II- INTRODUCTION A LA SEMANTIQUE STANDARD DU CALCUL DES PREDICATS
(OU SEMANTIQUE DE TARSKI)
1- Définition d’une structure pour un langage L du premier ordre
La structure M est ce qui correspond à la fonction d’évaluation dans le calcul des propositions. Elle est
composée :
(i)- D’un ensemble M non vide, fini ou infini, d’objets (qui constitue le domaine de la variable), appelé
domaine de base de la structure M
(ii)- Pour chaque symbole de constante « c », d’un élément c de M, appelé interprétation du symbole
« c » dans la structure M
(iii)- Pour chaque symbole de prédicat « F », d’un sous-ensemble F de M, appelé interprétation du
symbole « F » dans la structure M
(iv)- Pour chaque symbole de relation « R » binaire, d’un sous-ensemble R de MxM appelé
interprétation du symbole « R » dans la structure M
(v)- Pour le symbole « = », de la relation d’identité = sur MxM.
Ex. : si L contient deux symboles de constantes « c », « d », un prédicat « F » et une relation « R »,
alors M1 = {N, 0, 1, pair, >} est une L-structure (c = 0 ; d = 1 ; F = {0, 2, 4, …} ; R = [n ∈ N, m ∈ N ;
n > m]). Mais M2 = {{Jeanne, Hubert, Jacques}, Jeanne, Hubert, sympathique, aimer} est également
une L-structure (c = Jeanne ; d = Hubert ; sympathique = {Jeanne} ; aimer = {(Jeanne, Hubert),
(Hubert, Hubert), (Hubert, Jacques)}
La détermination de la structure permet de déterminer la valeur de vérité des propositions élémentaires
de L. Les stipulations, tout à fait naturelles, sont les suivantes :
- Si « α » est une constante de L et « ϕ » un prédicat « primitif » de L, alors : ϕα est vrai ssi α ∈ ϕ
- Si « α » et « β » sont deux constantes de L et « φ » une relation binaire « primitive » de L, alors :
φαβ est vrai ssi (α, β) ∈ φ
Une fois que les valeurs de vérité des propositions élémentaires fixées, on peut fixer l’ensemble des
valeurs de vérité des propositions singulières en utilisant les règles des connecteurs du calcul des
propositions. Mais la (grosse) difficulté de la sémantique des langages du premier ordre consiste à
déterminer la valeur de vérité des propositions générales. Cette difficulté ne se posait pas dans le
calcul des propositions parce qu’il n’y avait pas de variable. Le fait qu’il y ait des variables dans le
calcul des prédicats nous oblige à définir une nouveau concept, celui de fonction d’assignation sur une
structure.
2- Les fonctions d’assignation
Soit une formule ouverte φ. Comme φ comporte des variables libres, les règles définies ci-dessus ne
me permettent pas de leur assigner une interprétation. Pour cela on définit un nouvel outil, la fonction
d’assignation :
La fonction d’assignation (à ne pas confondre avec la structure d’interprétation) est une
fonction qui attribue à chaque variable de φ une et une seule valeur dans M.
Admettons que le langage L comporte deux variables libres x et y, et que M soit l’ensemble des
entiers, alors une fonction d’assignation f1 est telle que : {(x, 0), (y, 1)} ; une autre fonction
d’assignation est f2 : {(x, 0), (y, 0)} ; une troisième est f3 : {(x, 3), (y, 5)}.
Admettons que le langage L ait n variables ; une fonction d’assignation f est une fonction qui assigne à
ces n variables une et une seule valeur dans M. On a :
f : { x1, x2, …, xn}→M
xi→fxi