CONTENU : 1- La suite du cours de logique 2

CONTENU :
1- La suite du cours de logique
2- Les fiches d’exercice qui vont avec
Concernant la bibliographie : je vous conseille le RIVENC, « Introduction à la Logique », et le
LEPAGE, « Elements de logique contemporaine », surtout pour comprendre la règle
d’interprétation des quantificateurs.
III- SYNTAXE DU CALCUL DES PREDICATS
Nous allons formaliser ce que nous avons présenté informellement jusqu’à maintenant. Formaliser,
cela signifie : définir le langage du calcul des prédicats, construire une sémantique sur ce langage.
1- Le langage du calcul des prédicats
La liste des symboles primitifs est plus longue que dans le cas du calcul des propositions :
(i)- Une liste de symboles de prédicats (unaire, binaire, …) : P, Q, …
(ii)- Un ensemble de constantes d’individus : a, b, c …
(iii)- Les connecteurs habituels du calcul des propositions : ~, v, ∧, ⇒, ⇔
(iv)- Les parenthèses ouvrantes et fermantes : (, )
(v)- Un ensemble de de variables d’objets : x, y, …
(vi)- Deux quantificateurs : ∃x et ∀x
On peut éventuellement ajouter à cette liste une catégorie de symboles supplémentaires :
(vii)- Les constantes propositionnelles : p, q, r, …
Une formule élémentaire est une lettre de prédicat n-aire suivie de n lettres de termes. Les lettres de
termes sont les constantes d’individus et les variables d’objet. Si P²ab est une formule élémentaire,
P²xy, P²xa, P²ax le sont également. Une formule élémentaire ne comporte ni connecteur
propositionnel, ni quantificateur. Mais attention, une formule élémentaire n’est pas nécessairement une
proposition élémentaire ; elle peut être une fonction propositionnelle (Nous reviendrons sur ce point).
Les règles de formation de formules se définissent, comme dans le calcul des propositions, par
récursion sur la longueur des formules, à partir des formules atomiques :
(i) Toute formule élémentaire est une formule.
(ii) Si ϕ est une formule, alors ~ϕ est une formule ; si ϕ et ψ sont des formules, (ϕ v ψ),(ϕ ∧ ψ),
(ϕ⇒ψ), (ϕ⇔ψ) sont des formules.
(iii) Si ϕ est une formule, ∀xϕ et ∃xϕ sont des formules.
Il est, à partir de ces clauses, tout à fait possible de construire l’arbre syntaxique de n’importe quelle
formule du calcul des prédicats. Soit ∀x∃y(Fxa⇒~Gyz) ; son arbre est :
∀x∃y(Fxa⇒~Gyz)
∃y(Fxa⇒~Gyz)
(Fxa⇒~Gyz)

Fxa ~Gyz
Gyz
Les concepts de sous-formules et de connecteurs principaux se définissent comme dans le calcul des
propositions.
Remarquer le caractère étrange de la clause (iii) : d’après elle, ∀xFa et ∀xFy sont des formules bien
formées du calcul des prédicats. Dans la présentation informelle, nous n’avons jamais rencontré ce
genre d’expression. En fait, si on ne les exclut pas du langage, c’est parce que leur interprétation
sémantique ne posent pas de problèmes particuliers (∀xFa est logiquement équivalente à Fa, et ∀xFy à
Fy), et qu’il faudrait introduire des complications un peu inutiles donc pour les exclure du langage.
On a définit l’ensemble des signes simples et les règles de formation des formules
quantificationnelles ; on a donc définit le langage du calcul des prédicats.
2- Les concepts de variable libre et de variable liée
- Définition de la portée d’un quantificateur :
Si ∀xϕ (resp. ∃xϕ) est une sous formule de ψ, alors ϕ est la portée du quantificateur ∀x (resp. ∃x)
Exemple : dans la formule (1) ∀x∃y(Rxy⇒Fx) v Gy, la portée de ∃y est (Rxy⇒Fx) ; celle de ∃x,
∃y(Rxy⇒Fx).
La portée d’un quantificateur correspond, dans la présentation précédente, à la fonction
propositionnelle sur laquelle le quantificateur s’applique. Dans l’exposition informelle, nous mêlions
des considérations syntaxiques et sémantiques (les fonctions propositionnelles étaient à la fois des
symboles et des propriétés) ; ici, le concept de portée est exclusivement syntaxique : une portée est une
formule.
- Variable liée et variable libre dans une formule :
Une occurrence de la variable x (qui n’est pas une partie du quantificateur) dans la formule ϕ est dite
libre en ϕ ssi cette occurrence de ϕ ne tombe pas dans la portée d’un quantificateur ∀x ou ∃x
apparaissant dans ϕ.
Exemple : la seconde occurrence de y est libre dans (1) (∀x∃y(Rxy⇒Fx) v Gy) ; par contre, la
première occurrence de y (∀x∃y(Rxy⇒Fx) v Gy) ne l’est pas.
Si l’occurrence de x est libre en ϕ, alors cette occurrence est dite liée par le quantificateur ∀x (ou ∃x)
dans ∀xϕ.
Exemple : en (1), la première occurrence de y est liée par le quantificateur Ey précédant la
formule (Rxy⇒Fx). Dans la formule Ey(∀x∃y(Rxy⇒Fx) v Gy), le second y est liée par le
quantificateur existentielle le plus extérieur.
3- Formule et énoncé dans le calcul des prédicats
On a vu que le calcul des prédicats se caractérisait par le fait que l’on pouvait à partir d’une
proposition créer de nouveaux prédicats : à partir des propositions, on extrait des fonctions
propositionnelles, qui nous servent dans un second temps à construire de nouvelles propositions. La
définition syntaxique du langage des prédicats ne semblent pas obéir à ce genre de schéma. En effet :
1- La notion de formule recouvre à la fois les propositions et les fonctions propositionnelles,
sans les distinguer l’une de l’autre.

2- La définition récursive des formules du langage procède dans le calcul des prédicats comme
dans le calcul des proposition du « plus simple » vers le « plus complexe » : une formule est
composée d’une seule manière à partir des formules atomiques.
Le second point, surtout heurte ce que l’on a exposé plus haut : à savoir l’idée qu’une même
proposition singulière pourrait, dans le calcul des prédicats, se décomposer de façon multiple.
Cette contradiction n’est cependant qu’apparente. Comme l’on cherche, dans la syntaxe, à définir
récursivement l’ensemble des formules, on est obligé de procéder du « plus simple » au « plus
complexe » ; une formule donnée ne se décompose que d’une seule manière en sous-formules. Pour
accommoder l’idée d’une décomposition multiple des propositions, il est donc nécessaire, dans le
calcul des prédicats, de distinguer, à la différence de ce qui se passe dans le calcul des propositions, les
formules des propositions (ou énoncés).
Dit de manière imaginée : dans notre présentation informelle du calcul des prédicats, les briques
simples avec lequel nous construisions l’édifice était les propositions ; il fallait « casser » les briques
pour pouvoir donner à l’ensemble la forme voulue. Ici, on commence directement notre construction
avec des morceaux de briques, que l’on a donc plus besoin de briser pour bâtir ce que l’on désire.
L’idée de base est toujours la même : pour formaliser ce qu’est la généralité, il faut considérer la
fonction propositionnelle, que cette fonction soit considérée comme le produit d’une extraction à partir
de la proposition, ou qu’elle soit directement donnée.
Dans le calcul des proposition, une proposition se nomme énoncé et se définit ainsi :
Un énoncé est une formule qui ne contient pas de variables libres.
Vous trouverez aussi la terminologie suivante : une formule ouverte est une formule dans laquelle
apparaît des variables libres ; une formule close (= énoncé) est une formule dans laquelle aucune
variable libre n’apparaît.
La clôture universelle d’une formule ouverte ϕ qui comporte i variables libres x1, x2,…, xi est l’énoncé
(= la formule close) ∀x1∀x2…∀xiϕ

II- INTRODUCTION A LA SEMANTIQUE STANDARD DU CALCUL DES PREDICATS
(OU SEMANTIQUE DE TARSKI)
1- Définition d’une structure pour un langage L du premier ordre
La structure M est ce qui correspond à la fonction d’évaluation dans le calcul des propositions. Elle est
composée :
(i)- D’un ensemble M non vide, fini ou infini, d’objets (qui constitue le domaine de la variable), appelé
domaine de base de la structure M
(ii)- Pour chaque symbole de constante « c », d’un élément c de M, appelé interprétation du symbole
« c » dans la structure M
(iii)- Pour chaque symbole de prédicat « F », d’un sous-ensemble F de M, appelé interprétation du
symbole « F » dans la structure M
(iv)- Pour chaque symbole de relation « R » binaire, d’un sous-ensemble R de MxM appelé
interprétation du symbole « R » dans la structure M
(v)- Pour le symbole « = », de la relation d’identité = sur MxM.
Ex. : si L contient deux symboles de constantes « c », « d », un prédicat « F » et une relation « R »,
alors M1 = {N, 0, 1, pair, >} est une L-structure (c = 0 ; d = 1 ; F = {0, 2, 4, …} ; R = [n ∈ N, m ∈ N ;
n > m]). Mais M2 = {{Jeanne, Hubert, Jacques}, Jeanne, Hubert, sympathique, aimer} est également
une L-structure (c = Jeanne ; d = Hubert ; sympathique = {Jeanne} ; aimer = {(Jeanne, Hubert),
(Hubert, Hubert), (Hubert, Jacques)}
La détermination de la structure permet de déterminer la valeur de vérité des propositions élémentaires
de L. Les stipulations, tout à fait naturelles, sont les suivantes :
- Si « α » est une constante de L et « ϕ » un prédicat « primitif » de L, alors : ϕα est vrai ssi α ∈ ϕ
- Si « α » et « β » sont deux constantes de L et « φ » une relation binaire « primitive » de L, alors :
φαβ est vrai ssi (α, β) ∈ φ
Une fois que les valeurs de vérité des propositions élémentaires fixées, on peut fixer l’ensemble des
valeurs de vérité des propositions singulières en utilisant les règles des connecteurs du calcul des
propositions. Mais la (grosse) difficulté de la sémantique des langages du premier ordre consiste à
déterminer la valeur de vérité des propositions générales. Cette difficulté ne se posait pas dans le
calcul des propositions parce qu’il n’y avait pas de variable. Le fait qu’il y ait des variables dans le
calcul des prédicats nous oblige à définir une nouveau concept, celui de fonction d’assignation sur une
structure.
2- Les fonctions d’assignation
Soit une formule ouverte φ. Comme φ comporte des variables libres, les règles définies ci-dessus ne
me permettent pas de leur assigner une interprétation. Pour cela on définit un nouvel outil, la fonction
d’assignation :
La fonction d’assignation (à ne pas confondre avec la structure d’interprétation) est une
fonction qui attribue à chaque variable de φ une et une seule valeur dans M.
Admettons que le langage L comporte deux variables libres x et y, et que M soit l’ensemble des
entiers, alors une fonction d’assignation f1 est telle que : {(x, 0), (y, 1)} ; une autre fonction
d’assignation est f2 : {(x, 0), (y, 0)} ; une troisième est f3 : {(x, 3), (y, 5)}.
Admettons que le langage L ait n variables ; une fonction d’assignation f est une fonction qui assigne à
ces n variables une et une seule valeur dans M. On a :
f : { x1, x2, …, xn}→M
xi→fxi

Deux fonctions d’assignations diffèrent si elles assignent à au moins une variable des valeurs
différentes.
Attention : les fonctions d’assignation assignent à chaque variable une valeur dans M, que cette valeur
soit désignée ou non par une constante du langage. Ce point est important. Il traduit l’idée qu’une
propriété F est satisfaite ssi il y a un objet dans l’univers qui possède cette propriété, que l’objet en
question ait ou n’ait pas un nom.
On peut dire les choses ainsi : la structure « s’occupe » des constantes d’objets, de prédicats, de
relations du langage L ; la fonction d’assignation « s’occupe » des variables d’objets.
A l’aide de la notion de fonction d’assignation sur une structure, il est possible de définir
récursivement la notion de satisfaction d’une formule quelconque sans quantificateur du langage L
dans la structure M. Soit f une fonction d’assignation qui assigne une valeur aux n variables {x1, x2, …,
x n} du langage L :
- Si « ϕ
ϕϕ
ϕ » une formule atomique (qui possède par hypothèse au maximum 2 variables libres xi, xj),
f satisfait « ϕ
ϕϕ
ϕ » dans M ssi (fxi, fxj) ∈
∈∈
∈ ϕ
ϕϕ
ϕ
- f satisfait ~ϕ dans M ssi f ne satisfait pas ϕ dans M
- f satisfait ϕ ∧ ψ dans M ssi f satisfait ϕ dans M et f satisfait ψ dans M
- f satisfait ϕ v ψ dans M ssi f satisfait ϕ dans M ou f satisfait ψ dans M
- f satisfait ϕ ⇒ ψ dans M ssi f ne satisfait pas ϕ dans M ou f satisfait ψ dans M
- f satisfait ϕ ⇔ ψ dans M ssi f satisfait ϕ dans M et f satisfait ψ dans M, ou f ne satisfait pas ϕ dans
M et f ne satisfait pas ψ dans M
A ce stade, on possède des règles permettant de déterminer si une formule ouverte ou close sans
quantificateur est satisfaite dans une structure pour une fonction d’assignation. Il nous reste le plus dur
à faire : donner les règles permettant de déterminer si une formule quelconque, avec ou sans
quantificateur, du langage du premier ordre est satisfaite dans la structure pour une assignation f
donnée.
3- L’analyse sémantique des quantificateurs
Considérons d’abord le cas ou la formule ϕ (non nécessairement primitive) qui suit le quantificateur
n’a qu’une variable libre en xi. Intuitivement, ∃xiϕ est satisfaite ssi il existe une fonction f qui satisfait
ϕ, c’est-à-dire telle que fxi appartienne à l’ensemble ϕ*. De même, ∀xiϕ est satisfaite ssi toutes les
fonctions f satisfont ϕ.
La situation se complique un peu lorsque ϕ est réellement quelconque, c’est-à-dire lorsqu’elle
comporte d’autres variables libres que celle qui est quantifiée.
Prenons un exemple ; celui de la satisfaction de la formule ∃xFxy dans la structure N {{1, 2}, >}. Que
veut-on dire quand on dit que cette formule est satisfaite par une fonction f dans N ?
Prenons h = {(x, 1), (y, 1)} ; h ne satisfait pas Fxy ; mais h satisfait-elle ∃xFxy ? Oui, car si on donne à
y la valeur 1, il est possible de trouver dans N un élément (à savoir 2) qui soit supérieur à 1.
Considérons g = {(x, 1), (y, 2)} ; comme h, g ne satisfait pas Fxy ; mais g satisfait-il ∃xFxy ? Non, car
il n’est pas possible de trouver un élément de N qui soit supérieur à 2.
On peut donc dire :
une fonction d’assignation quelconque f satisfait ∃xFxy ssi il existe une fonction d’assignation
f’ qui attribue aux variables, sauf à x, la même valeur que f et qui satisfait Fxy.
Cette clause s’étend également à la formule ∀xFxy :
f satisfait ∀xFxy ssi toutes les fonctions d’assignation f’ qui attribuent aux variables, sauf en
x, la même valeur que f satisfont Fxy (Vérifiez dans l’exemple que aucune fonction
d’assignation ne satisfait ∀xFxy).