Applications linéaires

Lycée Déodat de Séverac
Mathématiques PTSI
TD 23
Applications linéaires
Dans Rn
Exercice 1 :
[corrigé]
Pour chaque application suivante : f : R2 → R3 et g : R3 → R2 , f ◦ g et g ◦ f :
(Q 1) vérifier que ce sont des applications linéaires,
(Q 2) donner une base et la dimension de leur noyau et de leur image directe ;
(Q 3) vérifier le théorème du rang ;
(Q 4) dire si ce sont des isomorphismes.
∀(x; y; z) ∈ R3 ; f ((x, y)) = (x, 2x + y, y) ,
g ((x, y, z)) = (x + z, 5x − 2y + z) .
Exercice 2 : On note f : R3 → R2 et g : R2 → R3 les applications linéaires définies par :
f ((x, y, z)) = (2x + y + z, 2x + 3y + 2z) ,
g ((x, y)) = (x + y, 2x + 2y, x − y) .
Étudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f , g, g ◦ f .
Exercice 3 : Soit f l’endomorphisme de R3 défini par
f ((x; y; z)) = (2x + y + z; x + 2y + z; x + y + 2z)
et soit F = ker (f − Id), G = ker (f − 4Id).
(Q 1) Donner une base de F et de G.
(Q 2) Démontrer que F et G sont supplémentaires.
Exercice 4 : Soit λ un réel et f l’application linéaire définie par
f:
R3 → R3
(x; y; z) → (x + 2λy − z; 3x + λz; 6x + 2z).
Déterminer le rang de f en fonction de λ.
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Dans d’autres espaces vectoriels
Exercice 5 : Les applications suivantes sont-elles R-linéaires ? Dans l’affirmative déterminer leur noyau et
leur image puis si elles sont surjectives, injectives, des isomorphismes.
(Q 1) r :
C →
R
z 7→ Re(z)
(Q 2) q :
F(R, R) →
F(R, R)
;
f
7→ (x 7→ f (x) − f (1))
(Q 3) E est l’ensemble des suites convergentes.
E →
R
p:
(un ) 7→
lim un ;
n→+∞
Exercice 6 : Soit E un K-espace vectoriel et (e1 ; e2 ; e3 ) une base de E.
(Q 1) Démontrer qu’il existe un unique endomorphisme de E vérifiant f (e1 ) = 2e1 + 3e2 + e3 , f (e2 ) =
−4e2 − 2e3 , f (e3 ) = 4e1 + 12e2 + 5e3 .
(Q 2) Déterminer le noyau et l’image de f
(Q 3) Vérifier le théorème du rang pour f .
Exercice 7 :
(Q 1) Déterminer le rang de Φ :
K3 [X] → K4 [X]
P
→ X(P ′ − P ′ (0))
(Q 2) Quelle est alors la dimension du noyau ?
Exercice 8 : Soit Φ et Ψ les applications de R[X] dans lui-même définies par :
∀P ∈ R[X];
′
Φ(P ) = P ; Ψ(P ) =
Z
X
P (t)dt.
0
(Q 1) Démontrer que Φ et Ψ sont des endomorphismes.
(Q 2) Sont-ils injectifs ? surjectifs ?
(Q 3) Calculer Φ ◦ Ψ et Ψ ◦ Φ.
Exercice 9 : Soit n ∈ N. Montrer que l’application Ψ :
Kn [X] → Kn+1
est
P
7→ (P (0), P ′ (0), P ′′ (0), . . . , P (n) (0))
un isomorphisme.
Exercice 10 : Soit E = C ∞ (R; R). On note :
Φ:
E → E
f 7→ f ′′ − 4f ′ + 4f
(Q 1) Montrer que Φ est une application linéaire.
(Q 2) Donner une base de son noyau.
(Q 3) Pour tout n ∈ N, on note En l’ensemble des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n.
Démontrer que la restriction de φ à En est un isomorphisme.
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Dans des espaces quelconques.
Exercice 11 : Soit E un K espace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f 2 − 3f + 2IdE = 0L(E) .
(Q 1) Montrer que f est un isomorphisme en montrant qu’elle est injective et surjective.
(Q 2) En utilisant votre travail effectué sur la surjectivité, calculer son application réciproque en fonction
de f.
(Q 3) Établir que : ker(f − IdE ) ⊕ ker(f − 2IdE ) = E.
Exercice 12 : Soient f et g deux endomorphismes d’un K espace vectoriel E. Montrer que :
(Q 1)
(Q 2)
(Q 3)
(Q 4)
(Q 5) Im(f ) = Im(f 2 ) ⇔ Im(f ) + ker(f ) = E.
f ◦ g = 0L(E) ⇔ Im(g) ⊂ ker(f )
ker(f ) ⊂ ker(f 2 ).
(Q 6) ker(f ) ∩ ker(g) ⊂ ker(f + g).
Im(f 2 ) ⊂ Im(f ).
ker(f ) = ker(f 2 ) ⇔ Im(f ) ∩ ker(f ) = {0E }. (Q 7) Im(f + g) ⊂ Im(f ) + Im(g).
Exercice 13 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) tel que rg(f ) = rg(f 2 )
(Q 1) Démontrer que Imf = Imf 2 et ker f = ker f 2
(Q 2) Démontrer que Imf et ker f sont supplémentaires dans E.
Exercice 14 : Soit E un K-espace vectoriel. On dit qu’un endomorphisme f de E est nilpotent si il existe
n ∈ N tel que f n = 0.
1. Démontrer qu’un endomorphisme nilpotent non-nul n’est pas bijectif.
2. Calculer (IdE − f )(IdE + f + f 2 + ... + f p ) où p est un entier naturel.
3. En déduire que pour tout endomorphisme nilpotent f de E, (IdE − f ) est bijectif, puis (IdE − λf ) est
bijectif pour tout λ ∈ K.
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Les symétries et les projecteurs
Exercice 15 : On pose F = {(x, y, z)/x − y + 2z = 0} et G = Vect((−1, 2, 1)). Montrer que F et G sont
supplémentaires puis déterminer l’expression de la projection sur F parallèlement à G.
Exercice 16 : On pose F = (x, y, z) ∈ R3 /x + 2y − z = 0 et G = Vect (1, 0, −1) . Montrer que F et G
sont supplémentaires puis déterminer l’expression de la symétrie sur F parallèlement à G.
Exercice 17 : Identifier les applications suivantes (projecteurs ou symétries), puis déterminer leurs éléments caractéristiques :
R3
((x, y, z)
R4
(b) g :
(x, y, z, t)
(a) f :
(c) h :
→
7→
→
7→
R3
.
((3x + 4y + z, −2x − 3y − z, 2x + 4y + 2z))
R3
;
(y + z + t, x + z + t, −x + y − t, x − y − z)
M22 (R) → M
22 (R) −2 3
;
M 7→
M
−2 3
(d) o :
M22 (R) → M
22 (R) 3 −2
.
M 7→
M
4 −3
Exercice 18 : Soient p ∈ L(E) et F et G deux sous-espaces vectoriels de E . Montrer que si p est la projection
sur F et parallèlement à G, alors s = 2p − idE est la symétrie par rapport à F et parallèlement à G.
Exercice 19 : Pour P ∈ R4 [X], on pose f (P ) = (1 − X)P (0) + XP (1). Montrer que f est linéaire et
déterminer f ◦ f . Que peut-on en déduire ? Trouver les éléments caractéristiques de f .
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Indications et solutions du TD 23
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(Q 3) Nous avons bien : dim(Ker(g))+rg(g) = 3 =
dim(R3 ).
(Q 4) rg(R3 ) 6= dim(R3 ) donc g n’est pas un isomorphisme.
Indications
Correction de l’exercice 3 :
Correction de l’exercice 1 :
(Q 1)
1. (Q 1) Si l’on note : X1 = (x1 , y1 ) et X2 = (x2 , y2 )
alors : X1 +λX2 = (x1 +λx2 , y1 +λy2 ) donc :
f (X1 + λX2 ) = (x1 + λx2 , 2(x1 + λx2 ) + y1 +
λy2 , y1 + λy2 ).
Or, (x1 + λx2 , 2(x1 + λx2 ) + y1 + λy2 , y1 +
λy2 ) = (x1 , 2x1 +y1 , y1 )+λ(x2 , 2x2 +y2 , y2 ) =
f (x1 , y1 ) + λf (x2 , y2 ).
Au final, quels que soient X1 , X2 et λ, f (X1 +
λX2 ) = f (X1 ) + λf (X2 ) donc f est linéaire.

 x=0
2x + y = 0
(Q 2) f (x, y) = (0, 0, 0) ⇔

y=0
⇔ x = y = 0.
u = (x, y, z) ∈ F
⇔ (f − Id)(x, y, z) = 0
⇔ f (x, y, z) − (x, y, z) = (0, 0, 0)
⇔ x+y+z = 0
⇔ x = −y − z
⇔ u = y(−1, 1, 0) + z(−1, 0, 1)
On en déduit : F = Vect((−1, 1, 0), (−1, 0, 1)). Par
ailleurs (−1, 1, 0) et (−1, 0, 1) sont non colinéaires
donc forment une famille libre. Ces derniers étant
générateurs par définition, on en déduit qu’ils forment
une base de F .
(Q 2) Démontrer que F et G sont supplémentaires.
On en déduit que Ker(f ) = {0} , qui est donc
de dimension nulle.
Si l’on note (e1 , e2 ) la base canonique de R2 ,
alors Im(f ) = Vect (f (e1 ), f (e2 )) . Or, f (e1 ) =
(1, 2, 0) et f (e2 ) = (0, 1, 1), d’où
Im(f ) = Vect ((1, 2, 0), (0, 1, 1)) .
Par ailleurs (1, 2, 0) et (0, 1, 1) sont clairement
non colinéaires donc forment une famille libre.
Elle est d’autre part génératrice de Im(f ) d’après
ci-dessus. Bref, c’est une base de Im(f ) ca qui
prouve que dim(Im(f )) = 2.
(Q 3) Nous avons bien : dim(Ker(f ))+rg(f ) = 2 =
dim(R2 ).
(Q 4) rg(f ) 6= dim(R3 ) donc f n’est pas un isomorphisme.
2. (Q 1) La linéarité de g se traite exactement de la
même façon que la linéarité de f .
x+z =0
(Q 2) g(x, y, z) = (0, 0) ⇔
5x − 2y + z = 0
Par conséquent : u = (x, y, z) ∈ Ker(g) ⇔
u = z(−1, −2, 1) ce qui prouve que Ker(g) = Vect((−1, −2, 1)).
Toute famille consituée d’un vecteur non nulle
est libre donc (−1, −2, 1) est libre et génératrice de Ker(g) ce qui prouve que : dim(Ker(g)) = 1.
Si l’on note (e1 , e2 , e3 ) une famille génératrice
de R3 , alors : Im(g) = Vect(g(e1 ), g(e2 ), g(e3 )).
Or, g(e1 ) = (1, 5), g(e2 ) = (0, −2) et g(e3 ) =
(1, 1). Par conséquent : Im(g) = Vect((1, 5), (0, −2), (1, 1)).
De plus, Vect((1, 5), (0, −2)) ⊂ Im(g), ce qui
prouve que dim(g) ≥ 2 en vertu de la liberté
de deux vecteurs non colinéaires. D’autre part,
Im(g) ⊂ R2 donc dim(Im(g)) ≤ 2. Par double
inégalité, dim(Im(g)) = 2.
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