E115. Un impair, deux pairs, trois impairs. . .

E115.Un impair, deux pairs, trois impairs. . .
Vincent PANTALONI
28 novembre 2009
Enoncé : On considère la suite strictement croissante des entiers naturels qui commence par le
premier nombre impair (1) puis se poursuit avec les deux nombres pairs qui suivent 1 : 2 et 4
puis avec les trois nombres impairs qui suivent 4 : 5,7 et 9, puis avec les quatre nombres pairs qui
suivent 9 : 10, 12, 14 et 16 etc..
Trouver le 2009ième terme puis donner la formule exprimant le n-ième terme en fonction de n.
Solution : .....................................................................................
1 Observations et conjectures.
Écrivons les premiers termes de la suite :
1 ;
2 pairs
z}|{
2; 4 ; 5; 7; 9
| {z }
3 impairs
;
4 pairs
z}| {
10; 12; 14; 16 ; 17; 19; 21; 23; 25
| {z }
5 impairs
;
6 pairs
z}| {
26; 28; 30; 32; 34; 36 ; ...
Notons pour kentier non nul Tkle kenombre triangulaire i.e.
Tk= 1 + 2 + ···+k=k(k+ 1)
2
Notons (un)n∈N∗la suite étudiée. u1= 1 ;u2= 2 ;u3= 4. . .Par construction de la suite (un impair,
deux pairs, trois impairs. . . ) il est clair que chaque terme en fin de groupe (terme encadré) est un
terme d’indice T(k)pour un certain kdans N∗. De plus, par construction aussi, comme le terme
suivant le dernier entier nd’un groupe est le plus petit entier de parité différente de nqui lui est
supérieur, on a donc que le terme suivant nest n+ 1. Autrement dit :
Propriété 1 Pour tout kdans N∗,uT(k)+1 =uT(k)+ 1
Par observation des carrés (encadrés) ci-dessus on fait la conjecture suivante :
Propriété 2 Pour tout kdans N∗,uT(k)=k2
On prouvera cette propriété plus loin ; en l’admettant, comment déterminer unpour n∈N∗?
2 Calcul de un.
①On cherche d’abord l’entier ktel que : T(k)6n < T (k+ 1)
②Si n=T(k)alors un=k2(utilisant la prop. 2) et sinon :
③un=uT(k)+ 1 + 2 ×(n−T(k)−1). Car unest le (n−T(k)) ième terme d’une progression
arithmétique commençant à uT(k)+ 1 et de raison 2. Ainsi (utilisant la prop. 2) :
un=k2+ 1 + 2 ×(n−T(k)−1)
1

http://www.diophante.fr/ E115
On peut expliciter ken fonction de n, en effet, on montrera que :
Propriété 3 Pour tout ndans N∗, l’entier ktel que : T(k)6n < T (k+ 1) est :
k=E−1 + √1 + 8n
2
où E(x)est la partie entière du réel x, i.e. le plus grand entier inférieur ou égal à x.
En admettant ce résultat, cela donne pour u2009 :
k=E−1 + √1 + 8 ×2009
2=E(62,88) = 62
On peut vérifier que T62 = 1953 et T63 = 2016. On a donc bien T(62) 62009 < T (63). Ainsi :
u2009 = 622+ 1 + 2 ×(2009 −1953 −1) = 3845 + 2 ×55 = 3955
3 Preuves.
Prouvons les propriétés 2 et 3. La propriété 2 se prouve par récurrence :
Démonstration. Initialisation : T(1) = 1 et u1= 1 = 12donc on a bien uT(1) = 12.
Hérédité : Supposons que pour un certain kdans N∗on ait uT(k)=k2. On sait que uT(k)est le
dernier terme du groupe de knombres successifs de même parité. Les (k+ 1) termes suivants de
la suite sont donc de la forme k2+ 1 + 2ppour pallant de 0 jusqu’à k:
k2+ 1; k2+ 3; ... ;k2+ 1 + 2p;. . . k2+ 1 + 2k
Le dernier terme étant le dernier du groupe de k+ 1 nombres successifs de même parité, i.e. on
auT(k+1) =k2+ 1 + 2k= (k+ 1)2ce qui conclut l’hérédité. Ainsi par récurrence, on a bien que
pour tout kdans N∗,uT(k)=k2.
La propriété 3 découle d’une résolution d’inéquation du second degré :
Démonstration. Soit ndans N∗. L’entier ktel que : T(k)6n < T (k+ 1) est le plus grand entier
Ktel que T(K)6n. On cherche donc le plus grand entier vérifiant l’inéquation de variable x:
x(x+ 1)
26n(1)
Cette inéquation est équivalente à x2+x−2n60. Le trinôme x2+x−2na pour tout entier n
deux racines réelles (car ∆ = 1 + 8n > 0) qui sont :
x1=−1−√1 + 8n
2et x2=−1 + √1 + 8n 2
Ainsi les réels solution de (1) sont les réels de [x1;x2]. Le plus grand entier solution de (1) est donc
E(x2) = E−1 + √1 + 8n
2
Ainsi on peut donner une magnifique formule pour unselon si nest un nombre triangulaire ou
pas (i.e. selon si 1 + 8nest un carré d’entier ou pas). J’ai utilisé la formule E(x) + 1 = E(x+ 1)
valable pour tout réel xpour alléger un peu.
un=−1 + √1 + 8n
22
si √1 + 8n∈N,et sinon :
un=E−1 + √1 + 8n
22
+ 1 + 2 ×
n−1−
E−1 + √1 + 8n
2×E1 + √1 + 8n 2
2
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