Nouveau matrices - UFR de Mathématiques et Informatique

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Université René Descartes
UFR Mathématiques et Informatique
2004-2005 Licence 1
ère
année, module
MC1
__________________________________________________________________________________
Fiche de TD n°9 : Matrices .
A= −
321
311
4310
, B=
132
111
543
100
111
210
. Dans les expressions suivantes , éliminez celles qui sont
incorrectes et calculez celles qui sont correctes : A+ B , AB, BA, B+AB, A+AB.
Y= ( a, b, c ) . Calculer
t
YY et Y
t
Y.
A =
00
10
B =
01
00
C =
00
01
.
Calculer A
²
, B
²
, AB, BA, (A+B)
²
, A
²
+2AB +B
²
, AC,CA , BC,CB.
VRAI ou FAUX ?
(a) On peut toujours calculer la somme de deux matrices.
(b) On peut toujours calculer le carré d’une matrice.
(c)Si on peut calculer les produits AB et BC alors on peut calculer le produit AC
(d)Si on peut calculer les produits AB et BC alors on peut calculer le produit ABC
(e) Si Si AB = 0
n
alors BA= 0
n
(f) Si AB = 0
n
alors A= 0
n
ou B = 0
n
.
(g) Si A² = I
n
alors A = I
n
ou A= - I
n
(h) Si AB = I
n
alors BA= I
n
.
(i) Si AB =BA et AC = CA alors (B+C)A= A(B+C) (j) Si AB =BA et AC = CA alors BCA = ABC
(k) Si AB = 0
n
alors (A+B)² = A² +B² (l) AB +BA= 0 si et seulement si (A+B ) ² = A² +B²
Vérifier que f : z
a
_
z
est un endomorphisme de C considéré comme espace vectoriel sur R. Donner la
matrice F de f dans la base (1, i) puis sa matrice G dans la base (i, j). Calculer H² et G², pouvait-on prévoir
les résultats de ces deux calculs ?
Pour tout réel θ on pose R(θ)
=
−
cosθsinθ
sinθcosθ
. Comparer R(θ
1
+θ
2
) et R(θ
1
)R( θ
2
).
Calculer R(θ)R(-θ), en déduire que R(θ) est inversible. Donner une interprétation géométrique de R(θ).
1)Soit T un projecteur de E, c’est à dire un endomorphisme de E tel que ToT =T.
1.1 Ecrire x = T(x) + (x-T(x) et en déduire que E = IMT
⊕
IM(id
E
–T)
1.2 On suppose E de dimension finie n
≥
2 et IMT de dimension p avec 1
≤
p
≤
n-1. Soit A =(
a
1
, …,a
n
)
où les p premiers des a
k
constituent une base de IMT et où les n-p suivants des a
k
constituent une base de
IM(id
E
–T). Expliquer pourquoi A est une base de E. Donner la matrice de T dans la base A .
2) Soit Π le plan affine sur lequel on considère deux droites D et ∆ sécantes en O. Soit l’espace vectoriel
V= {
→
OM ; M
∈
Π }. Soit l’application p qui pour tout point M de Π associe au vecteur
→
OM le vecteur
→
ON où N est la projection de M sur D parallèlement à ∆ . Vérifier que p est un projecteur de V. Donner une
interprétation géométrique de q= id
V
-p . Déterminer une base de E dans laquelle p et q possèdent de bien
agréables matrices.
Soit l’application linéaire de R² dans R² f : (x ,y)
a
(2x+y,2y).
1)Donner la matrice A de f dans la base canonique .
2)Résoudre le système (2x+y = a , 2y=b) . En déduire que A est inversible et donner son inverse.
3) Soit N = A-2I
2
. Calculer N² , en déduire A
n
pour tout entier n positif ou nul.
4) La formule obtenue pour A
n
reste-elle valable lorsque n est négatif ?
1
2
3
4
5
6
7
8

2
5) Déterminer les suites (x
n
) et (y
n
) satisfaisant aux relations x
n+1
= 2 x
n
+ y
n
et y
n+1
= 2 y
n
et aux
conditions initiales x
0
= a , y
0
= b.
A =
54
65
1) Vérifier que A est inversible et calculer son inverse.
2)Vérifier que g : M
a
AM est un endomorphisme de M
2
(R) et donner sa matrice L dans la base
canonique de M
2
(R).
3)Soit g’ : M
a
A
-1
M. Donner la matrice L’ de g’ dans la base canonique de M
2
(R).
4)Calculer g’o g en déduire que L et L’ sont inversibles et donner leurs inverses respectives.
(e
1
, e
2
, e
3
) désigne la base canonique de R
3
et (ε
1
, ε
2
) la base canonique de R². On pose :
a
1
= e
1
, a
2
= e
1
+e
2
, a
3
= e
1
+e
2
+ e
3
; α
1
= ε
1
+ε
2
, α
2
= ε
1
- ε
2
.
On considère f :
R
3
→
R²
, (x ,y, z)
a
f(x, y, z) = (x+2y +3z, x+y+z).
1) Vérifier que (
a
1
, a
2
, a
3
) et
(
α
1
,
α
2
)
sont des bases de leurs espaces respectifs.
2) Déterminer les matrices suivantes :Mat{f ; (e
1
, e
2
, e
3
), (ε
1
, ε
2
)}, Mat{f ; (e
1
, e
2
, e
3
), (α
1
, α
2
)},
Mat{f ; (a
1
, a
2
, a
3
), (ε
1
, ε
2
)}, Mat{f ; (a
1
, a
2
, a
3
), (α
1
, α
2
)}.
3) Quel est le rang de f ? quel est le rang de chacune des matrices de la question précédente.
La base canonique (1,X,X²…. X
n
) de R
n
[X] est notée A .
1) Vérifier que B =(1,X+1, (X+1)²,…., (X+1)
n
) est une base de R
n
[X].
2)Soit P= (p
ij
) la matrice de passage de la base A à la base B, calculer les coefficients p
ij
.
3)Quelle relation P entretient-elle avec la matrice de passage Q de B
à A . Déterminer Q , en déduire P
-1
.
Soit sur R
3
[X] l’endomorphisme f : P(X)
a
P(X)-P(X-1).
1)Vérifier que f est bien un endomorphisme de R
3
[X] .
2)Donner la matrice A de f dans la base canonique de R
3
[X] .
3)Vérifier que (1, X, X(X+1),X(X+1)(X+2) ) est une base de R
3
[X]
4)Déterminer la matrice B de f dans cette nouvelle base par un calcul direct des images de ses éléments.
5)Retrouver B en usant de matrices de passages.
A =
51
15
, Q =
−11
11
.
Calculer Q
-1
. Calculer D = Q
-1
AQ . Calculer D
n
pour tout entier positif n . En déduire A
n
.
On pose M(a,b,c) = 
acb
bac
cba
et on considère E= {M( a,b,c ) ; ( a,b, c )
∈
R
3
}
1)Montrer qu’il existe un unique couple (U,V ) de matrices tel que pour tout (a,b,c) on ait
M(a,b,c) = aI
3
+bU+cV. E est-il un Rev ? Si oui quelle est sa dimension ?
2)Vérifier que V = U² et que U
3
= I
3
,en déduire que le produit de deux éléments de E est encore dans E.
3)Soit u l’endomorphisme de C
3
admettant U pour matrice dans la base canonique, déterminer la matrice
de u dans la base A = ((1,1,1),(1,j,j²),(1,j²,j)) par un calcul direct n’usant pas de la matrice de passage.
4)Soit maintenant P la matrice de passage de la base canonique à la base A , déterminer P
-1
M(a,b,c) P
toujours sans avoir à calculer ni P ni P
-1
.
VRAI ou FAUX ?
(a) Si deux matrices carrées nxn sont semblables alors elles ont le même rang.
(b) Si deux matrices carrées nxn ont le même rang alors elles sont semblables.
(c) Si A est semblable à B et B semblable à C alors A est semblable à C.
(d) Si A est semblable à C et B semblable à D alors AB est semblable à CD.
(e) Si deux matrices carrées nxn ont la même trace alors elles sont semblables.
A=
815247
21113
11721
, B=
705247
21103
117211
A et B sont-elles semblables ?
9
10
11
12
13
14
15
16

3