TD 3 Loi de variables aléatoires discrètes

L2 MIASHS 51EE07MT Université Paris Diderot
Probabilités & Statistiques 2016 - 2017
TD 3 Loi de variables aléatoires discrètes
Sauf mention explicite, l’espace probabilisé sous-jacent est noté de façon générique (Ω,A,P).
Exercice 1. Soit (A,B,C)∈A3un triplet d’événements tels que
P(A)=1
2,P(B)=P(C)=5 12
P(A∩B)=P(B∩C)=4
12 ,P(A∩C)=3 12 et P(A∩B∩C)=3 12 .
Déterminer la loi sous Pde X=1A+1B+1C.
Exercice 2. Soient (A,B)∈A2un couple P-indépendant d’événemements tel que P(A)=P(B). Déterminer les lois
sous Pdes variables aléatoires Y=1A−1Bet Z=1A1B.
Exercice 3. Soit Xune variable aléatoire de loi Bin(8, 3
4) sous P. Calculer P({XÊ4}) et la fonction de répartition de X.
Exercice 4. Le nombre Xde livres achetés par un client qui entre dans une librairie dépend du hasard et satisfait :
P({0 ÉXÉ1}) =8
12 ,P({1 ÉXÉ2}) =7 12 ,P({0 ÉX<3}) =10 12 ,P({X=3}) =P({XÊ4}).
Calculer P({X=i}) pour i∈{0,1,2,3}.
Exercice 5. Soient (k,n)∈N2tel que kÉn. Un sac contient njetons numérotés de 1 à n. On en tire ksimultanément.
Si Xdésigne le numéro minimal obtenu, déterminer sa loi.
Exercice 6. Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On fait deux tirages indépendants avec remise. Si X
représente le plus grand numéro obtenu sur les deux boules tirées, chercher la loi de Xsous P. On refait l’expérience,
les deux tirages étant maintenant sans replacement. Quelle est la loi de Xsous P?
Exercice 7. Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N∗de loi géométrique de paramètre p. Déterminer les lois
sous Pde U=X2,V=X+3 et Y=inf{X,M}, où M∈N∗.
Exercice 8. On dispose de 5 dés distinguables que l’on lance ensemble. Lorsqu’un dé tombe sur un as, on l’élimine.
Chercher la probabilité pour qu’à l’instant n∈N∗, tous les dés sont éliminés.
Exercice 9. Soient p∈]0,1[et r∈N∗. On joue à pile ou face avec une pièce ayant une probabilité pde tomber sur Pile
et 1 −pde tomber sur Face. Les tirages sont indépendants. On note Xla variable aléatoire représentant le nombre de
tirages nécessaires pour obtenir r Pile.
Déterminer la loi de Xsous P, aussi appelée la loi Binomiale négative de paramètre (r,p). Justifier l’adjectif néga-
tive. En utilisant une variable aléatoire de loi binomiale de paramètre (n,p), montrer que
∞
X
s>nÃs−1
r−1!pr(1 −p)s−r=
r−1
X
i=0Ãn
i!pi(1 −p)n−i
Exercice 10. Calculer les espérances et les variances des lois classiques suivantes :
1. loi uniforme UNsur N∗
Noù N∈N∗,
2. loi de Dirac δaen a∈Rd
3. loi de Bernoulli bpde paramètre p∈]0,1[,
4. loi binômiale Bin(n,p) où (n,p)∈N×[0,1],
5. loi multinômiale Mult(n,a) de paramètre n∈Net a∈[0,1]mtel que P1|eq j Émaj=1
6. loi hypergéométrique H(n,N) de paramètres n∈Net N=(Nj)1ÉjÉm∈Nmavec nÉP1ÉjÉmNj
7. loi de Poisson(θ) de paramètre θ∈R∗
+
8. loi géométrique G(a) de paramètre a∈[0,1]
9. loi binômiale négative (ou loi de Pascal) de paramètre (n,p) où (n,p)∈N×[0,1]
10. loi de Zipf (ou de Pareto discrète) Zsde paramètre s∈]1,+∞[.
Exercice 11. Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que :
EP(X)=X
n∈N∗
P({XÊn}) =X
n∈N
P({X>n}).
Application : calculer l’espérance d’une variable aléatoire de loi géométrique.
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Exercice 12. Soit p∈]0,1[.Nest muni de la σ-algèbre P(N) et l’on note Pla mesure de probabilités sur P(N) telle que
P({n}) =(1 −p)pnpour tout n∈N. Pour tout n∈Non note Q(n) et R(n) respectivement le quotient et le reste dans la
division de npar 3. Déterminer les lois sous Pdes variables aléatoires Qet R.
Exercice 13. Soit Xune v.a.r. dont la loi sous Pest la loi de Poisson de paramètre λ∈R∗
+. Déterminer la loi de Zsous
Pet calculer sa P-moyenne lorsque Z=X! (resp. Z=(1 +X)−1).
Exercice 14. Soit n∈N∗. Déterminer la loi sous Pd’une variable aléatoire Xà valeurs dans N∗
nsi P({X=i}) est pro-
portionnel à ipour tout i∈N∗
n.
Exercice 15. Un jeu consiste à lancer une pièce jusqu’à obtenir Pile, la probabilité d’obtenir Pile étant notée p∈]0,1[,
et, si k∈N∗désigne le nombre de lancers nécessaires, à lancer ensuite kfois un dé équilibré. La partie est gagnante
si exactement un 6a été obtenu. Calculer la probabilité de gagner à ce jeu. Comment truquer la pièce pour avoir le
maximum de chances de gagner?
Indication : on pourra introduire les variables aléatoires Xi,Yj,Snet Ttelles que Xiest le résultat du i-ème lancer de
pièce à valeurs dans {0,1}, Yjest le résultat du j-ème lancer de dé à valeurs dans N∗
6,Snest le nombre de 6 obtenus
après nlancers du dé et T=inf{n∈N∗|Xn=1}.
Exercice 16. Un joueur joue à Pile ou Face contre une banque avec une pièce ayant une probabilité p∈]0,1[de tomber
sur Pile. La règle du jeu est la suivante : le joueur mise une somme aau départ et tant que la pièce tombe sur Face, il
perd et mise de nouveau λfois la mise précédente; quand la pièce tombe sur Pile, il gagne λfois la mise précédente
et s’arrête.
Quelle est la mise au kecoup? Quelle est la somme sur le tapis au kecoup? Calculer l’espérance du gain. Comment
choisir les paramètres pet λpour que le gain moyen soit positif?
Exercice 17. Dans un jeu de Pile ou Face, où les lancers sont supposés indépendants et la pièce possède la probabilité
p∈]0,1[de tomber sur Pile, on s’intéresse aux deux variables aléatoires suivantes : T1le nombre de lancers nécessaires
pour obtenir une fois Pile et T2le nombre de lancers nécessaires pour obtenir deux fois Pile.
1. Quelle est la loi de T1? Quelle est celle de T2?
2. Calculer P({T1=k,T2=h}) et P({T2=h|T1=k}) pour tout couple (h,k)∈N∗2.
Les variables T1et T2sont-elles indépendantes?
3. Calculer P({T2−T1=h}|{T1=k}) et P({T2−T1=h}) pour tout couple (h,k)∈N∗2.
Les v.a. T2−T1et T1sont-elles indépendantes?
Exercice 18. Soit r∈N∗. Un trousseau contenant rclés ne comprend qu’une seule clé pouvant ouvrir une porte
donnée. Une personne tente d’ouvrir cette porte en essayant tour à tour les diverses clés du trousseau jusqu’à ce
qu’elle tombe sur la bonne. On note Xle nombre d’essais nécessaires pour ouvrir la porte. Déterminer la loi de X
dans les cas suivants :
1. La personne n’essaie jamais d’ouvrir avec une clé qu’elle a déjà essayée en vain ;
2. La personne n’a pas de mémoire et ne tient jamais compte des essais précédents ;
3. La personne n’a qu’une mémoire limitée et fait chaque essai avec n’importe quelle clé autre que celle qu’elle
vient d’essayer immédiatement en vain.
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