Indications de correction pour le DM sur l`irréductibilité

Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Indications de correction pour le DM sur l’irréductibilité
Références
[Per96] Daniel Perrin :Cours d’algèbre. Ellipses, 1996.
1 Irréductibilité vs racines
Exercice 1.1 - Irréductibilité vs racines dans k.
1. Soit P∈k[X]irréductible et qui admet a∈kpour racine. Alors X−a|Pet il existe donc Q∈k[X]tel
que P= (X−a)Q. Par irréductibilité de P, nécessairement Q∈k∗et Pest de la forme λ(X−a)avec
λ∈k∗. La réciproque est claire. Ainsi les polynômes irréductibles de k[X]qui ont une racine dans ksont
les polynômes de degré 1.
2. Si Pest irréductible et de degré 2 ou 3, alors Pne peut pas avoir de facteur linéaire et il n’a donc pas de
racine dans k. Réciproquement, en contraposant, si Pest réductible et de degré 2 ou 3, alors, pour une
factorisation P=QR non triviale, Qou Rest de degré 1 et Pa une racine dans k.
3. X4+ 1 est sans racine dans R, mais se factorise en (X2−√2X+ 1)(X2+√2X+ 1).
Exercice 1.2 - Racines rationnelles.
1. P(p/q)=0équivaut à anpn+an−1pn−1q+··· +a1pqn−1+a0qn= 0, ainsi p|a0qnet q|anpn, or
pgcd(p, q)=1, on conclut donc en vertu du lemme de Gauß.
2. D’après la question précédente, les éventuelles racines rationnelles de P=X3−X2+ 2X+ 5 appar-
tiennent à l’ensemble {±1,±5}, or P(±1) 6= 0 et P(±5) 6= 0. Ainsi Pn’a pas de racine rationnelle
et, étant de degré 3, il est irréductible sur Q.
Exercice 1.4 - Irréductibilité vs racines dans les extensions de k.
1. Si Pest irréductible, soit Kune extension de kcontenant une racine ade P, alors [K:k]>[k[a] : k] =
deg πa,k =n. Réciproquement, en contraposant, si Pest réductible il admet un facteur irréductible Qde
degré inférieur à n/2. P admet alors une racine dans un corps de rupture de Q,i.e. dans une extension
de kde degré inférieur à n/2.
2. D’après la question précédente P=X4+X+1 est irréductible sur F2si et seulement s’il n’a pas de racine
dans les extensions de F2de degré inférieur à 2. Or, à isomorphisme près, F2a une unique extension de
degré 2, à savoir F4=F2[j] = F2[X]/(X2+X+1) = {0,1, j, j + 1}, et P(0) = P(1) = P(j) = P(j+1) = 1.
Ainsi Pn’a pas de racine dans F4et est donc irréductible sur F2.
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Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
2 Irréductibilité sur les anneaux factoriels
Exercice 2.2 - Démonstration de la proposition 2.1.
1. [Per96, Proposition II.4.4 p. 51].
2. Ibidem.
3. Le polynôme 2Xest irréductible sur Qmais pas sur Z. En effet il n’est pas primitif, puisque de contenu
égal à 2, et 2et Xsont deux irréductibles de Z[X].
Exercice 2.5 - Démonstration de la proposition 2.4. Démonstration de [Per96, Th. III.3.2 p. 76].
Exercice 2.6 - Applications.
1. P=Xp−1+···+X+ 1 étant unitaire donc primitif, il est irréductible sur Zsi et seulement s’il l’est sur
Q. En outre,
P(Y+ 1) = (Y+ 1)p−1
(Y+ 1) −1=
p
X
i=1 p
iYi−1
et p-p
p= 1,p|p i, pour 16i6p−1, et p2-p 1=p. Ainsi, en vertu du critère d’Eisenstein appliqué
avec l’élément premier pde l’anneau factoriel Z,P(Y+ 1) et donc Psont irréductibles sur Q.
2. Xest un irréductible de l’anneau factoriel k[X](kest un corps) et X-1,X|X(X−1)(X−λ)et
X2-X(X−1)(X−λ), ainsi P=Y2−X(X−1)(X−λ)est irréductible dans k(X)[Y], en vertu du critère
d’Eisenstein. En outre, Pest unitaire donc primitif, ainsi il est irréductible dans k[X][Y]'k[X, Y ].
Exercice 2.8 - Démonstration de la proposition 2.7. Démonstration de [Per96, Th. III.3.5 p. 77].
Exercice 2.9 - Applications.
1. P=X3+ 82X2+ 37X−15 = X3+X+ 1 mod 2 est de degré 3 et sans racine dans F2, il est donc
irréductible sur F2. Ainsi, en vertu du critère de réduction appliqué avec l’idéal premier (2) de l’anneau
factoriel Z,Pest irréductible sur Qet donc sur Z, puisqu’il est primitif.
2. L’idéal (Y)est premier dans l’anneau factoriel R[Y]et P=X2+Y2+ 1 = X2+ 1 mod (Y)est de degré
2 et sans racine dans R'R[Y]/(Y), donc irréductible sur R. Ainsi, en vertu du critère de réduction, P
est irréductible dans R(Y)[X]et donc dans R[X, Y ]'R[Y][X], puisque primitif.
3. Naturellement P=X5+X2+X+2 n’est pas irréductible modulo 2, puisque P=X(X4+X+ 1) mod 2.
En revanche, X4+X+ 1 est irréductible sur F2(sans racine dans F4). Ainsi si Pest réductible sur Z, il
a nécessairement une racine dans Z, ce qui est exclu, puisque Pn’a pas de racine dans {±1,±2}.
Exercice 2.11 - Limite du critère de réduction.
1. Pour P=X4+ 1,P(Y+ 1) = Y4+ 4Y3+ 6Y2+ 4Y+ 2, ainsi P(Y+ 1) est irréductible sur Q, en vertu
du critère d’Eisenstein appliqué avec le premier 2 de l’anneau factoriel Z. Il en va alors de même pour P.
2. (a) Sur F2, on a X4+ 1 = (X+ 1)4.
(b) xvérifie x8= 1 et x4=−1, ainsi xest d’ordre 8 dans K∗.
(c) p2−1=(p−1)(p+ 1) est le produit de deux nombres pairs consécutifs, dont l’un est donc divisible
par 4.
(d) D’après la question 1 de l’exercice 1.4, il suffit, pour établir la réductibilité de X4+ 1 sur Fp, de
montrer que X4+ 1 admet une racine dans Fp2, autrement dit qu’il existe des éléments d’ordre 8
dans F∗
p2. Or c’est le cas, puisque F∗ p2est un groupe cyclique d’ordre p2−1qui est un multiple de 8.
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