Construction de l`ensemble des entiers relatifs

Construction de l’ensemble des entiers relatifs
Denis Vekemans
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On suppose l’ensemble des entiers naturels construit sur lequel l’addition et la multiplication sont définies.
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Problème de la différence de deux entiers naturels]
Soient a et b deux entiers naturels, l’équation x + b = a admet une solution d = a − b dans l’ensemble
uniquement dans le cas ou a ≥ b, si a < b l’équation x + b = a n’a pas de solution.
Exemples
– L’équation x + 3 = 4 admet pour solution unique x = 4 − 3 = 1 dans l’ensemble des entiers naturels ;
– l’équation x + 4 = 1 n’admet aucune solution dans l’ensemble des entiers naturels.
Ce problème va engendrer la construction de l’ensemble des entiers relatifs, on peut remarquer que pour
un entier naturel fixé d, il existe une infinité de couples (a; b) d’entiers naturels tel que d est la différence
a − b.
Exemple
3 = 5 − 2 = 6 − 3 = 18 − 15 = 13 − 10 = 100 − 97 = . . .
Considérons un entier naturel d fixé et soient deux couples d’entiers naturels (a; b) et (a′ ; b′ ) tels que
d = a − b = a′ − b′ . Si a − b = a′ − b′ alors a + b′ = a′ + b, mais cette dernière relation a + b′ = a′ + b n’est
pas uniquement vérifié dans le cas ou a ≥ b et a′ ≥ b′ .
Exemple
Les couples (3; 8) et (2; 7) sont tels que 3 + 7 = 2 + 8 et pourtant 3 < 8 et 2 < 7.
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Construction de l’ensemble des entiers relatifs
Dans un premier temps, on s’intéressera à l’ensemble Z des entiers relatifs à l’ensemble produit des
couples de N2 , muni de la relation précédente, deux couples (a; b) et (a′ ; b′ ) définirons le même élément si et
seulement si a + b′ = a′ + b ; dans le cas ou a ≥ b et a′ ≥ b′ les couples (a; b) et (a′ ; b′ ) définissent toujours
l’entier naturel d = b − a = b′ − a′ .
La relation vérifiée par deux couples (a; b) et (a′ ; b′ ) quelconque de N2 : a + b′ = a′ + b est bien une
relation d’équivalence, notons la ≡. On définit un entier relatif comme étant l’ensemble des classes de couples
équivalents par la relation ≡.
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Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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Construction de l’ensemble des entiers relatifs
2006
Exemple
(0; 5), (1; 6), (2; 7) ,(3; 8), (4; 9), . . . appartiennent à la même classe d’équivalence. Ils représentent un entier
relatif (que l’on notera (−5)).
2.1
Addition sur Z
Si (a; b) et (c; d) sont deux couples d’entiers naturels tels que a ≥ b et c ≥ d, alors le couple (a; b) définit
le nombre entier naturel a − b et le couple (c; d) définit le nombre entier naturel c − d, et additionner a − b
et c − d revient à calculer (a + c) − (c + d).
Il n’était pas nécessaire d’utiliser cette propriété pour additionner 2 et 6 mais pour définir une addition
qui coïncide quand les entiers relatifs sont des entiers naturels.
On définit donc l’addition sur N2 pour tous couples (a; b) et (c; d) d’entiers naturels par
(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d).
Cette addition sur N2 est une loi interne, commutative, associative et l’élément (0; 0) est l’élément neutre
pour cette loi. De plus, elle est compatible avec la relation ≡, et elle induit donc sur Z une addition commutative, associative, admettant pour élément neutre la classe des éléments équivalents à (0; 0).
2.2
Notation des entiers relatifs
Le dernier couple de chaque liste est appelé couple canonique il représente comme les autres le même
entier relatif mais ces éléments sont les plus petits possibles.
La classe d’équivalence du couple canonique (n; 0) où n est un entier naturel non nul est appelé entier
relatif strictement positif, on la note +n ou tout simplement n.
La classe d’équivalence du couple canonique (0; n) où n est un entier naturel non nul est appelé entier
relatif strictement négatif on la note −n.
La classe d’équivalence du couple canonique (0; 0) est appelé entier relatif nul on la note 0. L’entier
naturel n est appelé valeur absolue du nombre relatif n ou −n.
2.3
Multiplication sur Z
On définit d’abord une "multiplication" sur l’ensemble N2 .
On définit donc l’addition sur N2 pour tous couples (a; b) et (c; d) d’entiers naturels par
(a; b) × (c; d) = (a × c + b × d; a × d + b × c).
On démontre que cette multiplication sur N est une loi interne, commutative et distributive par rapport
à l’addition, qu’elle admet pour élément neutre le couple (1; 0) et qu’elle est compatible avec la relation
d’équivalence ≡. Elle induit donc sur Z une multiplication commutative, associative, distributive par rapport
à l’addition et admettant pour élément neutre la classe des éléments équivalents à (1; 0).
Remarque
(Z, +, ×) est un anneau d’intégrité commutatif et unitaire.
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Comparaison de deux entiers relatifs
Soient a, b, c trois entiers relatifs.
3.1
Relation d’ordre sur Z
Considérons la relation notée ≥ définie sur Z par :
a ≥ b ⇐⇒ (a − b) ∈ Z+ .
Cette relation est une relation d’ordre total sur Z et on dit a est supérieur ou égal à b.
Considérons la relation notée ≤ définie sur Z par :
a ≤ b ⇐⇒ (b − a) ∈ Z+ .
Cette relation est une relation d’ordre total sur Z et on dit a est inférieur ou égal à b.
3.2
Relation d’ordre strict sur Z
La relation notée > définie sur Z par : a ≥ b et a 6= b est une relation d’ordre strict sur Z. On dit a est
strictement supérieur à b.
La relation notée < définie sur Z par : a ≤ b et a 6= b est une relation d’ordre strict sur Z. On dit a est
strictement inférieur à b.
3.3
Propriétés
Les(relations ≤ et ≥ sont compatibles avec l’addition sur Z et la multiplication sur Z+ :
a≥b
–
=⇒ a + c ≥ b + c.
c∈Z
(
a≥b
–
=⇒ a × c ≥ b × c.
c ∈ Z+
(
a≤b
–
=⇒ a + c ≤ b + c.
c∈Z
(
a≤b
–
=⇒ a × c ≤ b × c.
c ∈ Z+
Autres propriétés :
– On(change le sens d’une inégalité quand on multiplie les deux membres par un nombre négatif :
a≥b
–
=⇒ a × c ≤ b × c.
c ∈ Z−
(
a≤b
–
=⇒ a × c ≥ b × c.
c ∈ Z−
– Tout entier positif est supérieur ou égal à 0.
– Tout entier négatif est inférieur ou égal à 0.
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2006
– Tout entier positif est supérieur ou égal à tout entier négatif.
– Tout sous ensemble majoré de Z admet un plus grand élément.
– Tout sous ensemble minoré de Z admet un plus petit élément.
– L’anneau (Z, +, ×) est archimédien : pour tout entier relatif non nul x et tout entier relatif y il existe
un entier relatif n tel que nx > y.
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