Cours d`algèbre, ECS deuxième année

Cours d’algèbre, ECS deuxième année
Alain TROESCH
26 septembre 2012

Table des matières
1 Rappels et compléments d’algèbre linéaire 3
1.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Somme, somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Dimension, liberté et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Dimension de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Écriture d’une AL dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.3 Cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.4 Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Réduction des endomorphismes : rappels et compléments 15
2.1 Diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Etude des sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4 Critères de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.5 Polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.6 Méthode de diagonalisation (Bilan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Diagonalisation des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Principes et critères de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Cas des matrices 2×2.............................. 20

2 Table des matières
2.2.4 Une application : suites définies par une récurrence linéaire . . . . . . . . . 20
3 Produits scalaires 21
3.1 Formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Représentation matricielle d’une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.4 Formes bilinéaires symétriques, définies, positives . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 Normes euclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Orthogonalité 27
4.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Projetés orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Orthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Espaces euclidiens 33
5.1 Familles orthogonales dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.1 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.2 Coordonnées dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.3 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.1 Rappels sur les projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.2 Distance d’un point à un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.3 Problème des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Formes quadratiques 39
6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique . . . . . . . . . . . . 40
6.3 CNS pour les caractères définis et positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Algèbre – Chapitre 1
Rappels et compléments d’algèbre
linéaire
L’algèbre linéaire doit son essor aux travaux de Grassmann, développés initialement dans le but
d’étudier les marées vers 1840. Ces travaux, dans lesquels il introduit les premières ébauches de la
notion d’espace vectoriel, et des outils calculatoires associés (produit scalaire, produit vectoriel...)
ne seront reconnus par les mathématiciens que très tardivement. Ce n’est que vers 1870 qu’on se
rend compte de l’importance de ces notions.
1.1 Espace vectoriel
1.1.1 Définitions et propriétés élémentaires
Dans tout ce qui suit, K=Rou C.
Définition 1.1.1 (Espace vectoriel)
Soit Eun ensemble. On dit que Eest un espace vectoriel sur Ksi Eest muni de deux lois :
•une loi interne + : E×E−→ Equi à (x, y)associe x+y;
•une loi externe ·:K×E−→ Equi à (λ, y)associe λ·y;
telles que pour tous α1, α2, λ, µ dans K, tous x, x1, x2, x3dans E:
(i) (x1+x2) + x3=x1+ (x2+x3)(associativité de +) ;
(ii) il existe un élément neutre 0 = 0Epour +, vérifiant : ∀y∈E, 0 + y=y+ 0 = y;
(iii) il existe un opposé −xde x, vérifiant : x+ (−x) = (−x) + x= 0 ;
(iv) x1+x2=x2+x1(commutativité de +) ;
(v) (λµ)x=λ(µx)(associativité de ·) ;
(vi) 1·x=x(compatibilité du neutre multiplicatif de K) ;
(vii) λ(x1+x2) = λx1+λx2(distributivité de ·sur la loi interne) ;
(viii) (λ+µ)x=λx +µx (distributivité de ·sur la somme de K).
Propriétés 1.1.2 Soit Eun K-ev. Pour tout x∈E:
1. 0·x= 0, c’est-à-dire 0K·x= 0E;