Algèbre et Arithmétique 2

Licence 1 Mathématiques 2016-2017
Algèbre et Arithmétique 2
Feuille d’exercices n¶2
Exercice n¶1
Soit un corps K. Considérons l’ensemble K[X]des polynômes à coefficients dans Ket soient A,B,C,U,V
des éléments de cet anneau. Montrer que si Adivise Bet Calors il divise UB +VC.
Exercice n¶2
Soient Aet Bdeux éléments de K[X](où Kdésigne un corps commutatif).
1) Montrer que : ’kœNú,A
k≠Bk=(A≠B)
k≠1
ÿ
i=0
AiBk≠1≠i.
2) En déduire que A(X)≠Xdivise B(A(X)) ≠B(X)puis que A(X)≠Xdivise A(A(X)) ≠X.
Exercice n¶3
À quelles conditions sur (a, b, c)œR3le polynôme X4+aX2+bX +cest-il divisible par X2+X+1?
Exercice n¶4
Effectuer les divisions euclidiennes de Apar Bdans les cas suivants :
1) A=2X6+6X5+X3≠8Xet B=X+3;
2) A=4X4+X2+1et B=X≠1;
3) A=X5≠2X4+3X3≠4X2+5X≠5et B=X2+X+1.
Exercice n¶5
Dans C[X], effectuer la division euclidienne de X2≠3iX ≠5(1 + i)par X≠1+i.
Exercice n¶6
Dans chacun des cas suivants, utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer un pgcd D de Aet Bpuis
trouver deux polynômes Uet Vtels que : AU +BV =D.
1) A=3X3+2X2+2et B=X2≠2.
2) A=(X≠1)2et B=(X+ 1)2.
3) A=3X3≠2X2≠7X≠2et B=2X2+3X+1.
4) A=X5≠iX4+X3≠X2+iX ≠1et B=X4≠iX3+3X2≠2iX +2.
Exercice n¶7
Dans chacun des cas suivants, calculer le pgcd unitaire Dde Aet Bpuis trouver deux polynômes Uet V
tels que : AU +BV =D.
1) A=X3+1et B=X2+X+1.
2) A=X3≠X2≠X≠2et B=X5≠2X4+X2≠X≠2.
1

3) A=X4+X3≠2X+1et B=X2+X+1.
Exercice n¶8Contrôle continu 2016
On considère les polynômes A=X4+X3+Xet B=X3+X+1de R[X].
1) Calculer le pgcd (unitaire) Dde Aet B.
2) Trouver deux polynômes U0et V0tels que AU0+BV0=1.
3) Soient Uet Vdeux polynômes tels que AU +BV =1. Montrer que Adivise V≠V0.
4) Trouver tous les polynômes Uet Vtels que AU +BV =1.
Exercice n¶9
Soient A=X4≠2X3≠2X2+ 10X≠7et B=X4≠2X3≠3X2+ 13X≠10. Trouver tous les polynômes
Uet Vde R[X]tels que AU +BV soit un pgcd de Aet B.
Exercice n¶10
Soient deux polynômes Aet Bnon tous deux nuls. On note Dle pgcd unitaire de Aet B,etU,Vdeux
polynômes satisfaisant : AU +BV =D. Donner un pgcd de Uet V.
Exercice n¶11
Soient Aet Bdeux polynômes premiers entre eux. Montrer que si met nsont deux entiers naturels, alors
les polynômes Amet Bnsont aussi premiers entre eux.
Exercice n¶12
Soient Aet Bdans K[X].
1) A-t-on pgcd(A, B)=1≈∆ pgcd(A+B, AB)=1?
2) A-t-on pgcd(A, B)=pgcd(A+B, AB)?
Exercice n¶13 (ı)
Soient aœKúet (n, k)œ(Nú)2. On suppose n>ket on note qle quotient et rle reste de la division
euclidienne de npar k.
1) Montrer que le reste de la division euclidienne de Xn≠anpar Xk≠akest égal à akq(Xr≠ar).
2) Notons d=pgcd(n, k). Montrer que pgcd(Xn≠an,Xk≠ak)=Xd≠ad.
Exercice n¶14 Contrôle continu 2013
On considère les polynômes de R[X]suivants :
P(X)=(X+ 1)2(X+ 2)(X2+ 1)2
Q(X)=(X+ 3)2(X+ 2)2(X2+ 1)(X2+X+ 1)
R(X)=(X+ 3)3(X+ 1)(X2+ 1)3
1) Donner le pgcd et le ppcm de Pet Q
2) Donner le pgcd et le ppcm des trois polynômes P,Qet R. (On généralise facilement les définitions et
résultats donnés pour deux polynômes au cas de plusieurs polynômes.)
2

Exercice n¶15
Soient A,Bet Cles polynômes de R[X]suivants :
A=(X+ 3)2(X+ 1)(X2+ 1)3B=(X+ 3)2(X+ 2)2(X2+ 1) C=(X+ 3)(X+ 2)(X2+ 1)2.
1) Combien Apossède-t-il de diviseurs normalisés ? et B?etC?
2) Donner le pgcd et le ppcm de Aet B.
3) Donner le pgcd et le ppcm des trois polynômes A,Bet C.
Exercice n¶16
Soient A=2X4≠2X3+3X2≠X+1et B=X4≠X3+3X2≠2X+2dans R[X]. Calculer pgcd(A, B)et
factoriser Aet Ben produit de polynômes irréductibles de R[X].
Exercice n¶17 Contrôle continu 2014
1) Calculer le pgcd unitaire Ddes polynômes A=X4+X2≠2Xet B=X3≠X2≠4.
2) Trouver deux polynômes Uet Vtels que D=AU +BV .
3) Déterminer le ppcm unitaire de Aet B.
4) Déterminer les décompositions en facteurs irréductibles de Aet Bdans R[X]puis dans C[X].
Exercice n¶18 Contrôle continu 2015
1) Calculer le pgcd unitaire Ddes polynômes A=X4≠4X3+2X2+X+6 et B=X4≠3X3+2X2+X+5.
2) Trouver deux polynômes Uet Vtels que D=AU +BV .
3) Déterminer les décompositions en facteurs irréductibles de Aet Bdans R[X].
4) Déterminer le ppcm unitaire de Aet B.
Exercice n¶19
On note R[X]l’ensemble des polynômes à coefficients réels et deg(A)le degré d’un polynôme Ade R[X].
Soient A=X3+2X2≠X≠2et B=X3≠3X≠2.
1) Calculer Dle pgcd unitaire de Aet B.
2) Trouver deux polynômes U0et V0de R[X]vérifiant la relation AU0+BV0=Davec deg(U0)<deg(B)
et deg(V0)<deg(A).
3) Déterminer les décompositions en facteurs irréductibles de Aet Bdans C[X].
4) Trouver le ppcm unitaire de Aet B.
Exercice n¶20
Mêmes questions qu’à l’exercice précédent avec A=3X3≠2X2≠7X≠2et B=2X2+3X+1.
Exercice n¶21
Effectuer la division de A=X6≠2X4+X3+1par B=X3+X2+1suivant les puissances :
1) décroissantes (division euclidienne) ; 2) croissantes, à l’ordre 4.
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Exercice n¶22
1) Effectuer la division suivant les puissances croissantes de X3≠1par X2+1à l’ordre 3.
2) En déduire une primitive sur ]0,+Œ[de f:R≠æ R,x‘≠æ x3≠1
x4(x2+ 1).
Exercice n¶23
Soient A=1+2X+3X2+3X3+2X4+X5et B=X5.
1) Vérifier que Aet Bsont premiers entre eux.
2) Trouver (U, V )œ(K[X])2tels que A.U +B.V =1(utiliser une division suivant les puissances croissantes).
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