LOGIQUE

LOGIQUE
I ) Définitions :
Définition 1 : On appelle proposition : un énoncé qui est vrai dans certaines conditions faux dans d'autre mais
dont on peut dire dans une situation donnée s'il est vrai ou faux.
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Exemples : a ) " n est élément de et n est pair "
b ) " Quand il pleut l'herbe est sèche "
Contre exemple : " quel age a tu ? "
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Définition 2 : Un axiome ( ou postulat ) est une proposition considérée comme toujours vraie ou toujours fausse
dans une théorie ( sans preuve )
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Définition 3 : Un théorème est une proposition dont on démontre qu'elle est toujours vraie grâce aux axiomes
et a un raisonnement logique .
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Définition 4 : Un corollaire est un théorème déduit directement d'un théorème plus important,
C'est en général le cas particulier utile du théorème.
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Définition 5 : Un lemme est un théorème qui sert à démontrer un théorème plus important,
II ) Connecteurs :
Deux propositions peuvent être connectées entre elles par un connecteur ( et , ou , ⇒ ) pour donner une
proposition composée, ou être précisée par un quantificateur ( ∀ , ∃ )
Soient P et Q deux propositions
Définition 1 :
La proposition ( P et Q ) est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies , fausse sinon .
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Exemple : " il fait beau " et " il fait chaud "
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Définition 2 :
La proposition ( P ou Q ) est vraie si P est vraie , si Q est vraie ou si P et Q sont toutes les deux vraies ,
fausse sinon .
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Exemple : " il fait beau " ou " il fait chaud "
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Définition 3 :
La proposition ( P ⇒ Q ) qui ce lit ( P implique Q ) ou ( si P alors Q ) est faux si ( P est vraie et Q fausse ) , elle
est vraie dans tous les autres cas .
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Exemple : " il fait beau " ⇒ " il fait chaud "
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ATTENTION :
La proposition ( P ⇒ Q ) peut être vraie sans que l'on puisse affirmer que ni P ni Q ne soient vrai
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1
Définition 4 :
La proposition ( P ⇔ Q ) qui ce lit ( P si et seulement si Q ) est vraie, si P et Q sont vraies et si P et Q sont
fausses, elle est fausse dans les autres cas.
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Définition 5 :
La proposition non ( P ) est vraie, si P est fausse, elle est fausse si P est vraie .
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Soit D un ensemble et P(x) une proposition dépendant de x, un élément de D
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Définition 6 : ( ∀ x∈D ) P(x)
signifie pour tout x élément de D , P(x) est vraie .
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Définition 7 : ( ∃ x∈D ) P(x)
signifie il existe x élément de D tel que P(x) est vraie .
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Définition 8 : ( ∃! x∈D ) P(x)
signifie il existe un unique x élément de D tel que P(x) est vraie .
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ATTENTION :
Dans un Théorème ou une question de DS les quantificateurs sont fondamentaux ,
et vous avez tendance à ne pas en tenir compte
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Exemple : démontrez :
Propriétés :
a ) ∀ x∈ [ 0 , 1 ] , sin (x) ≤ x
b ) ∀ x∈ [ 1 , +∞ [ , sin (x) ≤ x
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P1:
non( non ( P) )
équivaut à P
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P2:
(P ⇔ Q )
équivaut à (( P ⇒ Q )et ( Q ⇒ P ) )
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P3:
(P ⇒ Q )
équivaut à
( non(Q) ⇒ non( P ) )
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P4:
non ( P et Q )
équivaut à ( non ( P ) ou non( Q ) )
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P5:
non ( P ou Q )
équivaut à ( non ( P ) et non( Q ) )
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P6:
non ( P ⇒ Q )
P7:
non (∀x ∈ D P ( x ) )
équivaut à ( P et non( Q ) )
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équivaut à
(∃ x ∈ D
non ( P ( x ) ) )
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P8:
non (∃ x ∈ D P ( x ) )
équivaut à
(∀ x ∈ D
non ( P ( x ) ) )
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REMARQUE FONDAMENTALE : Lorsque l'on doit démontrer qu'une proposition ∀x∈D , P(x) est vraie
le x doit rester sous forme d'inconnue et ne doit pas etre particulariser .
mais lorsque l'on utilise le fait qu'une proposition ∀x∈D , P(x) soit
vraie , on peut utiliser n'importe laquelle des valeurs de x .
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Exemple : démontrez en utilisant ∀ x∈ lR+ , sin (x) ≤ x que π ≥ 3
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(P ⇒ Q )
II ) La démonstration : Pour démontrer
trois possibilités .
ce qui est le travail le plus classique en maths , il existe
1 ) La démonstration directe : Pour démontrer que ( P ⇒ Q ) , on ce concentre sur le fait de démontrer que
Q est vraie , en utilisant , a un moment , le fait que P soit vraie , ( attention on ne démarre pas en
général du fait que P soit vrai )
2 ) La démonstration par contraposée : (Basée sur P3 )
Pour démontrer que ( P ⇒ Q ) , on fait une démonstration directe de
3 ) La démonstration par l'absurde : (Basée sur P6 )
Pour démontrer que ( P ⇒ Q ) , on démontre que la proposition
que c'est une proposition toujours fausse .
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Exemple : On veut démontrer :
1 ) La démonstration directe :
x∈
x∈
( non(Q) ⇒ non( P ) )
( P et non( Q ) ) est absurde cad
⇒ x² ≠ 2
donc ( x est pair ) ou ( x est impaire )
donc ∃ p ∈ tel que ( x = 2p ) ou ( x = 2p+1)
donc ∃ p ∈ tel que ( x² = 4p² ) ou ( x² = 2( 2p²+2p)+1)
donc ( x² est divisible par 4 ) ou ( x² est impaire )
donc x² ≠ 2
2 ) La démonstration par contraposée : On doit donc démontrer que x² = 2 ⇒ x ∉
x² = 2 donc ( x = 2 ) ou ( x = - 2 )
donc ( 1 < x < 2 ) ou ( - 2 < x < -1 )
donc
x∉
3 ) La démonstration par l'absurde : On part donc de
( x ∈ ) et ( x² = 2 ) donc ( x∈
) et ( x² < 4 )
donc ( x∈
) et ( -2 < x < 2 )
donc
x = -1 , 0 ou 1
donc
x² = 0 ou 1 Absurde
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