variables aléatoires, lois classiques

UNIVERSITÉ PAUL VERLAINE – METZ DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
L2 Mathématiques Probabilités et statistiques 2007/2008
Feuille no. 2 Ph. Bonneau
VARIABLES ALÉATOIRES,LOIS
Exercice I
Dans chacun des cas suivants, donner la loi de probabilités de la variable aléatoire,calculer et représenter graphiquement sa fonction
de répartition et calculer son espérance et sa variance.
1. On lance un seul dé équilibré et on note Xla variable aléatoire du résultat obtenu.
2. On lance 2 dés équilibrés et on note Xla somme des résultats obtenus et Yl’écart des résultats obtenus.
Exercice II
On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. On gagne 1 euros pour pile et on perd 1 euro pour face. On joue 6 fois de suite et
on note Xla variable aléatoire du gain obtenu après ces 6 parties.
Donner la loi de probabilités de X, calculer et représenter graphiquement sa fonction de répartition F
Xet calculer l’espérance et la
variance de X.
Exercice III
On lance 2 dés équilibrés et on note Sla somme des résultats obtenus.
– Si 2 ≤S≤3, on obtient 20 points ;
– si 3 <S≤5,on obtient 10 points ;
– si 5 <S<10,on obtient 5 points ;
– si 10 ≤S≤12, on obtient 1 point.
Soit Xla variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de points marqués.
1. Donner la loi de probabilités de X, calculer et représenter graphiquement sa fonction de répartition F
Xet calculer l’espérance et
la variance de X.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir strictement moins de 10 points ? plus de 2 points ?
Exercice IV
Un sac contient quatre jetons noirs et quatre jetons blancs.
1. On considère des séries de quatre tirages dans le sac avec remise. On note Xla variable aléatoire qui à chaque tirage associe
le nombre de jetons noirs tirés. Déterminer la loi de X, sa fonction de répartition, son espérance et sa variance. Quelle est la
probabilités de tirer au moins un jetons noirs et strictement moins de 4 jetons noirs ?
2. On tire maintenant 4 jetons du sac, simultanément. Répondre aux mêmes questions.
Exercice V
Une loterie comporte 20 billets dont 2 gagnants, l’un pour un lot de 100 euros, l’autre pour un lot de 60 euros. On achète trois billets.
1. Calculer les probabilités des événements suivants :
– A = “gagner les 2 lots” ;
– B = “gagner le lot de 100 euros seulement” ;
– C= “gagner le lot de 60 euros seulement” ;
– D= “ne rien gagner”.
2. (a) Déterminer la loi de probabilités de la variable aléatoire Xqui à chaque ensemble de trois billets achetés associe la somme
gagnée ;
(b) calculer l’espérance de gain m=E(X);
(c) On fixe le prix de vente du billet à m
3. Vérifier que la vente des 20 billets permet d’obtenir la somme mises en jeu.
Exercice VI
Une urne contient 6 boules dont quatre de couleur blanche et deux de couleur rouge. On tire trois boules simultanément dans l’urne.
1. Soit Xla variable aléatoire qui à toute épreuve associe le nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de Xet sa fonction de
répartition.

2. Soit X0la variable aléatoire qui à toute épreuve associe le nombre de boules blanches tirées. Déterminer la loi de X0et sa fonction
de répartition.
3. On répète 4 fois l’épreuve 1. On désigne par Yle nombre de fois où l’événement (X≥1)s’est réalisé. Déterminer la loi de Y
Exercice VII
On suppose que le pourcentage de gauchers est de 1%. Soit Xla variable aléatoire qui compte le nombre de gauchers dans un
échantillon de 200 personnes choisies au hasard dans la population.
Déterminer la loi de X.
Quelle est la probabilité pour qu’il y ait moins de 4 gauchers dans l’échantillon ?
Quelle est la probabilité pour qu’il y ait plus de 6 gauchers dans l’échantillon ?
Exercice VIII
Dans la production d’une machine fabricant des pièces en série, on trouve 8% de pièces defectueuses.
Dans un contrôle portant sur 40 pièces, quelle est la probabilité qu’on en trouve 4 défectueux ? quelle est la probabilité qu’on en
trouve au plus 4 défectueux ?
Dans un contrôle portant sur 100 pièces, quelle est la probabilité qu’on en trouve 6 défectueux ? quelle est la probabilité qu’on en
trouve au plus 9 défectueux ?
Exercice IX
Dans un texte de 1000 lignes, on trouve en moyenne 25 erreurs typographiques, quelle est la probabilité de trouver moins de 4
erreurs dans un texte de 100 lignes.
Exercice X
Un chef d’entreprise, pour éviter l’attente des camions venant livrer, envisage de construire de nouveau poste de déchargement. Il y
en a actuellement 5. Pour simplifier l’étude, on considère qu’il faut une journée entière pour décharger un camion. On désigne par Xla
variable aléatoire mesurant le nombre de camion venant livrer chaque jour.
1. Une enquète statistique préalable à montré qu’on pouvait assimiler la loi de Xà une loi de Poisson de paramètre λ=4.
(a) quelle est, à 10−3près, la probabilité de n’avoir aucun camion en attente ?
(b) combien faudrait-il de postes de déchargement pour porter cette probabilité à 0,95 ?
2. On prévoit à l’avenir de doubler la fréquence de livraison, ce qui porterait le paramètre λde la loi de Poisson de la variable
aléatoire Xàλ=8. Combien faudrait-il alors de postes de déchargement pour que la probabilité de n’avoir aucun camion en
attente soit supérieure à 0,95 ?
Exercice XI
Soit Xune variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite.
1. calculer les probabilités
P(X<0),P(X<0,82),P(X>1,42),P(X>−1,95),P(−1<X<1),P(−1,5<X<2,25)P(|X|>2).
2. calculer la valeur de apour que
P(X<a) = 0,8238,P(X>a) = 0,0632,P(X<a) = 0,0268,P(X>a) = 0,9651 .
Exercice XII
1. La variable aléatoire Xsuit une loi N(18;2,5). Calculer les probabilités
P(X<17),P(X>20),P(16 <X<19,5).
2. La variable aléatoire Xsuit une loi N(68;15). calculer la valeur de apour que P(X<a) = 0,8315.
Exercice XIII
Une agence de vente par correspondance fournit aux personnes intéressées une documentation sur le produit qui les intéresse. On
estime qu’une personne sur 10 ayant recu la documentation passe commande.
Sur 600 personnes qui ont recu la documentation, quelle est la probabilité pour qu’il y ait au moins 70 commandes ? quelle est la
probabilité pour qu’il y ait plus de 50 commandes ?