du 21 au 25 novembre

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COLLES
P T S I M A T H S - I1A - Semaine N° 8 : du 21 au 25 novembre 2016
Définitions et théorèmes à connaître :
Chap 6– systemes linéaires.
Système linéaire de n équations et à p inconnues, coefficients du système, second membre. inconnues du système,
matrice du système, système homogène.
Diagonale d’un système, système triangulaire supérieur.
Matrice échelonnée par lignes, système linéaire échelonné par lignes.
Equations auxiliaires, équations principales, et rang d’un système échelonné.
Inconnues principales, inconnues secondaires.
• Algorithme du pivot de Gauss.
Fiche C4 - travail en autonomie
calculs systèmes (section TD, site MLP )
Dans le cas de systèmes à 2 inconnues, interprétation dans le plan. (Intersection de droites du plan)
Dans le cas de systèmes à 3 inconnues, interprétations dans l’espace. (Intersection de plans de l’espace)
Chap 7– Calcul matriciel.
matrice réelle de type ( n, p ) , ensemble M n , p ( R ) . matrice carrée d’ordre n (ou de type ( n, n ) ), ensemble M n ( R ) .
Matrice nulle de type ( n, p ) , matrice ligne, matrice colonne, diagonale d’une matrice, matrice diagonale, matrice identité
d’ordre n (ou matrice unité d’ordre n)
Matrice transposée, matrice symétrique, matrice antisymétrique, matrice triangulaire supérieure, matrice triangulaire
inférieure, polynôme matriciel.
Ecriture matricielle d’un système
Matrice du système, matrice inconnue, matrice second membre : ( S ) ⇔ AX = B
Opérations
Opérations et compatibilité : somme de matrices, multiplication externe, multiplication interne.
La multiplication interne n’est pas commutative.
La multiplication interne n’est pas intègre : ( A × B = 0 ) ⇒ ( A = 0 ou B = 0 )
Soit A, B et C trois matrices de même type ( n, p ) .
• A+ B = B + A
la loi + est commutative
•
( A + B) + C = A + (B + C)
• A+0 = 0+ A = A
•
t
( A + B) =
t
la loi + est associative
la matrice nulle 0 np est élément neutre pour la somme dans M n , p ( R )
A+ B
t
Soit A, B et C trois matrices. Sous réserve de compatibilité des opérations :
• A × (α B ) = (α A ) × B = α AB
pour α ∈ K
• A × ( B + C ) = AB + AC
•
•
•
( B + C ) × A = BA + CA
A × ( BC ) = ( AB ) × C = ABC
t
( A× B) =
t
la loi × est distributive sur la somme ( à droite et à gauche )
la loi × est associative
B× A
t
• si A est une matrice carrée d’ordre n, A × I n = I n × A = A
Matrices inversibles (matrices carrées d’ordre n)
Matrice inversible, ensemble GLn ( K ) .
• def : A est inversible si il existe une matrice B carrée d’ordre n telle que AB = BA = I n . Et alors A−1 = B
On doit dissocier M × N −1 et N −1 × M . Donc jamais de quotient de matrices !!
• prop : Soit A ∈ M n ( R ) . Si il existe une matrice B ∈ M n ( R ) tq AB = I n , alors A est inversible, et A−1 = B .
• cas des matrices d’ordre 2.
a b
1  d −b 
−1
La matrice A = 

.
 est inversible ssi det ( A) = ad − bc ≠ 0 , et alors A =
det ( A )  −c a 
c d
• Soit ( S ) un système à n équations et n inconnues d’écriture matricielle : AX = B
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A est inversible si et seulement si le système ( S ) possède une unique solution. Et alors X = A−1 B .
• Algorithme de Gauss Jordan.
matrices équivalentes par lignes, notation A ∼ A′ .
L
Soit A et B matrices d’ordre n.
( )
• Si A est inversible, alors A−1 est inversible et A−1
−1
= A.
• Si A et B sont inversibles, alors A × B est inversible et ( A × B ) = B −1 × A−1 .
−1
• Si A est inversible, alors t A est inversible et
•
•
•
•
( A)
t
−1
=
t
(A ) .
−1
Si A équivaut en lignes à une matrice inversible, alors A est inversible.
Si A équivaut en lignes à une matrice non inversible, alors A est non inversible.
Une matrice contenant une colonne de 0 (ou une ligne de 0) n’est pas inversible.
Une matrice triangulaire est inversible ssi ses termes diagonaux sont tous non nuls.
Méthodologie - calcul de A−1
→ Utilisation de la prop ( trouver B tel que AB = I ).
→ Formule pour n = 2 .
→ Polynôme annulateur de la matrice.
→ Inversion de système.
→ Méthode de Gauss Jordan.
Puissances de matrices (matrices carrées d’ordre n)
Puissances d’une matrice carrée :
Soit A, matrice carrée d’ordre n. On définit par récurrence : A0 = I et ∀p ≥ 0, A p +1 = A p . A = A. A p
Méthodologie - Calcul de A p
→ Conjectures, puis récurrence.
→ Cas particuliers ( matrices diagonales, matrices nilpotentes )
→ Utilisation de la formule du binôme de Newton sous condition.
→ Utilisation de l’algèbre linéaire (trouver une matrice B plus simple tq A = PBP −1 , avec aide)
• Si A est diagonale, alors ∀p ∈ N ∗ , A p s’obtient en élevant les termes diagonaux à la puissance p.
p
 p
p
• Si A et B commutent, alors ∀p ∈ N , ( A + B ) = ∑  Ak B p − k (formule du binôme de Newton)
k =0  k 
Chap 8– Calcul intégral. (partie 1 : prérecquis de terminale)
Primitive d’une fonction f continue sur un intervalle. Intégrale d’une fonction f continue sur un segment.
• si f et g sont continues sur un intervalle I, et a et b appartenant à I :
a
∫
f ( t ) dt = 0 et
a
Linéarité :
Chasles :
a
∫
b
f ( t ) dt = − ∫ f ( t ) dt
b
a
b
b
a
a
b
∫ (α f ( t ) + β g ( t ) ) dt = α ∫ f (t ) dt + β ∫ g ( t ) dt
si c appartient à I alors
a
b
c
b
a
a
c
∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt
• Si f possède une primitive F sur un intervalle I,
alors toutes les autres primitives de f sur I sont de la forme F + c où c ∈ R .
• Soit f et g deux fonctions vérifiant f ′ = g ′ sur un intervalle I. Alors f = g + c sur I.
• Toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives sur cet intervalle.
• En particulier, si f est continue sur I, et a ∈ I ,
x
Alors la fonction H : x ֏
∫ f ( t ) dt
est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
a
• Si f est continue sur [ a, b ] , et F une primitive de f sur [ a, b ] , alors
b
∫ f ( t ) dt = F ( b ) − F ( a ) .
a
Les notions d’IPP et de changement de variables seront pour la colle suivante
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Démonstrations ou exercices à comprendre et savoir refaire :
Exos cours chap 7
 0 1 −1 


2
−1
A
=
•
 −3 4 −3  . Calculer A − 3. A + 2 I . En déduire que A est inversible et donner A .
 −1 1 0 


 1 1 1


• T =  0 1 1 . Calculer T n .
 0 0 1


Exos cours chap 8
• Chercher les primitives suivantes : A ( x ) = ∫
1/ 2
• Calculer les intégrales suivantes : F =
∫
0
1
dx
( x − 3)
B ( x) = ∫
1
G=
1− x
1/ 2
2
dx
∫
0
1
( x − 3)
dx
C ( x) = ∫
3
x
1− x
2
2
dx
J =∫
2
1
( x − 3)
x
(1 + x )
2
2
3
dx
.dx
Savoir-faire :
•
Savoir appliquer l’algorithme du pivot de Gauss pour résoudre un système linéaire, et savoir identifier la nature du
résultat (ensemble vide, point, droite, plan..)
•
Maîtriser les opérations matricielles (somme, produit interne et produit externe)
•
Inversibilité et calcul de A−1 par Gauss-Jordan.
•
Calcul de A p .
•
Connaître le tableau des primitives usuelles et savoir reconnaître les formes classiques ( u ′u n ,
u ′ u′
,
, etc..)
un u