Algèbre linéaire 2

Algèbre linéaire 2
Gaetan Bisson
[email protected]

Introduction
La géométrie, c’est-à-dire l’étude des objets et des transformations de l’espace, est un cadre
naturel pour formaliser de vastes familles de problèmes concrets; cela étant, leur résolution y
est souvent dicile ou articielle. À l’inverse, l’algèbre, qui traite des équations et de leur mani-
pulation, est plus abstrait mais dispose de puissants outils de résolution. Souvent, traduire un
problème géométrique en termes algébriques permet de le résoudre ecacement; inversement,
il peut être éclairant de traduire un problème algébrique en termes géométriques.
L’interfaceentre ces deuxdomaines, appelée géométrie algébrique, est unpan trèsimportant
des mathématiques modernes. L’algèbre linéaire en est le fondement : il porte sur une classe
élémentaire de transformations géométriques appelées applications linéaires (comprenant
notamment les symétries et les projections) et vise à les exprimer de manière algébrique puis à
développer les outils permettant de les maîtriser.
Les deux premiers chapitres rappellent les notions vues en cours d’algèbre linéaire 1; les
démonstrations y sont omises au prot des exemples et exercices. Le rythme des chapitres
suivants est moins soutenu an de permettre l’assimilation des concepts présentés par un
lectorat le plus vaste possible.
1

Table des matières
1 Espaces vectoriels 4
1.1 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Matrices 8
2.1 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Inversibilité 11
3.1 Caractérisations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Groupe linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Calcul directe d’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Équivalence et similitude 14
4.1 Similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Déterminants 16
5.1 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Cas élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.4 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.5 Développement de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.6 Déterminants particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.7 Inversion des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.8 Résolution des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 éorie spectrale 24
6.1 Valeurs et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 Sous espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.3 Sous espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2

7 Polynômes d’endomorphismes 28
7.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.3 Polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Réduction des endomorphismes 33
8.1 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.3 Forme de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3

Chapitre 1
Espaces vectoriels
Les espaces vectoriels peuvent être dénis sur un corps arbitraire ; dans ce cours, on
supposera que ce corps est soit celui des nombre complexes soit celui des nombres réels .
Étendre nos théorèmes à des corps quelconques ne serait pas insurmontable mais introduirait
davantage de technicité (concernant la caractéristique des corps et leurs clôture algébrique).
1.1 Combinaisons linéaires
Dénition. Un espacevectorielsur estun ensemble E munide deux applications
+:E×E→E
·:×E→E
qui vérient :
1. ∀(x,y,z)∈E3,(x+y) + z=x+ (y+z)(associativité)
2. ∃−→ 0∈E,∀x∈E,−→ 0+x=x(élément neutre)
3. ∀x∈E,∃y∈E,x+y=−→ 0(élément inverse)
4. ∀(x,y)∈E2,x+y=y+x(commutativité)
5. ∀x∈E, 1 ·x=x
6. ∀(λ,x,y)∈×E2,λ·(x+y) = λ·x+λ·y
7. ∀(λ,µ,x)∈2×E,(λ+µ)·x=λ·x+µ·x
8. ∀(λ,µ,x)∈2×E,λ·(µ·x) = (λµ)·x
Exemple. Sur on a notamment les espaces vectoriels suivants :
— l’espace usuel 3;
— l’espace à ndimensions n;
— l’espace des suites réelles ;
— l’espace des fonctions 0([0; 1],).
Les éléments de E sont appelés les vecteurs et ceux de les scalaires. Intuitivement, on peut
ajouter des vecteurs (par l’application + ) et les étirer suivant les scalaires (par l’application · ).
Les sommes de vecteurs étirés jouent un rôle central pour comprendre la structure des espaces
vectoriels.
Dénition. Soit (xi)i∈Iune famille nie de vecteurs de E.
On appelle combinaison linéaire des xi tout vecteur de la forme
i∈Iλixi
pour (λi)i∈I∈I .
Leur ensemble forme le sous espace vectoriel engendré par les xique l’on note 〈xi〉i∈I.
On dit que cette famille est :
4