CONTENU : 1- La suite du cours de logique 2

CONTENU :
1- La suite du cours de logique
2- Les fiches d’exercice qui vont avec
Concernant la bibliographie : je vous conseille le RIVENC, « Introduction à la Logique », et le
LEPAGE, « Elements de logique contemporaine », surtout pour comprendre la règle
d’interprétation des quantificateurs.
III- SYNTAXE DU CALCUL DES PREDICATS
Nous allons formaliser ce que nous avons présenté informellement jusqu’à maintenant. Formaliser,
cela signifie : définir le langage du calcul des prédicats, construire une sémantique sur ce langage.
1- Le langage du calcul des prédicats
La liste des symboles primitifs est plus longue que dans le cas du calcul des propositions :
(i)- Une liste de symboles de prédicats (unaire, binaire, …) : P, Q, …
(ii)- Un ensemble de constantes d’individus : a, b, c …
(iii)- Les connecteurs habituels du calcul des propositions : ~, v, ∧, ⇒, ⇔
(iv)- Les parenthèses ouvrantes et fermantes : (, )
(v)- Un ensemble de de variables d’objets : x, y, …
(vi)- Deux quantificateurs : ∃x et ∀x
On peut éventuellement ajouter à cette liste une catégorie de symboles supplémentaires :
(vii)- Les constantes propositionnelles : p, q, r, …
Une formule élémentaire est une lettre de prédicat n-aire suivie de n lettres de termes. Les lettres de
termes sont les constantes d’individus et les variables d’objet. Si P²ab est une formule élémentaire,
P²xy, P²xa, P²ax le sont également. Une formule élémentaire ne comporte ni connecteur
propositionnel, ni quantificateur. Mais attention, une formule élémentaire n’est pas nécessairement une
proposition élémentaire ; elle peut être une fonction propositionnelle (Nous reviendrons sur ce point).
Les règles de formation de formules se définissent, comme dans le calcul des propositions, par
récursion sur la longueur des formules, à partir des formules atomiques :
(i)
Toute formule élémentaire est une formule.
(ii)
Si ϕ est une formule, alors ~ϕ est une formule ; si ϕ et ψ sont des formules, (ϕ v ψ),(ϕ ∧ ψ),
(ϕ⇒ψ), (ϕ⇔ψ) sont des formules.
(iii)
Si ϕ est une formule, ∀xϕ et ∃xϕ sont des formules.
Il est, à partir de ces clauses, tout à fait possible de construire l’arbre syntaxique de n’importe quelle
formule du calcul des prédicats. Soit ∀x∃y(Fxa⇒~Gyz) ; son arbre est :
∀x∃y(Fxa⇒~Gyz)
∃y(Fxa⇒~Gyz)
(Fxa⇒~Gyz)
Fxa
~Gyz
Gyz
Les concepts de sous-formules et de connecteurs principaux se définissent comme dans le calcul des
propositions.
Remarquer le caractère étrange de la clause (iii) : d’après elle, ∀xFa et ∀xFy sont des formules bien
formées du calcul des prédicats. Dans la présentation informelle, nous n’avons jamais rencontré ce
genre d’expression. En fait, si on ne les exclut pas du langage, c’est parce que leur interprétation
sémantique ne posent pas de problèmes particuliers (∀xFa est logiquement équivalente à Fa, et ∀xFy à
Fy), et qu’il faudrait introduire des complications un peu inutiles donc pour les exclure du langage.
On a définit l’ensemble des signes simples et les règles de formation des formules
quantificationnelles ; on a donc définit le langage du calcul des prédicats.
2- Les concepts de variable libre et de variable liée
- Définition de la portée d’un quantificateur :
Si ∀xϕ (resp. ∃xϕ) est une sous formule de ψ, alors ϕ est la portée du quantificateur ∀x (resp. ∃x)
Exemple : dans la formule (1) ∀x∃y(Rxy⇒Fx) v Gy, la portée de ∃y est (Rxy⇒Fx) ; celle de ∃x,
∃y(Rxy⇒Fx).
La portée d’un quantificateur correspond, dans la présentation précédente, à la fonction
propositionnelle sur laquelle le quantificateur s’applique. Dans l’exposition informelle, nous mêlions
des considérations syntaxiques et sémantiques (les fonctions propositionnelles étaient à la fois des
symboles et des propriétés) ; ici, le concept de portée est exclusivement syntaxique : une portée est une
formule.
- Variable liée et variable libre dans une formule :
Une occurrence de la variable x (qui n’est pas une partie du quantificateur) dans la formule ϕ est dite
libre en ϕ ssi cette occurrence de ϕ ne tombe pas dans la portée d’un quantificateur ∀x ou ∃x
apparaissant dans ϕ.
Exemple : la seconde occurrence de y est libre dans (1) (∀x∃y(Rxy⇒Fx) v Gy) ; par contre, la
première occurrence de y (∀x∃y(Rxy⇒Fx) v Gy) ne l’est pas.
Si l’occurrence de x est libre en ϕ, alors cette occurrence est dite liée par le quantificateur ∀x (ou ∃x)
dans ∀xϕ.
Exemple : en (1), la première occurrence de y est liée par le quantificateur Ey précédant la
formule (Rxy⇒Fx). Dans la formule Ey(∀x∃y(Rxy⇒Fx) v Gy), le second y est liée par le
quantificateur existentielle le plus extérieur.
3- Formule et énoncé dans le calcul des prédicats
On a vu que le calcul des prédicats se caractérisait par le fait que l’on pouvait à partir d’une
proposition créer de nouveaux prédicats : à partir des propositions, on extrait des fonctions
propositionnelles, qui nous servent dans un second temps à construire de nouvelles propositions. La
définition syntaxique du langage des prédicats ne semblent pas obéir à ce genre de schéma. En effet :
1- La notion de formule recouvre à la fois les propositions et les fonctions propositionnelles,
sans les distinguer l’une de l’autre.
2- La définition récursive des formules du langage procède dans le calcul des prédicats comme
dans le calcul des proposition du « plus simple » vers le « plus complexe » : une formule est
composée d’une seule manière à partir des formules atomiques.
Le second point, surtout heurte ce que l’on a exposé plus haut : à savoir l’idée qu’une même
proposition singulière pourrait, dans le calcul des prédicats, se décomposer de façon multiple.
Cette contradiction n’est cependant qu’apparente. Comme l’on cherche, dans la syntaxe, à définir
récursivement l’ensemble des formules, on est obligé de procéder du « plus simple » au « plus
complexe » ; une formule donnée ne se décompose que d’une seule manière en sous-formules. Pour
accommoder l’idée d’une décomposition multiple des propositions, il est donc nécessaire, dans le
calcul des prédicats, de distinguer, à la différence de ce qui se passe dans le calcul des propositions, les
formules des propositions (ou énoncés).
Dit de manière imaginée : dans notre présentation informelle du calcul des prédicats, les briques
simples avec lequel nous construisions l’édifice était les propositions ; il fallait « casser » les briques
pour pouvoir donner à l’ensemble la forme voulue. Ici, on commence directement notre construction
avec des morceaux de briques, que l’on a donc plus besoin de briser pour bâtir ce que l’on désire.
L’idée de base est toujours la même : pour formaliser ce qu’est la généralité, il faut considérer la
fonction propositionnelle, que cette fonction soit considérée comme le produit d’une extraction à partir
de la proposition, ou qu’elle soit directement donnée.
Dans le calcul des proposition, une proposition se nomme énoncé et se définit ainsi :
Un énoncé est une formule qui ne contient pas de variables libres.
Vous trouverez aussi la terminologie suivante : une formule ouverte est une formule dans laquelle
apparaît des variables libres ; une formule close (= énoncé) est une formule dans laquelle aucune
variable libre n’apparaît.
La clôture universelle d’une formule ouverte ϕ qui comporte i variables libres x1, x2,…, xi est l’énoncé
(= la formule close) ∀x1∀x2…∀xiϕ
II- INTRODUCTION A LA SEMANTIQUE STANDARD DU CALCUL DES PREDICATS
(OU SEMANTIQUE DE TARSKI)
1- Définition d’une structure pour un langage L du premier ordre
La structure M est ce qui correspond à la fonction d’évaluation dans le calcul des propositions. Elle est
composée :
(i)- D’un ensemble M non vide, fini ou infini, d’objets (qui constitue le domaine de la variable), appelé
domaine de base de la structure M
(ii)- Pour chaque symbole de constante « c », d’un élément c de M, appelé interprétation du symbole
« c » dans la structure M
(iii)- Pour chaque symbole de prédicat « F », d’un sous-ensemble F de M, appelé interprétation du
symbole « F » dans la structure M
(iv)- Pour chaque symbole de relation « R » binaire, d’un sous-ensemble R de MxM appelé
interprétation du symbole « R » dans la structure M
(v)- Pour le symbole « = », de la relation d’identité = sur MxM.
Ex. : si L contient deux symboles de constantes « c », « d », un prédicat « F » et une relation « R »,
alors M1 = {N, 0, 1, pair, >} est une L-structure (c = 0 ; d = 1 ; F = {0, 2, 4, …} ; R = [n ∈ N, m ∈ N ;
n > m]). Mais M2 = {{Jeanne, Hubert, Jacques}, Jeanne, Hubert, sympathique, aimer} est également
une L-structure (c = Jeanne ; d = Hubert ; sympathique = {Jeanne} ; aimer = {(Jeanne, Hubert),
(Hubert, Hubert), (Hubert, Jacques)}
La détermination de la structure permet de déterminer la valeur de vérité des propositions élémentaires
de L. Les stipulations, tout à fait naturelles, sont les suivantes :
- Si « α » est une constante de L et « ϕ » un prédicat « primitif » de L, alors : ϕα est vrai ssi α ∈ ϕ
- Si « α » et « β » sont deux constantes de L et « φ » une relation binaire « primitive » de L, alors :
φαβ est vrai ssi (α, β) ∈ φ
Une fois que les valeurs de vérité des propositions élémentaires fixées, on peut fixer l’ensemble des
valeurs de vérité des propositions singulières en utilisant les règles des connecteurs du calcul des
propositions. Mais la (grosse) difficulté de la sémantique des langages du premier ordre consiste à
déterminer la valeur de vérité des propositions générales. Cette difficulté ne se posait pas dans le
calcul des propositions parce qu’il n’y avait pas de variable. Le fait qu’il y ait des variables dans le
calcul des prédicats nous oblige à définir une nouveau concept, celui de fonction d’assignation sur une
structure.
2- Les fonctions d’assignation
Soit une formule ouverte φ. Comme φ comporte des variables libres, les règles définies ci-dessus ne
me permettent pas de leur assigner une interprétation. Pour cela on définit un nouvel outil, la fonction
d’assignation :
La fonction d’assignation (à ne pas confondre avec la structure d’interprétation) est une
fonction qui attribue à chaque variable de φ une et une seule valeur dans M.
Admettons que le langage L comporte deux variables libres x et y, et que M soit l’ensemble des
entiers, alors une fonction d’assignation f1 est telle que : {(x, 0), (y, 1)} ; une autre fonction
d’assignation est f2 : {(x, 0), (y, 0)} ; une troisième est f3 : {(x, 3), (y, 5)}.
Admettons que le langage L ait n variables ; une fonction d’assignation f est une fonction qui assigne à
ces n variables une et une seule valeur dans M. On a :
f : { x1, x2, …, xn}→M
xi→fxi
Deux fonctions d’assignations diffèrent si elles assignent à au moins une variable des valeurs
différentes.
Attention : les fonctions d’assignation assignent à chaque variable une valeur dans M, que cette valeur
soit désignée ou non par une constante du langage. Ce point est important. Il traduit l’idée qu’une
propriété F est satisfaite ssi il y a un objet dans l’univers qui possède cette propriété, que l’objet en
question ait ou n’ait pas un nom.
On peut dire les choses ainsi : la structure « s’occupe » des constantes d’objets, de prédicats, de
relations du langage L ; la fonction d’assignation « s’occupe » des variables d’objets.
A l’aide de la notion de fonction d’assignation sur une structure, il est possible de définir
récursivement la notion de satisfaction d’une formule quelconque sans quantificateur du langage L
dans la structure M. Soit f une fonction d’assignation qui assigne une valeur aux n variables {x1, x2, …,
x n} du langage L :
-
Si « ϕ » une formule atomique (qui possède par hypothèse au maximum 2 variables libres xi, xj),
f satisfait « ϕ » dans M ssi (fxi, fxj) ∈ ϕ
f satisfait ~ϕ dans M ssi f ne satisfait pas ϕ dans M
f satisfait ϕ ∧ ψ dans M ssi f satisfait ϕ dans M et f satisfait ψ dans M
f satisfait ϕ v ψ dans M ssi f satisfait ϕ dans M ou f satisfait ψ dans M
f satisfait ϕ ⇒ ψ dans M ssi f ne satisfait pas ϕ dans M ou f satisfait ψ dans M
f satisfait ϕ ⇔ ψ dans M ssi f satisfait ϕ dans M et f satisfait ψ dans M, ou f ne satisfait pas ϕ dans
M et f ne satisfait pas ψ dans M
A ce stade, on possède des règles permettant de déterminer si une formule ouverte ou close sans
quantificateur est satisfaite dans une structure pour une fonction d’assignation. Il nous reste le plus dur
à faire : donner les règles permettant de déterminer si une formule quelconque, avec ou sans
quantificateur, du langage du premier ordre est satisfaite dans la structure pour une assignation f
donnée.
3- L’analyse sémantique des quantificateurs
Considérons d’abord le cas ou la formule ϕ (non nécessairement primitive) qui suit le quantificateur
n’a qu’une variable libre en xi. Intuitivement, ∃xiϕ est satisfaite ssi il existe une fonction f qui satisfait
ϕ, c’est-à-dire telle que fxi appartienne à l’ensemble ϕ*. De même, ∀xiϕ est satisfaite ssi toutes les
fonctions f satisfont ϕ.
La situation se complique un peu lorsque ϕ est réellement quelconque, c’est-à-dire lorsqu’elle
comporte d’autres variables libres que celle qui est quantifiée.
Prenons un exemple ; celui de la satisfaction de la formule ∃xFxy dans la structure N {{1, 2}, >}. Que
veut-on dire quand on dit que cette formule est satisfaite par une fonction f dans N ?
Prenons h = {(x, 1), (y, 1)} ; h ne satisfait pas Fxy ; mais h satisfait-elle ∃xFxy ? Oui, car si on donne à
y la valeur 1, il est possible de trouver dans N un élément (à savoir 2) qui soit supérieur à 1.
Considérons g = {(x, 1), (y, 2)} ; comme h, g ne satisfait pas Fxy ; mais g satisfait-il ∃xFxy ? Non, car
il n’est pas possible de trouver un élément de N qui soit supérieur à 2.
On peut donc dire :
une fonction d’assignation quelconque f satisfait ∃xFxy ssi il existe une fonction d’assignation
f’ qui attribue aux variables, sauf à x, la même valeur que f et qui satisfait Fxy.
Cette clause s’étend également à la formule ∀xFxy :
f satisfait ∀xFxy ssi toutes les fonctions d’assignation f’ qui attribuent aux variables, sauf en
x, la même valeur que f satisfont Fxy (Vérifiez dans l’exemple que aucune fonction
d’assignation ne satisfait ∀xFxy).
Le cas général où la formule ϕ a plusieurs variables et n’est pas un prédicat primitif ne pose pas
d’autres difficultés que celles que l’on a vues dans l’exemple. On peut donc poser les deux dernières
règles sémantiques suivantes :
-
f satisfait ∃xiϕ ssi il existe une fonction d’assignation f’ qui attribue aux variables les mêmes
valeurs que f sauf peut-être en xi satisfaisant ϕ.
f satisfait ∀xiϕ ssi toutes les fonctions d’assignation f’ qui attribuent aux variables les mêmes
valeurs que f sauf peut-être en xi satisfont ϕ.
4- Définitions de base de la théorie des modèles
4-1 : Vérité et fausseté
Une formule ϕ est vraie dans une structure M (ou M-vraie) ssi elle est satisfaite sur M par toutes les
fonctions d’assignation.
On dit que M est un modèle de ϕ et on note : I=M ϕ
Une formule ϕ est fausse dans une structure M (ou M-fausse) ssi elle n’est satisfaite sur M par aucune
fonction d’assignation.
La plupart des formules de L ne sont donc ni vraies ni fausses dans une structure ; certaines
fonctions d’assignation les satisfont, mais pas toutes. On peut cependant facilement montrer que
tous les énoncés (les formules closes) sont vraies ou faux sur une structure (= sont telles que toutes les
fonctions d’assignation les satisfont ou au contraire ne parviennent pas à les satisfaire sur la structure).
Ce résultat n’est pas surprenant : les énoncés sont des formules sans variables libres ; or c’est
seulement dans le cas où des variables sont libres que les fonctions d’assignation jouent un rôle.
Une formule close ϕ est logiquement valide ssi elle est vraie dans toute L-structure. Dans ce cas, on
note I= ϕ. Une formule close est contradictoire ssi sa négation est logiquement valide (ssi elle n’a pas
de modèle). Une formule ouverte est valide ssi sa clôture universelle est valide.
Le concept de validité logique d’une formule du langage du premier ordre est l’analogue du concept
de tautologie dans le calcul des prédicats. Comme les tautologies, puisqu’elles sont vraies dans toute
structure, elles ne nous disent rien d’une structure particulière.
Un point crucial change cependant ici. Dans le calcul des propositions, on avait des méthodes pour
déterminer à chaque fois si une formule était une tautologie (construire sa table de vérité). Ici, les
choses sont plus compliquées : l’ensemble des structures qu’il faut considérer est infini et on n’a aucun
moyen mécanique permettant de déterminer qu’une formule n’a pas de contre-exemple. On reviendra
sur ce point plus tard.
Une formule close ϕ est conséquence sémantique d’une formule close ψ ssi toute L-structure qui est
modèle de ψ est un modèle de ϕ, ou dit autrement, s’il n’y a pas de modèle de ψ qui soit un contremodèle de ψ. On note : ψ I= ϕ.
Une formule close ϕ est logiquement équivalente à une formule close ψ ssi I= (ϕ
ϕ⇔ψ).
4- 2 : Théories
Les définitions suivantes sont extrêmement importantes.
Une théorie T du premier ordre est un ensemble quelconque (fini ou infini, mais nous ne
considérerons que le cas fini) de formules closes d’un langage du premier ordre. On dit que M est
un modèle de T ssi M satisfait toutes les formules de T.
Une théorie est non-contradictoire (ou consistante) ssi elle admet au moins un modèle. Une théorie
est contradictoire (inconsistante) ssi elle n’admet aucun modèle.
Une formule close ϕ du langage L est une conséquence sémantique de T ssi toute L-structure qui est
un modèle de T est un modèle de ϕ. On note : T I= ϕ.
La notion de conséquence sémantique de T constitue une analyse de la notion « être déductible d’une
théorie T ». Intuitivement en effet, une proposition suit d’une théorie T si on ne peut pas imaginer un
monde où la théorie soit vraie et la proposition en question soit fausse.
Si tous les modèles d’une théorie T sont isomorphes l’un à l’autre, on dit que la théorie est
catégorique. Si ce n’est pas le cas, on dit qu’elle n’est pas catégorique.
La notion de catégoricité est importante et a joué un grand rôle en mathématique et en physique dans
la première moitié du XXème siècle. Démontrer qu’une catégorie est catégorique revenait à montrer
qu’elle était achevée, que l’on ne pouvait pas la renforcer, car tous ses modèles avaient la même forme
– qu’il n’y avait pas de modèle « non standard », inattendue, monstrueux de la théorie.
4- 3 : Structure et axiomatisation
Dans le paragraphe précédent, on partait de la théorie, pour s’intéresser aux modèles de la théorie.
Dans les définitions qui suivent, on part de différentes structures, et on se demande de quelles
théories elles sont les modèles.
Deux L-structures M et M’ sont élémentairement équivalentes si et seulement si M et M’ satisfont
les mêmes formules closes de L.
Soit ℘(M) une propriété que partage un ensemble de L-structures. On dit que ℘(M) est
axiomatisable dans L ssi il existe une théorie T de L telle que M vérifie ℘(M) si et seulement si M
est un modèle de T. On dit alors que T axiomatise ℘(M).
Prenons des exemples. Dans le langage du calcul des prédicats avec identité, la formule ∃x∀y(y=x)
axiomatise la propriété d’avoir un domaine avec seulement un élément ; la formule ∃x∃y(~x=y ∧
∀z(z=x v z=y)) axiomatise la propriété d’avoir un domaine contenant exactement deux éléments.
Le fait qu’une propriété soit axiomatisable ou non dépend évidemment de la nature de la propriété,
mais aussi du langage que l’on se donne. Dans le langage du calcul des prédicats avec identité, aucune
formule ne peut exprimer la propriété d’avoir pour domaine un ensemble infini ; par contre dans un
langage du premier ordre (avec identité), où l’on se donne en plus des symboles logiques un symbole
de relation non logique, on peut axiomatiser cette propriété.
Autrement dit, il y a des différences formelles importantes entre des structures, que certains
langages, trop pauvres, ne permettent pas d’exprimer. Aucune théorie du premier ordre ne peut par
exemple axiomatiser ce qui différencie la structure {Q, >} de la structure {R, >} c’est-à-dire aucune
théorie du premier ordre ne peut axiomatiser la propriété de continuité. Pour tous les langages du
premier ordre, {Q, >} et {R, >} sont élémentairement équivalentes. Tout ce que l’on peut dire d’une
structure, on peut le dire de l’autre.
Il est possible de construire une théorie dont les théorèmes soient l’ensemble des formules
logiquement valides d’un langage du premier ordre avec identité. Cette théorie axiomatise la
propriété « être une structure d’un langage du premier ordre » ; les formules qui appartiennent à cette
théorie sont les axiomes de la théorie. On dit que l’axiomatique en question est complète, car quel que
soit ϕ, ϕ est un théorème de la théorie ssi ϕ est logiquement valide. On retrouve ici la notion que
l’on avait mise en place dans le calcul des propositions. Le calcul des prédicats comme le calcul des
propositions sont des systèmes complets.
Pour finir, je vais vous parler très brièvement du célèbre résultat d’incomplétude de Gödel. La partie
des mathématiques la plus facilement formalisable a toujours semblé être l’arithmétique et les
mathématiciens, au début du siècle, ont tenté d’axiomatiser cette théorie ; ils y sont en partie parvenue
en définissant dans le langage du premier ordre un système d’axiome, connu sous le nom
d’axiomatique de Peano (noté PA). L’ensemble des entiers muni de l’addition et de la multiplication
est un modèle de PA ; mais il y en a d’autres « non standards ».
La découverte de Gödel consiste à montrer qu’il y a des propositions vraies dans <N, +, ×> qui ne
sont pas des théorèmes de PA ; et que même si l’on renforce cette axiomatique, on pourra toujours
trouver une proposition arithmétique vraie dans <N, +, ×> qui n’est pas un théorème de ce système
plus fort. L’arithmétique élémentaire (la propriété pour une structure d’être identique à <N, +, ×>)
n’est pas axiomatisable. Je ne peux pas construire une théorie qui aura exactement les propriétés que
les nombres entiers et les opérations usuelles sur les entiers ont. Et cette impossibilité ne provient pas
de mon absence d’ingéniosité : elle tient à la chose même.
LOGIQUE S4
Fiche 2
1- Déterminer si les formules suivantes sont bien formées, et, dans le cas où elles le sont,
faites leur arbre :
(i)- Fx v ∃xGa
(ii)- ~∃x∃y∀z(∃wBzw⇒Ayz) ∧ Axy
(iii)- ~∃x∃y(∀z(∃wBzw⇒Ayz) ∧ Axy)
(iv)- ∃x(∃y(Fx⇒Gy))
2- Déterminer si les occurrences des variables qui apparaissent dans les formules suivantes
sont libres ou liées ; déterminer quels sont les quantificateurs qui lient les variables :
(i)- ~∃x∃y∀z(∃wAzw⇒Ayz) ∧ Axy
(ii)- ~∃x∃y(∀z(∃wAzw⇒Ayz) ∧ Axy)
(iii)- ~∃x∃y(∀z(∃wAzw⇒Ayz) ∧ Bxyz)
(iv)- ∀x∃yRzy v ∃xFx
(v)- ∃x∃xRxx
3- Les formules « Pa ⇒ Rab », « Rbb v ~Pa » sont-elles vraies dans les structures :
(i)- M1 = {{0, 1, 2}, a = 1, b = 2, P = {x ; x est impair} ; R = {(x, y) ; x est strictement
supérieur à y}}
(ii)- M2 = {N, a = 1, b = 2, P = {x ; x est impair} ; R = {(x, y) ; x est strictement supérieur à
y}}
Remarque : n est impair ssi n appartient à N-{0}, et n n’est pas divisible par 2.
4- Construire une structure M qui satisfait Px ⇒ Rbx pour toute fonction d’assignation, pour
au moins une fonction d’assignation, pour aucune fonction d’assignation.
5- Les formules « ∃xRxb » et « ∀x(Px ⇒ Rbx) » sont-elles vraies ou fausses sur M1, M2 ?
Justifier vos conclusions. Construire une structure M dans laquelle les deux énoncés sont
vrais, et une structure M’ dans laquelle les deux énoncés sont faux.
6- Les formules « ∃xRxy » et « ∀x(Px ⇒ Ryx) » sont-elles satisfiables sur les structures M1,
M2 ? Justifier vos conclusions.
7- Les formules closes « ∀y∃xRxy » et « ∃y∀x(Px⇒Ryx) » sont-elles vraies sur les
structures M1, M2 ? Justifier vos conclusions.
8- Construire une structure dans laquelle la formule « ∃x∀yRxy » soit fausse, et dans
laquelle « ∀x∃yRxy » est vraie.
9- Construire une structure dans laquelle la formule « ∃x∃y(~x=y) » soit vraie ; construire
une structure dans laquelle elle soit fausse.
10- Construire une structure qui soit un modèle de la théorie suivante :
− ∀xRxx
− ∀x∀y((Rxy ∧ Ryx) ⇒ x = y)
− ∀x∀y∀z((Rxy ∧ Ryz) ⇒ Rxz)
LOGIQUE S4
Fiche 3
1
Trouver une structure dans laquelle les formules suivantes sont vraies / dans laquelle les
formules suivantes sont fausses :
(i)- ∀x∃yPxy
(ii)- (∀xPxx ∧ ∃y∃x~Pxy) ∧ ∃y∃xPxy
(iii)- ∀y∃xPxy ⇒ ∃x∀yPxy
(iv)- ∀x∀y(x=y v (Pxy v Pyx))
(v)- ∀x~Pxx ∧ ∀x∀y(Pxy⇒~Pyx) ∧ ∀x∃yPxy
2
Montrer que les théories suivantes sont non-contradictoires :
(i)- T1 : ∃x∀yPxy ; ∃x∀y~Pxy ; ∃x(~Pxx ∧ ∃yPxy)
(ii)- T2 : ∃x∀yPxy ; ∀x~∀yPyx
(iii)- T3 : ∀x∃yRxy ; ∃x∀y~Ryx ;
(iv)- T3 + ∀x∀y(Rxy⇒~Ryx)
(v)- T3 + ∀x∀y(Rxy⇒~Ryx) ; ∀x∀y∀z((Rxy ∧ Ryz)⇒Rxz)
(vi)- T3 + ∀x∀y(Rxy⇒~Ryx) ; ∀x∀y∀z((Rxy ∧ Ryz)⇒Rxz) ; ∀x∀y(Rxy⇒∃z(Rxz ∧ Rzy))
3
Montrer que les raisonnements suivants sont incorrects :
(i)- Toutes les personnes aiment certaines personnes. Donc, certaines personnes sont aimées
de toutes.
(ii)- Tous les hommes haïssent certains hommes. Certains hommes ne se haïssent pas euxmêmes. Donc certains hommes haïssent tous les hommes excepté eux-mêmes.
(iii)- Certaines personnes sont aimées par tout le monde. Ceux qui aiment sont aimés. Donc
tout le monde est aimé par quelqu’un d’autre.
4
A votre avis, ce raisonnement est-il valide ?
Toutes les personnes s’aimant elles-mêmes n’aiment pas tout le monde. Il y a des gens qui
n’aiment personne. Donc, personne n’aime tout le monde.
5
Montrer que les structures suivantes ne sont pas élémentairement équivalentes :
(i)- M = {{a, b, c}, R* = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)}} et N = {{a, b, c}, R* = {(a, a), (b, b), (a,
c)}
(ii)- M = {{a, b, c}, R* = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)}} et N = {{a, c}, R* = {(a, a), (c, c), (a,
c)}
(iii)- M = {{a, b, c}, b* = b, R* = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)}} et N = {{a, b, c}, b* = b, R* =
{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b)}}
(iv)- M = {Z+, <} et N = {Z-, <}
(v)- M = {N, <} et N = {N, >}
(vi)- M = {Z, <} et N = {Q, <}
6
Soient M et N deux modèles d’une théorie T. Montrer que M et N ne sont pas
nécessairement élémentairement équivalentes.
7
Soit la formule (W) : ∃x∀y(Rxy ⇒ ~∃zRyz).
(i)- Est-elle vraie dans M = {{a, b, c}, R* = {(a, c), (b, a), (b, c), (b, b)}. (W) est-elle vraie
dans M ? Si ce n’est pas le cas, construisez une structure finie sur laquelle (W) est fausse.
(ii)- (W) est-elle vraie sur {N, <} ? Est-elle vraie sur {N, >} ?
(iii)- Montrer que la structure M’ = {{a, b, c}, R’* = {(a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (b, b), (c, c)}
n’est pas élémentairement équivalente à M.
(iv)- Soit T = (W) ; ∃x∀y(~x = y ⇒ Ryx) ; ∀x∀y∀z((Rxy ∧ Ryz) ⇒ Rxz)
Montrer que T n’est pas contradictoire. Montrer que l’on n’a pas T I= ∃xRxx. Montrer que
tous les modèles de T ne sont pas élémentairement équivalents.