors
nous parlons de morphisme fini étale.
Un revêtement fini étale est un morphisme fini étale surjectif.
Définition 1.3. Xun schéma, Fun OX-module. On dit que Fest localement
libre si on peut écrire X=∪Uiavec Ui=Spec Aiet Mi=F(Ui)est un Ai-module
libre.
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Remarque. Les morphismes finis étales correspondent à une OX-algèbre φ∗OXtelle
que φ∗OX⊕OX,P κ(P)est une κ(P)-algèbre finie étale pour tout P∈X.
Exemple. Soit S=Spec Aet X=Spec Bdes schémas affines tels que B=
A[x]/(f)avec fpolynôme unitaire de degré d. Nous avons Blibrement engendré
par les images de 1, . . . , xd−1dans B. Ainsi, le morphisme φ:Spec B→Spec Aest
fini est localement libre. Si de plus, Res(f, f0) = 1 dans A[x](ou f∧f0= 1), alors
φest fini étale. En effet, si P∈S, alors la fibre XPest le spectre de B⊕Aκ(P)'
κ(P)[x]/(f),avec fl’image de fdans κ(P)[x].Par hypothèse, elle est à racine
simple, donc il s’agit bien d’une κ(P)-algèbre finie étale.
Remarque. composition, base change
Définition 1.4. Soit φ:X→Sun revêtement fini étale. Nous disons qu’il est
trivial si X, comme S-schéma, est isomorphe à une union disjointe de copies de S,
et que φest l’identité sur chaque composante.
Proposition 1.5. Soit Sun schéma connexe et φ:X→Sun morphisme
surjectif affine. Alors φest un revêtement fini étale si et seulement si il existe un
morphisme fini, localement libre et surjectif ψ:Y→Stel que X×SYest un
revêtement trivial de Y.
Remarque. En topologie, les revêtements sont caractérisés par le fait qu’ils de-
viennent triviaux lorsqu’on se restreint à des ouverts suffisamment petits. Remar-
quons que la restriction d’un revêtement Y→Xà un ouvert U⊂Xn’est rien
d’autre que le produit fibré Y×XU→U(dans la catégorie des espaces topolo-
giques).
En fait, la proposition suivante nous dit que les revêtements finis étales sont locale-
ment triviaux pour la topologie de Grothendieck, où les recouvrements sont donnés
par les morphismes localement libres, finis, surjectifs.
Remarque. Il existe aussi un critère jacobien pour être étale, qui dit grosso modo
qu’en tout point, le jacobien est inversible. Hélas, il n’y a pas d’inversion locale au
sens que l’on a en analyse.
2 Théorie de Galois des revêtements étales finis
Proposition 2.1. Soit ϕ:X→Sun revêtement fini étale, et soit s:S→Xune
section de φ(i.e. un morphisme tel que φ◦s=Ids).Alors sinduit un isomorphisme
de Savec un sous-schéma ouvert-fermé de X. En particulier, si Sest connexe, s
envoie Ssur une composante connexe de X.
Corollaire 2.2. Si Z→Sest un S-schéma connexe et φ1, φ2:Z→Xsont deux
S-morphismes vers un S-schéma fini étale Xavec φ1◦z=φ2◦zpour un certain
point géométrique z:Spec Ω→Z, alors φ1=φ2.
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Définition 2.3. Soit ϕ:X→Sun morphisme de schémas. Définissons Aut(X|S)
comme le groupe des automorphismes de schéma de Xqui préservent φ.
Définition 2.4. Pour un point géométrique s:Spec Ω→S, nous avons une
action naturelle de Aut(X|S)sur la fibre géométrique Xs=X×SSpec Ωvenant
par changement de base de l’action sur X.
Corollaire 2.5. Si φ:X→Sest une revêtement fini étale, les éléments non-
triviaux de Aut(X|S)agissent sans point fixe sur les points des fibres géométriques.
En conséquence, Aut(X|S)est fini.
Démonstration. Soit λ∈Aut(X|S), on prend φ1=φet φ2=φ◦λet l’on obtient
la première partie.
En conséquence, l’action de Aut(X|S)par permutation sur une fibre géométrique
est fidèle. Comme ces ensembles sont finis, le résultat est clair.
Définition 2.6. Soit φ:X→Sun morphisme surjectif de schémas. Soit G⊂
Aut(X|S)un sous-groupe fini. Nous définissons un espace annelé G\Xet un
morphisme d’espaces annelés π:X→G\Xde la manière suivante. L’espace
topologique sous-jacent à G\Xest le quotient de G\X, avec topologie quotient,
et πla projection naturelle, qui est continue. Nous définissons alors le faisceau
structural de G\Xcomme le sous-faisceau (π∗OX)Gdes éléments de π∗OXqui
sont G-invariants.
Proposition 2.7. L’espace annelé G\Xconstruit précédemment est un schéma,
le morphisme πest affine et surjectif, et φse factorise en φ=ψ◦πpour un
morphisme affine ψ:G\X→S.
Proposition 2.8 (PU du quotient).Le S-schéma G\Xest le quotient de X
par G. Il est caractérisé par la propriété universelle suivante : pour λ:X→Y
morphisme dans la catégorie des schémas affines et surjectif sur Stel que λest
constante sur les orbites pour l’action de G,λse factorise de manière unique par
G\X.
Proposition 2.9. Soit φ:X→Sun revêtement fini étale connexe, et soit
G⊂Aut(X|S)un groupe fini de S-automorphismes de X. Alors φs’écrit comme
composé de deux revêtements finis étales : X→G\X→S.
Définition 2.10. Soit φ:X→Sun revêtement fini étale connexe. Nous disons
qu’il est galoisien si le groupe de S-automorphismes agit transitivement sur les
fibres.
Théorème 2.11 (Correspondance de Galois pour les schémas).Soit φ:X→S
un revêtement fini étale galoisien. Si Z→Sest un revêtement fini étale connexe
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