Cinématique - p l a f . o r g

Sciences physiques EXERCICES
http://www.plaf.org/phycats Prépa ATS Dijon - Sciences physiques – CINÉMATIQUE
M01. Petit exo sur les coordonnées cartésiennes.
Un point matériel M se déplace avec une vitesse qui s'exprime dans un repère cartésien par :
v
(3t² + t ; 0 ; 2 + 3t). A t = 0, il est en M
0
(2, 3, 2).
1) Calculer l'accélération du point M.
2) Donner l'équation horaire de sa trajectoire.
M 02. La cinématique en s'amusant.
Soit un mouvement dont les composantes sont : x = 1 + 3 t et y = 1 + 4 t.
Déterminer l'équation (cartésienne) de la trajectoire, la vitesse et l'accélération (modules) du mobile.
M 03. Mouvement dans le champ de pesanteur, petite étude cinématique.
Les équations paramétriques du mouvement d'un point matériel lancé dans l'espace sont :
x = 2t y = 0 z =–5t² + 4t.
Les distances sont mesurées en mètres, les durées en secondes et l'axe Oz est vertical ascendant. On prendra t 0.
1) Donner l'équation cartésienne de la trajectoire.
2) Déterminer le vecteur vitesse du point matériel :
a) lorsque ce point passe par le sommet de la trajectoire,
b) lorsque ce point rencontre le plan z = 0,
3) Déterminer le vecteur accélération du point matériel mobile.
M 04. La cinématique c'est fantastique.
Les coordonnées cartésiennes d'une particule à l’instant t sont données par les équations suivantes, dites équations
horaires : 1) x = 1 + t y = 1 - 2t z = -t
2) x =
3
+ 2t y = sin t z = 0
Dans chacun des deux cas, reconnaître et tracer la trajectoire.
M 05. Oscillateur harmonique.
On donne le mouvement rectiligne sinusoïdal : x = a cos ω t + b sin ω t ; a et b constantes choisies positives pour le
raisonnement.
1) Montrer qu'il existe deux quantités A et ϕ telles qu'à tout instant t, x puisse être écrit : x = A cos ( ω t + ϕ ).
2) Etablir la relation entre l'abscisse x et l'accélération d'un tel mouvement.
M 06. Attention, piège !
Une particule M initialement au repos en x
0
se déplace en ligne droite avec une accélération :
ak
x
u= −
²
. où x désigne l'abscisse de la particule et
u
un vecteur unitaire (voir figure). k = constante.
Calculer sa vitesse au point d'abscisse x.
M 08. Coordonnées cylindriques : dérivation des vecteurs de base.
1) Dans un repère cylindrique, de quelle(s) variable(s) r, θ , ou z dépendent les vecteurs de base ?
2) Exprimer
r
u
et
u
θ
en fonction de
x
u et
y
u .
3) Dériver
r
u
et
u
θ
par rapport à θ .
4) En déduire que
r
du
u
dt
θ
θ
=
ɺ
et
r
du
u
dt
θ
θ
= −
ɺ
CE RÉSULTAT EST À CONNAÎTRE
01
08
M

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M 09. Vitesse et accélération dans un repère cylindrique.
Montrer que pour un point de coordonnées cylindriques (r, θ , z),
r z
ru r u zu
θ
θ = + +
ɺ
ɺ
ɺ
v et ( ²) ( )
r z
a r r u 2r r u zu
θ
θ θ θ = − + + +
ɺ ɺ ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ ɺ
M 10. Vitesse dans un repère sphérique.
Montrer que pour un point de coordonnées sphériques (r, θ , ϕ ), sin
r
ru r u r u
θ ϕ
θ ϕ θ
= + +
ɺ
ɺ
ɺ
v
M 11. Accélération dans un repère de Frénet.
1) On montre que
T
N
du
u
dt ρ
=
v
, avec ρ : rayon de courbure de la trajectoire en M. On rappelle que
.
T
v v u
= En
déduire que :
²
T N
d
a u u
dt ρ
= +
v v
CES RÉSULTATS SONT À CONNAÎTRE
2) Que devient l'expression précédente dans le cas d'un mouvement uniforme ? dans le cas d'un mouvement
rectiligne ?
M 12. Ça m'rappelle mon premier vélo.
Une roue circulaire (C), de rayon R, roule sans glisser sur Ox, tout en restant
dans le plan Ox, Oy (voir figure). Un point A de la roue coïncide à l'instant t =
0, avec l'origine O du repère. Le centre C a une vitesse constante v
0
.
1) Déterminer les coordonnées de A à l'instant t, en fonction de ϕ .
2) Calculer le module du vecteur vitesse de A en fonction de ϕ et v
0
, et étudier
ses variations au cours du temps. On sera amené à exprimer ϕ (t).
3) Pour quelles positions de A ce vecteur vitesse est-il nul ?
M 13. Étude d'un mouvement circulaire en coordonnées polaires.
Soit un point M se déplaçant dans le plan xOy, avec une vitesse de module variable, sur un cercle de centre O et de
rayon R, dans le sens rétrograde.
1) Calculer la vitesse et l'accélération de M en coordonnées polaires en fonction de R, θ
ɺ
et θ
ɺ
ɺ
.
2) On introduit le vecteur rotation
z
u
ɺ
θω =. Montrer que l'on a la relation :
OM
ω = ∧ v CE RÉSULTAT EST À CONNAÎTRE
M 14. Étude d'un mouvement circulaire en coordonnées de Frénet.
Reprendre l'énoncé précédent.
1) Exprimer la vitesse et l'accélération de M en coordonnées de Frénet en fonction de R, ω , et sa dérivée par rapport
au temps.
2) Exprimer
T
u et
N
u en fonction de
r
u et
θ
u , puis ω en fonction de θ
ɺ
, pour retrouver les expression précédentes
de la vitesse et de l'accélération de M en coordonnées polaires.
M 15. Ces bonnes vieilles poulies...
On considère un système de deux poulies reliées par une courroie
(figure). La première poulie a un rayon R
1
= 5 cm et tourne à la
vitesse angulaire constante
ω
1
= 180 rad.s
-1
, la seconde a un rayon
R
2
.= 30 cm.
1) Calculer la vitesse angulaire de la seconde poulie.
2) La courroie porte une marque C. Calculer l'accélération du point C au cours du mouvement.
09
15
M

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M 16. Terre dans le référentiel géocentrique.
La Terre tourne uniformément autour de son axe. Le jour sidéral est égal à 8,616.10
4
s.
1) Exprimer la durée d'un jour sidéral en heures et minutes.
2) Calculer la vitesse angulaire de rotation de la Terre.
3) Trouver, en fonction de la latitude ϕ , les modules de la vitesse et de l'accélération d'un point à la surface de la
Terre.
4) Calculer ces grandeurs en un point de l'Equateur (R = 6,35.10
6
m). Pourquoi ne ressent-on pas les effets de cette
grande vitesse ?
M 17. Machine tournante.
Le rotor d'une machine tourne à 1 200 tr.min
-1
. A l'instant t = 0, Il est soumis à une accélération angulaire
ɺ
ɺ
α
0
supposée constante qui provoque son arrêt en 300 tours.
1) Exprimer en fonction du temps la vitesse angulaire
ɺ
α
et l'angle α dont tourne le rotor à partir de l'instant t = 0.
2) Calculer la valeur de
ɺ
ɺ
α
0
et la durée du freinage.
Rép : 30 s, -2400 tr.min
-2
M 18. Tige qui glisse finit par tomber (sagesse populaire).
Une tige rectiligne AB se déplace dans un plan vertical Oxy, son extrémité A reposant sur le sol horizontal Ox et son
extrémité B s'appuyant sur un mur vertical Oy. La tige part à t = 0 d'une position verticale, et on déplace l'extrémité A
sur le sol, à la vitesse constante v
0
.
1) Calculer la vitesse de B à l'instant t, en fonction de v
0
de t et de la longueur l de la tige.
2) Déterminer la trajectoire du point C de la tige tel que BC = b (constante). Dans quel cas cette trajectoire est-elle un
cercle (arc de cercle) ?
M 20. Calcul d'un rayon de courbure.
Un mobile M décrit une hélice circulaire d'axe Oz, définie par les équations, en coordonnées cartésiennes :
x = R.cos θ y = R.sin θ z =
π 2
H
θ = h θ . Le mouvement est défini par la loi θ (t) = ω. t ( ω = constante)
R et h sont deux constantes.
1) Déterminer la vitesse et l'accélération du point M : vecteurs et modules. En déduire l'expression du rayon de
courbure ρ de la trajectoire. Placer
v
et
a
sur un schéma de la trajectoire.
2) Reprendre la même étude en coordonnées cylindriques.
M 23. Oscilloscope et courbes de Lissajoux.
Sur l'écran d'un oscilloscope, les coordonnées d'un électron sont : x = Acos( ω t + ϕ /2) ; y = Acos( ω t - ϕ /2) ; z = 0,
où le paramètre ϕ peut prendre diverses valeurs en fonction des tensions appliquées aux plaques de l'appareil.
1) Déterminer la trajectoire de l'électron. On aura intérêt à utiliser les coordonnées X et Y de l'électron dans le repère
XOY, dont les axes OX et OY sont à 45° respectivement des axes Ox et Oy. On donnera les équations horaires X = f(t),
Y = f(t).
2) Pour quelles valeurs de ϕ la trajectoire est-elle une droite ? un cercle ?
3) Dessiner les diverses trajectoires pour 0 ϕ 2 π .
M 24. Fermat et Descartes sont dans un bateau...
Soit une plage rectiligne. Un individu se repose en A
1
sur le sable, à une distance de la
mer : A
1
H
1
= b
1
. Il peut courir sur la plage à la vitesse v
1
et nager à la vitesse v
2
< v
1
. Il
désire rejoindre le plus rapidement possible une bouée immobile en A
2
. Quel trajet
A
1
IA
2
, défini par α
1
et α
2
, doit-il emprunter ? On posera D = H
1
H
2
.
16
24
M