Nouveau matrices - UFR de Mathématiques et Informatique

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Université René Descartes
UFR Mathématiques et Informatique
2004-2005
Licence 1ère année, module MC1
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Fiche de TD n°9 : Matrices .
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 10
A=  1
1

3
4
2

3
− 1 3 ,
0
1 2 3 4 5
0

0 1 2 3 1
B=  1
1 1 1 1 1 .

Dans les expressions suivantes , éliminez celles qui sont
incorrectes et calculez celles qui sont correctes : A+ B , AB, BA, B+AB, A+AB.
2 Y= (a, b, c) . Calculer tYY et Y tY.
0
3 A = 0

1
0
0
0
0
 B=  1

0
1
 C=  0

0
 . Calculer A², B², AB, BA, (A+B)², A² +2AB +B² , AC,CA , BC,CB.
4 VRAI ou FAUX ?
(a) On peut toujours calculer la somme de deux matrices.
(b) On peut toujours calculer le carré d’une matrice.
(c)Si on peut calculer les produits AB et BC alors on peut calculer le produit AC
(d)Si on peut calculer les produits AB et BC alors on peut calculer le produit ABC
(e) Si Si AB = 0n alors BA= 0n (f) Si AB = 0n alors A= 0n ou B = 0n .
(g) Si A² = In alors A = In ou A= - In (h) Si AB = In alors BA= In .
(i) Si AB =BA et AC = CA alors (B+C)A= A(B+C) (j) Si AB =BA et AC = CA alors BCA = ABC
(k) Si AB = 0n alors (A+B)² = A² +B² (l) AB +BA= 0 si et seulement si (A+B ) ² = A² +B²
_
5
Vérifier que f : z a z est un endomorphisme de C considéré comme espace vectoriel sur R. Donner la
matrice F de f dans la base (1, i) puis sa matrice G dans la base (i, j). Calculer H² et G², pouvait-on prévoir
les résultats de ces deux calculs ?
6 Pour tout réel θ on pose R(θ) =  cosθ − sinθ  . Comparer R(θ1 +θ 2 ) et R(θ1 )R( θ2 ).
 sinθ
cosθ

Calculer R(θ)R(-θ), en déduire que R(θ) est inversible. Donner une interprétation géométrique de R(θ).
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1)Soit T un projecteur de E, c’est à dire un endomorphisme de E tel que ToT =T.
1.1 Ecrire x = T(x) + (x-T(x) et en déduire que E = IMT
⊕ IM(idE –T)
1.2 On suppose E de dimension finie n ≥ 2 et IMT de dimension p avec 1 ≤ p ≤ n-1. Soit A =(a1, …,an )
où les p premiers des ak constituent une base de IMT et où les n-p suivants des ak constituent une base de
IM(idE –T). Expliquer pourquoi A est une base de E. Donner la matrice de T dans la base A .
2) Soit Π le plan affine sur lequel on considère deux droites D et ∆ sécantes en O. Soit l’espace vectoriel
→
→
V= { OM ; M ∈ Π }. Soit l’application p qui pour tout point M de Π associe au vecteur OM le vecteur
→
ON où N est la projection de M sur D parallèlement à ∆ . Vérifier que p est un projecteur de V. Donner une
interprétation géométrique de q= idV-p . Déterminer une base de E dans laquelle p et q possèdent de bien
agréables matrices.
8 Soit l’application linéaire de R² dans R² f : (x ,y) a (2x+y,2y).
1)Donner la matrice A de f dans la base canonique .
2)Résoudre le système (2x+y = a , 2y=b) . En déduire que A est inversible et donner son inverse.
n
3) Soit N = A-2I2 . Calculer N² , en déduire A pour tout entier n positif ou nul.
n
4) La formule obtenue pour A reste-elle valable lorsque n est négatif ?
2
5)Déterminer les suites (xn) et (yn) satisfaisant aux relations xn+1 = 2 xn + yn et yn+1= 2 yn et aux
conditions initiales x0 = a , y0 = b.
 5 6

5 
9 A =  4

1) Vérifier que A est inversible et calculer son inverse.
2)Vérifier que g : M a AM est un endomorphisme de M2 (R) et donner sa matrice L dans la base
canonique de M2 (R).
3)Soit g’ : M a A-1 M. Donner la matrice L’ de g’ dans la base canonique de M2 (R).
4)Calculer g’o g en déduire que L et L’ sont inversibles et donner leurs inverses respectives.
3
10 (e1, e2, e3 ) désigne la base canonique de R et (ε1, ε 2 ) la base canonique de R². On pose :
a1 = e1, a2 = e1 +e2 , a3 = e1 +e2 + e3; α1 = ε1 +ε 2 , α2 = ε1 - ε 2 .
On considère f : R3 → R² , (x ,y, z) a f(x, y, z) = (x+2y +3z, x+y+z).
1) Vérifier que (a1, a2, a3 ) et (α1, α2 ) sont des bases de leurs espaces respectifs.
2) Déterminer les matrices suivantes :Mat{f ; (e1, e2, e3 ), (ε1, ε 2 )}, Mat{f ; (e1, e2, e3 ), (α1, α 2 )},
Mat{f ; (a1, a2, a3 ), (ε1, ε 2 )}, Mat{f ; (a1, a2, a3 ), (α1, α 2 )}.
3) Quel est le rang de f ? quel est le rang de chacune des matrices de la question précédente.
11 La base canonique (1,X,X²…. X n ) de Rn[X] est notée A .
1) Vérifier que B =(1,X+1, (X+1)²,…., (X+1) n ) est une base de Rn[X].
2)Soit P= (pij ) la matrice de passage de la base A à la base B, calculer les coefficients pij .
-1
3)Quelle relation P entretient-elle avec la matrice de passage Q de B à A . Déterminer Q , en déduire P .
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Soit sur R3[X] l’endomorphisme f : P(X) a P(X)-P(X-1).
1)Vérifier que f est bien un endomorphisme de R3[X].
2)Donner la matrice A de f dans la base canonique de R3[X] .
3)Vérifier que (1, X, X(X+1),X(X+1)(X+2) ) est une base de R3[X]
4)Déterminer la matrice B de f dans cette nouvelle base par un calcul direct des images de ses éléments.
5)Retrouver B en usant de matrices de passages.
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 5 1
 , Q =
1 5
A = 
 1 1

 .
 − 1 1
n
n
Calculer Q-1 . Calculer D = Q-1 AQ . Calculer D pour tout entier positif n . En déduire A .
a
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On pose M(a,b,c) =  c
b

b c
a b  et

c a
on considère E= {M(a,b,c) ; (a,b, c) ∈ R3}
1)Montrer qu’il existe un unique couple (U,V ) de matrices tel que pour tout (a,b,c) on ait
M(a,b,c) = aI3 +bU+cV. E est-il un Rev ? Si oui quelle est sa dimension ?
2)Vérifier que V = U² et que U3 = I3 ,en déduire que le produit de deux éléments de E est encore dans E.
3)Soit u l’endomorphisme de C3 admettant U pour matrice dans la base canonique, déterminer la matrice
de u dans la base A = ((1,1,1),(1,j,j²),(1,j²,j)) par un calcul direct n’usant pas de la matrice de passage.
4)Soit maintenant P la matrice de passage de la base canonique à la base A , déterminer P-1 M(a,b,c) P
toujours sans avoir à calculer ni P ni P-1 .
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VRAI ou FAUX ?
(a) Si deux matrices carrées nxn sont semblables alors elles ont le même rang.
(b) Si deux matrices carrées nxn ont le même rang alors elles sont semblables.
(c) Si A est semblable à B et B semblable à C alors A est semblable à C.
(d) Si A est semblable à C et B semblable à D alors AB est semblable à CD.
(e) Si deux matrices carrées nxn ont la même trace alors elles sont semblables.
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 1 2 117 
 11 2 117 




A= 3 11 21 , B= 3 10 21 A et B sont-elles semblables ?


 47 52 81 


 47 52 70 
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