Statistiques Chapitre 1: Rappels de calcul de Probabilité

Statistiques
Chapitre 1: Rappels de calcul de Probabilité
Catherine Bruneau
Année 2004
1Expériencealéatoire
Definition 1 Uneexpérienceestditealéatoiresionnepeutpasprévoirl’issue
avec certitude
Example 2 : on lance un dé et on ne sait pas quelle face va apparaître
Definition 3 On appelle Ωl’ensemble des issues possibles, notées ω.
Example 4 On lance deux dés: l’ensemble Ωcomporte 36 éléments; il est défini
par:
Ω={(1,1),(1,2),...,(6,6)}
Definition 5 Un évènement Aest une partie de Ωdonc un ensemble d’issues
possibles ω.
Example 6 Un évènement élémentaire est réduit à une seule issue: {ω}
Example 7 un évènement possible lorqu’on lance deux dés noir et rouge: A:
lasommedespointsdesdeuxfacesapparuesest≥10:
A={(4,6); (6,4); (5,5); (5,6); (6,5); (6,6)}
Definition 8 A tout évènement Aon associe son contraire: Aqui est défini
comme le complémentaire de Adans Ω:
A∪A=Ω
A∩A=φ
où φdésigne le sous-ensemble vide (complémentaire de Ωdans Ω). Ωest
l’évènement cetain: n’importe quelle issue réalise Ω
1

Definition 9 Un sous-ensemble Ade l’ensemble P(Ω)des parties de Ω,est
une tribu d’évènements définie sur Ω,sielleobéitauxtroisaxiomes:
i) ∀A∈A,A∈A
ii) Pour toute suite finie ou infinie (dénombrable) d’évènements Ai,i =
1,2, ... d’évènements de A,∪iAi∈A
iii) Ω∈A
(Ω,A)est appelé espace probabilisable
Definition 10 Deux évènements Aet Bsont dits incompatibles si leur inter-
section est vide: A∩B=φ
Example 11 on lance un dé: A={la face tirée est paire}={2,4,6}.B=
{la face tirée est impaire}={1,3,5}
Definition 12 Une partition de Ωest une suite finie d’évènements disjoints
(ou incompatibles) Ωk,1≤k≤K(Ωk∩Ωk0=φ,pourk6=k0) dont l’union
donne Ω:
[
1≤k≤K
Ωk=Ω
Example 13 Exemple On lance un dé: Ω1={la face tirée est inférieure ou égale à 2};
Ω2={la face tirée est comprise entre 2et 4};Ω3={la face tirée est supérieure ou égale à 5}.
Exemple Le temps de demain; Ω1={il fait beau};Ω2={il fait mauvais}
2 Probabilité
Definition 14 (Axiomatique de Kolmogorov): On appelle probabilité sur l’espace
probabilisable (Ω,A)une application de Adans [0,1]qui à chaque évènement A
de Ωassocie sa probabilité P(A)), satisfaisant les axiomes suivants:
i) P(Ω)=1
ii) Pour toute suite finie ou non (mais dénombrable) d’évènements Ai⊂Ω,
incompatibles:
P([
i
Ai)=X
i
P(Ai)
On parle alors d’espace probabilisé (Ω,A,P).
Propriété ∀A∈C, P(A)=1−P(A)
Definition 15 Propriété P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Propriété Si on a une partition de Ω,{Ωk,1≤k≤K}, pour tout évènement
Ade Ω, la propriété suivante est vérifiée:
P(A)=
K
X
k=1
P(A∩Ωk)
2

Exercice: établir les différentes propriétés
Remarque: historiquement la probabilité d’un évènement a été introduite
comme limite de la fréquence d’occurrence de cet évènement, observée en re-
produisant de manière indépendante une même expérience aléatoire un grand
nombre de fois. Il s’agit de l’approche fréquentiste de Bernouilli. Par exemple;
onlancelemêmedé(nonpipé)nfois, et on note combien de fois l’évènement
”la face est 3” s’est produit lors des nlancés, soit n3. la fréquence n3
ntend vers
1
6lorsque ntend vers l’infini: 1 6est la probabilité d’observer la face 3(lorsque
le dé n’est pas pipé, car alors les 6faces sont équiprobables).
On définit la probabilité conditionnelle de la manière suivante:
Definition 16 Etant donnés deux évènements Aet Bon appelle probabilité
coinditionnelle ”sachant B”la probabilité définie sur Ωpar:
A→P(A/B)=P(A∩B)
P(B)
Exercice:vérifier que cette application définit bien une probabilité sur Ω
Example 17 On lance successivement deux dés; il y a 36 issues possibles comme
vu précédemment. Soit Bl’évènement : ”la somme des deux faces est paire”;
Soit Al’évènement: ”la face du premier dé est paire”.
B=½(1,1); (1,3); (1,5); (2,2); (2,4); (2,6); (3,1); (3,3); (3,5); (4,2);
(4,4); (4,6); (5,1); (5,3); (5,5); (6,2); (6,4); (6,6) ¾
définit le nouvel ensemble des issues possibles. Il y en a 18.
A={(2,2); (2,4); (2,6); (4,2); (4,4); (4,6); (6,2); (6,4); (6,6)}
Aest réalisé quand on observe l’une des 9issues précédentes sur les 18
possibles, ce qui donne une probabilité:
P(A/B)= 9
18=1 2
On vérifiequeA∩B={(2,2); (2,4); (2,6); (4,2); (4,4); (4,6); (6,2); (6,4); (6,6)}.
P(A∩B)= 9
36 =1 4;P(B)=18 36 =1 2
donc P(A∩B)
P(B)=
1
4
1
2
=1
2=P(A/B)
Proposition 18 Définition Aet Bsont deux évènements indépendants si et
seulement si P(B/A)=P(B)
Propriété Aet Bsont deux évènements indépendants si et seulement si P(A∩
B)=P(A)P(B)
3

3 Probabilité a priori, a posteriori et formule de
Bayes
Proposition 19 FormuledeBayes.EtantdonnéeunepartitiondeΩ,Ω=
S1≤k≤KΩket Ωk∩Ωk0=φpour k6=k0,etAun évènement (A⊂Ω), on a:
P(Ωk0/A)= P(A/Ωk0)P(Ωk0)
P1≤k≤KP(A/Ωk)P(Ωk)
En effet: P(A/Ωk0)P(Ωk0)=P(A∩Ωk0)et
P1≤k≤KP(A/Ωk)P(Ωk)=P1≤k≤KP(A∩Ωk)=P(A).
Cette formule s’interprète de la manière suivante: on appelle P(Ωk0)la
probabilité a priori de l’évènement Ωk0et P(Ωk0/A)la probabilité a posteriori,
c’est-à-dire ”sachant que l’évènement As’est réalisé”.
On donne l’exemple suivant.
On s’intéresse à la prévision du temps du lendemain en utilisant un baromètre.
On considère la partition de Ωen deux évènements Ω1: ”il fait beau” et Ω2:
”il fait mauvais temps”.
Des statistiques météorologiques fournissent une estimation des probabilités
apriori: π1=P(Ω1)et π2=1−π1pourunerégionetunepériodedel’année
données, soit:
π1=0.60
Les caractéristiques du baromètre sont telles qu’il prévoit à tort du beau
temps -respectivement du mauvais temps- 1fois sur 10- respectivement 2fois
sur 10 pour la prévision du beau temps et 12 fois sur 100 pour la prévision
du mauvais temps. On appelle Al’évènement :”prévision de beau temps”. Par
définition, l’évènement Acorrespond à la prévision de mauvais temps.
Les performances prédictives du baromètre sont donc les suivantes:
P(A/Ω1)=0.20
P(A/Ω2)=0.10
Par suite, si le baromètre indique qu’il va faire beau, la probabilité qu’il fasse
effectivement beau -probabilité a posteriori- est donnée par:
P(Ω1/A)= P(A/Ω1)P(Ω1)
P(A/Ω1)P(Ω1)+P(A/Ω2)P(Ω2)
=0.80x0.60
0.80x0.60 + 0.20x0.40
=0.86
à comparer à la probabilité de 0.60, donnée sans référence au baromètre.
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4 Variable aléatoire
Une variable aléatoire varie selon l’aléa: sa valeur dépend de l’aléa ω.
Definition 20 Etant donné un espace Ωmuni d’une tribu d’évènements A,on
appelle variable aléatoire réelle Xdéfinie sur (Ω,A) toute application de Ωdans
(R, B)telle que:
∀B∈B,X−1(B)∈A
Bdésigne la tribu des boréliens de l’ensemble des réels R, c’est-à-dire la plus
petite tribu définie sur Rqui contient les intervalles ouverts de R.
4.1 Variables alétoires discrètes
Definition 21 Une variable alétoire est dite discrète si elle ne prend qu’un
nombre fini ou dénombrable de valeurs: X(ω)∈{x1, ..., xK, ...}.
Definition 22 Si (Ω,A)estmunid’uneprobabilitéP, la distribution -ou loi-
de probabilité de Xest caractérisée par la donnée de pk=P(X=xk)=
P({ω/X(ω)=xk}).
Remarque: On a Pkpk=1.
Exemple: On jette un dé jusqu’à ce que la face 1apparaisse. On appelle X
la variable aléatoire qui est égale au numéro du lancé qui fait apparaître 1pour
la première fois. L’ensemble des valeurs possibles est l’ensemble des entiers, N.
Dans ce cas, pour tout entier k,X=kavec la probabilité pk=1
6x¡5 6¢k−1.
Definition 23 On appelle espérance d’une variable aléatoire X,laquantité
EX =Pkpkxk.
Definition 24 On appelle variance de Xla quantité VarX =E¡(X−EX)2¢=
Pkpk(xk−EX)2
Rappel: on montre que VarX =E(X2)−(EX)2
Definition 25 On appelle covariance de deux variables aléatoires Xet Ydéfinies
sur un espace (Ω,A,P), la quantité:
cov(X, Y )=E((X−EX)x(Y−EY ))
=E(XxY)−EXxEY
Propriété Pour deux variables aléatoires réelles Xet Ydéfinies sur une space
(Ω,A,P), et tous scalaires λet µ,onaE(λX+µY )=λE(X)+µE(Y)
1. et Var(λX+µY )=λ2Var(X)+µ2Var(Y)+2λµcov(X, Y )
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