Équations différentielles

Équations différentielles
Les équations différentielles sont des équations dans lesquelles l'inconnue est une fonction, on retrouve
également dans ces équations la dérivée de cette fonction ou encore sa dérivée n-ième.
Ce type d'équations est apparu vers la fin du XVIIème – début du XVIIIème siècle sous l'impulsion d'Isaac
Newton, on les retrouve régulièrement dans les problèmes de mécanique, étude de mouvements, etc.
Dans les équations différentielles, les fonctions inconnues sont souvent notées y (au lieu de f) et les dérivées
successives sont notées y', y''…
Définition : • Une équation différentielle ne contenant que la fonction y et sa dérivée y' est dite du premier
ordre.
• Une équation différentielle ne contenant que la fonction y, sa dérivée y' et sa dérivée seconde
y'' est dite du second ordre.
• Une équation différentielle de la forme : y + a.y' + b.y'' + … = 0 est dite du linéaire.
I) Équations du premier ordre
Propriété : Soit a un nombre réel constant. Les solutions de l'équation différentielle linéaire du premier ordre
y' + a.y = 0 sont de la forme : y = k.e
–ax
où k est un nombre réel constant.
Exemples : • Résolution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre : 2y' – 3y = 0.
On a : y' –
2
3y = 0. Donc y = k.
x
2
3
e où k est un nombre réel constant.
• AVEC CONDITION INITIALE : La fonction f est solution de l'équation différentielle linéaire
du premier ordre : y' – 5y = 0 telle que f(0) = 3.
La fonction f est de la forme x
a
k.e
5x
où k est un nombre réel constant.
Donc f(0) = k × e
0
= k = 3. Ainsi f(x) = 3.e
5x
.
Propriété : Soient a et b deux nombres réels constants. Les solutions de l'équation différentielle du premier
ordre y' + a.y = b sont de la forme : y = k.e
–ax
+ a
b où k est un nombre réel constant.
Exemples : • Résolution de l'équation différentielle du premier ordre : 2y' – 3y = 4.
On a : y' –
2
3y = 2. Donc y = k.
x
2
3
e –
3
4 où k est un nombre réel constant.
• AVEC CONDITION INITIALE : La fonction f est solution de l'équation différentielle linéaire
du premier ordre : y' – 5y = – 10 telle que f(0) = 3.
La fonction f est de la forme x
a
k.e
5x
+ 2 où k est un nombre réel constant.
Donc f(0) = k × e
0
+ 2 = k + 2 = 3. Donc k = 1. Ainsi f(x) = e
5x
+ 2.
II) Équations du second ordre
Propriété : Soit ω un nombre réel constant non nul. Les solutions de l'équation différentielle linéaire du
second ordre y'' + ω
2
.y = 0 sont de la forme : y = a cos (ωx) + b sin (ωx) où a et b sont des
nombres réels constants.
Exemples : • Résolution de l'équation différentielle linéaire du second ordre : 4y'' + 16y = 0.
On a : y'' + 4y = 0. Donc y = a cos (2x) + b sin (2x) ; avec a et b deux réels constants.
• AVEC CONDITIONS INITIALES : La fonction f est solution de l'équation différentielle
linéaire du second ordre : y'' + 100y = 0 telle que f(0) = 0 et f '(0) = 10.
La fonction f est de la forme x
a
a cos (10x) + b sin (10x) ; avec a et b deux réels constants.
Donc f(0) = a cos (0) + b sin (0) = a = 0. Ainsi f(x) = b sin (10x) et f '(x) = 10 b cos (10x).
De plus f '(0) = b × 10 cos (0) = 10 b = 10. Ainsi b = 1 et f(x) = sin (10x).

Propriété admise : Soit ω un nombre réel constant non nul. Les solutions de l'équation différentielle linéaire
du second ordre y'' + ω
2
.y = 0 sont de la forme : y = f (t) = a sin (ωx + ϕ
ϕϕ
ϕ) où a et ϕ sont
des nombres réels constants.
Exemple : La fonction f est solution de l'équation différentielle linéaire du second ordre : y'' + 4y = 0 telle
que f(0) = 0 et f '(0) = 2.
La fonction f est de la forme x
a
a sin (2x + ϕ) ; avec a et ϕ deux réels constants, et on a :
f '(x) = 2 a cos (2x + ϕ).
Donc f(0) = a sin (ϕ) = 0 ; et f '(0) = a × 2 cos (ϕ) = 2, d'où a cos (ϕ) = 1
Ainsi : (a sin (ϕ))
2
+ (a cos (ϕ))
2
= a
2
= 1 Donc a = 1 ou a = –1
Si a = 1, on a sin (ϕ) = 0 et cos (ϕ) = 1, donc ϕ = 0 [2π]
Si a = –1, on a sin (ϕ) = 0 et cos (ϕ) = –1, donc ϕ = π [2π]
Donc f(x) = sin (2x) OU BIEN f (x) = – sin (2x + π
ππ
π).