Applications linéaires

Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI
TD 23
Applications linéaires
Dans Rn
Exercice 1 : [corrigé] Pour chaque application suivante : f:R2→R3et g:R3→R2,f◦get g◦f:
(Q 1) vérifier que ce sont des applications linéaires,
(Q 2) donner une base et la dimension de leur noyau et de leur image directe ;
(Q 3) vérifier le théorème du rang ;
(Q 4) dire si ce sont des isomorphismes.
∀(x;y;z)∈R3;f((x, y)) = (x, 2x+y, y), g ((x, y, z)) = (x+z, 5x−2y+z).
Exercice 2 : On note f:R3→R2et g:R2→R3les applications linéaires définies par :
f((x, y, z)) = (2x+y+z, 2x+ 3y+ 2z), g ((x, y)) = (x+y, 2x+ 2y, x −y).
Étudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f,g,g◦f.
Exercice 3 : Soit fl’endomorphisme de R3défini par
f((x;y;z)) = (2x+y+z;x+ 2y+z;x+y+ 2z)
et soit F= ker (f−Id),G= ker (f−4Id).
(Q 1) Donner une base de Fet de G.
(Q 2) Démontrer que Fet Gsont supplémentaires.
Exercice 4 : Soit λun réel et fl’application linéaire définie par
f:R3→R3
(x;y;z)→(x+ 2λy −z; 3x+λz; 6x+ 2z).
Déterminer le rang de fen fonction de λ.
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Dans d’autres espaces vectoriels
Exercice 5 : Les applications suivantes sont-elles R-linéaires ? Dans l’affirmative déterminer leur noyau et
leur image puis si elles sont surjectives, injectives, des isomorphismes.
(Q 1) r:C→R
z7→ Re(z)
(Q 2) q:F(R,R)→ F(R,R)
f7→ (x7→ f(x)−f(1)) ;
(Q 3) Eest l’ensemble des suites convergentes.
p:E→R
(un)7→ lim
n→+∞un;
Exercice 6 : Soit Eun K-espace vectoriel et (e1;e2;e3)une base de E.
(Q 1) Démontrer qu’il existe un unique endomorphisme de Evérifiant f(e1) = 2e1+ 3e2+e3,f(e2) =
−4e2−2e3,f(e3) = 4e1+ 12e2+ 5e3.
(Q 2) Déterminer le noyau et l’image de f
(Q 3) Vérifier le théorème du rang pour f.
Exercice 7 :
(Q 1) Déterminer le rang de Φ : K3[X]→K4[X]
P→X(P′−P′(0))
(Q 2) Quelle est alors la dimension du noyau ?
Exercice 8 : Soit Φet Ψles applications de R[X]dans lui-même définies par :
∀P∈R[X]; Φ(P) = P′; Ψ(P) = ZX
0
P(t)dt.
(Q 1) Démontrer que Φet Ψsont des endomorphismes.
(Q 2) Sont-ils injectifs ? surjectifs ?
(Q 3) Calculer Φ◦Ψet Ψ◦Φ.
Exercice 9 : Soit n∈N. Montrer que l’application Ψ : Kn[X]→Kn+1
P7→ (P(0), P ′(0), P ′′ (0),...,P(n)(0)) est
un isomorphisme.
Exercice 10 : Soit E=C∞(R;R).On note :
Φ : E→E
f7→ f′′ −4f′+ 4f
(Q 1) Montrer que Φest une application linéaire.
(Q 2) Donner une base de son noyau.
(Q 3) Pour tout n∈N, on note Enl’ensemble des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n.
Démontrer que la restriction de φàEnest un isomorphisme.
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Dans des espaces quelconques.
Exercice 11 : Soit Eun Kespace vectoriel et f∈ L(E)telle que f2−3f+ 2IdE= 0L(E).
(Q 1) Montrer que fest un isomorphisme en montrant qu’elle est injective et surjective.
(Q 2) En utilisant votre travail effectué sur la surjectivité, calculer son application réciproque en fonction
de f.
(Q 3) Établir que : ker(f−IdE)⊕ker(f−2IdE) = E.
Exercice 12 : Soient fet gdeux endomorphismes d’un Kespace vectoriel E. Montrer que :
(Q 1) f◦g= 0L(E)⇔Im(g)⊂ker(f)
(Q 2) ker(f)⊂ker(f2).
(Q 3) Im(f2)⊂Im(f).
(Q 4) ker(f) = ker(f2)⇔Im(f)∩ker(f) = {0E}.
(Q 5) Im(f) = Im(f2)⇔Im(f) + ker(f) = E.
(Q 6) ker(f)∩ker(g)⊂ker(f+g).
(Q 7) Im(f+g)⊂Im(f) + Im(g).
Exercice 13 : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et f∈ L(E)tel que rg(f) = rg(f2)
(Q 1) Démontrer que Imf= Imf2et ker f= ker f2
(Q 2) Démontrer que Imfet ker fsont supplémentaires dans E.
Exercice 14 : Soit Eun K-espace vectoriel. On dit qu’un endomorphisme fde Eest nilpotent si il existe
n∈Ntel que fn= 0.
1. Démontrer qu’un endomorphisme nilpotent non-nul n’est pas bijectif.
2. Calculer (IdE−f)(IdE+f+f2+... +fp)où pest un entier naturel.
3. En déduire que pour tout endomorphisme nilpotent fde E,(IdE−f)est bijectif, puis (IdE−λf)est
bijectif pour tout λ∈K.
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Les symétries et les projecteurs
Exercice 15 : On pose F={(x, y, z)/x −y+ 2z= 0}et G= Vect((−1,2,1)). Montrer que Fet Gsont
supplémentaires puis déterminer l’expression de la projection sur Fparallèlement à G.
Exercice 16 : On pose F=(x, y, z)∈R3/x + 2y−z= 0et G= Vect(1,0,−1). Montrer que Fet G
sont supplémentaires puis déterminer l’expression de la symétrie sur Fparallèlement à G.
Exercice 17 : Identifier les applications suivantes (projecteurs ou symétries), puis déterminer leurs élé-
ments caractéristiques :
(a) f:R3→R3
((x, y, z)7→ ((3x+ 4y+z, −2x−3y−z, 2x+ 4y+ 2z)) .
(b) g:R4→R3
(x, y, z, t)7→ (y+z+t, x +z+t, −x+y−t, x −y−z);
(c) h:
M22(R)→ M22(R)
M7→ −2 3
−2 3 M; (d) o:
M22(R)→ M22(R)
M7→ 3−2
4−3M.
Exercice 18 : Soient p∈ L(E)et Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que si pest la projection
sur Fet parallèlement à G, alors s= 2p−idEest la symétrie par rapport à Fet parallèlement à G.
Exercice 19 : Pour P∈R4[X], on pose f(P) = (1 −X)P(0) + XP (1). Montrer que fest linéaire et
déterminer f◦f. Que peut-on en déduire ? Trouver les éléments caractéristiques de f.
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Indications et solutions du TD 23 Mathématiques PTSI
Indications
Correction de l’exercice 1 :
1. (Q 1) Si l’on note : X1= (x1, y1)et X2= (x2, y2)
alors : X1+λX2= (x1+λx2, y1+λy2)donc :
f(X1+λX2) = (x1+λx2,2(x1+λx2) + y1+
λy2, y1+λy2).
Or, (x1+λx2,2(x1+λx2) + y1+λy2, y1+
λy2) = (x1,2x1+y1, y1)+λ(x2,2x2+y2, y2) =
f(x1, y1) + λf(x2, y2).
Au final, quels que soient X1,X2et λ,f(X1+
λX2) = f(X1) + λf(X2)donc fest linéaire.
(Q 2) f(x, y) = (0,0,0) ⇔
x= 0
2x+y= 0
y= 0
⇔x=y= 0.
On en déduit que Ker(f) = {0}, qui est donc
de dimension nulle.
Si l’on note (e1, e2)la base canonique de R2,
alors Im(f) = Vect (f(e1), f (e2)) .Or, f(e1) =
(1,2,0) et f(e2) = (0,1,1), d’où
Im(f) = Vect ((1,2,0),(0,1,1)) .
Par ailleurs (1,2,0) et (0,1,1) sont clairement
non colinéaires donc forment une famille libre.
Elle est d’autre part génératrice de Im(f)d’après
ci-dessus. Bref, c’est une base de Im(f)ca qui
prouve que dim(Im(f)) = 2.
(Q 3) Nous avons bien : dim(Ker(f))+rg(f) = 2 =
dim(R2).
(Q 4) rg(f)6= dim(R3)donc fn’est pas un isomor-
phisme.
2. (Q 1) La linéarité de gse traite exactement de la
même façon que la linéarité de f.
(Q 2) g(x, y, z) = (0,0) ⇔x+z= 0
5x−2y+z= 0
Par conséquent : u= (x, y, z)∈Ker(g)⇔
u=z(−1,−2,1) ce qui prouve que Ker(g) = Vect((−1,−2,1)).
Toute famille consituée d’un vecteur non nulle
est libre donc (−1,−2,1) est libre et généra-
trice de Ker(g)ce qui prouve que : dim(Ker(g)) = 1.
Si l’on note (e1, e2, e3)une famille génératrice
de R3, alors : Im(g) = Vect(g(e1), g(e2), g(e3)).
Or, g(e1) = (1,5),g(e2) = (0,−2) et g(e3) =
(1,1). Par conséquent : Im(g) = Vect((1,5),(0,−2),(1,1)).
De plus, Vect((1,5),(0,−2)) ⊂Im(g), ce qui
prouve que dim(g)≥2en vertu de la liberté
de deux vecteurs non colinéaires. D’autre part,
Im(g)⊂R2donc dim(Im(g)) ≤2. Par double
inégalité, dim(Im(g)) = 2.
(Q 3) Nous avons bien : dim(Ker(g))+rg(g) = 3 =
dim(R3).
(Q 4) rg(R3)6= dim(R3)donc gn’est pas un iso-
morphisme.
Correction de l’exercice 3 :
(Q 1) u= (x, y, z)∈F⇔(f−Id)(x, y, z) = 0
⇔f(x, y, z)−(x, y, z) = (0,0,0)
⇔x+y+z= 0
⇔x=−y−z
⇔u=y(−1,1,0) + z(−1,0,1)
On en déduit : F= Vect((−1,1,0),(−1,0,1)). Par
ailleurs (−1,1,0) et (−1,0,1) sont non colinéaires
donc forment une famille libre. Ces derniers étant
générateurs par définition, on en déduit qu’ils forment
une base de F.
(Q 2) Démontrer que Fet Gsont supplémentaires.
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