LOGIQUE

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LOGIQUE
I ) Définitions :
Définition 1 : On appelle proposition : un énoncé qui est vrai dans certaines conditions faux dans d'autre mais
dont on peut dire dans une situation donnée s'il est vrai ou faux.
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Exemples : a ) " n est élément de  et n est pair "
b ) " Quand il pleut l'herbe est sèche "
Contre exemple : " quel age a tu ? "
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Définition 2 : Un axiome ( ou postulat ) est une proposition considérée comme toujours vraie ou toujours fausse
dans une théorie ( sans preuve )
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Définition 3 : Un théorème est une proposition dont on démontre qu'elle est toujours vraie grâce aux axiomes
et a un raisonnement logique .
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Définition 4 : Un corollaire est un théorème déduit directement d'un théorème plus important,
C'est en général le cas particulier utile du théorème.
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Définition 5 : Un lemme est un théorème qui sert à démontrer un théorème plus important,
II ) Connecteurs :
Deux propositions peuvent être connectées entre elles par un connecteur ( et , ou , ⇒ ) pour donner une
proposition composée, ou être précisée par un quantificateur ( ∀ , ∃ )
Soient P et Q deux propositions
Définition 1 :
La proposition
(
)
QetP est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies , fausse sinon .
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Exemple : " il fait beau " et " il fait chaud "
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Définition 2 :
La proposition
(
)
QouP est vraie si P est vraie , si Q est vraie ou si P et Q sont toutes les deux vraies ,
fausse sinon .
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Exemple : " il fait beau " ou " il fait chaud "
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Définition 3 :
La proposition
(
)
QP⇒ qui ce lit ( P implique Q ) ou ( si P alors Q ) est faux si ( P est vraie et Q fausse ) , elle
est vraie dans tous les autres cas .
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Exemple : " il fait beau " ⇒ " il fait chaud "
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ATTENTION :
La proposition
(
)
QP⇒ peut être vraie sans que l'on puisse affirmer que ni P ni Q ne soient vrai
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Définition 4 :
La proposition
(
)
QP ⇔ qui ce lit ( P si et seulement si Q ) est vraie, si P et Q sont vraies et si P et Q sont
fausses, elle est fausse dans les autres cas.
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Définition 5 :
La proposition non ( P ) est vraie, si P est fausse, elle est fausse si P est vraie .
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Soit D un ensemble et P(x) une proposition dépendant de x, un élément de D
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Définition 6 : ( ∀ x∈D ) P(x) signifie pour tout x élément de D , P(x) est vraie .
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Définition 7 : ( ∃ x∈D ) P(x) signifie il existe x élément de D tel que P(x) est vraie .
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Définition 8 : ( ∃! x∈D ) P(x) signifie il existe un unique x élément de D tel que P(x) est vraie .
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ATTENTION : Dans un Théorème ou une question de DS les quantificateurs sont fondamentaux ,
et vous avez tendance à ne pas en tenir compte
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Exemple : démontrez : a ) ∀ x∈ [ 0 , 1 ] , sin (x) ≤ x
b ) ∀ x∈ [ 1 , +∞ [ , sin (x) ≤ x
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Propriétés : P1: non( non ( P) ) équivaut à P
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P2:
(
)
QP ⇔ équivaut à
(
)
(
)
(
)
PQetQP ⇒⇒
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P3:
(
)
QP⇒ équivaut à
(
)
) P non( non(Q) ⇒
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P4: non ( P et Q ) équivaut à
(
)
) Q non(ou ) P (non
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P5: non ( P ou Q ) équivaut à
(
)
) Q non(et ) P (non
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P6: non
(
)
QP⇒ équivaut à
(
)
) Q non(et P
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P7: non
(
)
)x(PDx∈∀ équivaut à
(
)
(
)
)x(PnonDx∈∃
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P8: non
(
)
)x(PDx∈∃ équivaut à
(
)
(
)
)x(PnonDx∈∀
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REMARQUE FONDAMENTALE : Lorsque l'on doit démontrer qu'une proposition ∀x∈D , P(x) est vraie
le x doit rester sous forme d'inconnue et ne doit pas etre particulariser .
mais lorsque l'on utilise le fait qu'une proposition ∀x∈D , P(x) soit
vraie , on peut utiliser n'importe laquelle des valeurs de x .
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Exemple : démontrez en utilisant ∀ x∈ lR
+
, sin (x) ≤ x que π ≥ 3
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II ) La démonstration : Pour démontrer
(
)
QP⇒ ce qui est le travail le plus classique en maths , il existe
trois possibilités .
1 ) La démonstration directe : Pour démontrer que
(
)
QP⇒ , on ce concentre sur le fait de démontrer que
Q est vraie , en utilisant , a un moment , le fait que P soit vraie , ( attention on ne démarre pas en
général du fait que P soit vrai )
2 ) La démonstration par contraposée : (Basée sur P
3
)
Pour démontrer que
(
)
QP⇒ , on fait une démonstration directe de
(
)
) P non( non(Q) ⇒
3 ) La démonstration par l'absurde : (Basée sur P
6
)
Pour démontrer que
(
)
QP⇒ , on démontre que la proposition
(
)
) Q non(et P est absurde cad
que c'est une proposition toujours fausse .
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Exemple : On veut démontrer : x∈  ⇒ x² ≠ 2
1 ) La démonstration directe : x∈ donc ( x est pair ) ou ( x est impaire )
donc ∃ p ∈  tel que ( x = 2p ) ou ( x = 2p+1)
donc ∃ p ∈  tel que ( x² = 4p² ) ou ( x² = 2( 2p²+2p)+1)
donc ( x² est divisible par 4 ) ou ( x² est impaire )
donc x² ≠ 2
2 ) La démonstration par contraposée : On doit donc démontrer que x² = 2 ⇒ x ∉ 
x² = 2 donc ( x = 2 ) ou ( x = - 2 )
donc ( 1 < x < 2 ) ou ( - 2 < x < -1 )
donc x ∉ 
3 ) La démonstration par l'absurde : On part donc de
( x ∈  ) et ( x² = 2 ) donc ( x∈  ) et ( x² < 4 )
donc ( x∈  ) et ( -2 < x < 2 )
donc x = -1 , 0 ou 1
donc x² = 0 ou 1 Absurde