métaplans - ENS Rennes

METAPLANS DES LEÇONS DE
L’AGRÉGATION
ROBET Caroline
et ses copines
Année 2014-2015
Université RENNES 1 et ENS RENNES

Table des matières
101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications .............. 4
102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupe des racines de l’unité.
Applications. ......................................... 5
103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications. . . . 6
104 - Groupes finis. Exemples et applications. ......................... 7
105 - Groupe des permutations sur un ensemble fini. Applications. ............ 8
106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E. Sous-groupes de
GL(E). Applications. .................................... 9
107 - Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel ...... 10
108 - Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications ............. 11
109 - Exemples et représentations de groupes finis de petit cardinal. ............ 12
120 - Anneaux Z/nZ. Applications. .............................. 13
121 - Nombres premiers. Applications. ............................. 14
122 - Anneaux principaux. Exemples et Applications. .................... 15
123 - Corps finis. Applications .................................. 16
124 - Anneau des séries formelles. Applications ........................ 17
125 - Extensions de corps. Exemples et applications. ..................... 18
126 - Exemples d’équations diophantiennes. .......................... 19
127 - Droite projective et birapport. ............................... 20
140 - Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif.
Applications. ......................................... 21
141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et ap-
plications. .......................................... 22
142- Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications. ........... 23
143 - Résultant. Applications. .................................. 24
144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et appli-
cations. ............................................ 25
150 - Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices .............. 26
151 - Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie).
Rang. Exemples et applications. .............................. 27
152 - Déterminant. Exemples et applications. ......................... 28
153 - Polynômes d’endomorphisme en dim finie. Applications à la réduction en dim finie 29
154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes
d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications. ................ 30
155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie ................. 31
156 - Exponentielle de matrices. Applications. ......................... 32
157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents. ........... 33
158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes. .................. 34
159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications. ...... 35
160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie) 36
161 - Isométries d’un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en di-
mension 2 et 3. ........................................ 37
162 - Systèmes d’équations linéaires, opérations élémentaires, aspects algorithmiques
et conséquences théoriques. ................................ 38
1

170 - Forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité,
isotropie. Applications. ................................... 39
171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications. ................ 40
180 - Coniques. Applications ................................... 41
181 - Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications. 42
182 - Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies. ........ 43
183 - Utilisation des groupes en géométrie. .......................... 44
190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement. ................ 45
201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications. ..................... 46
202 - Exemples de parties denses et applications. ....................... 47
203 - Utilisation de la notion de compacité ........................... 48
204 - Connexité. Exemples et applications. ........................... 49
205 - Espaces complets. Exemples et applications. ...................... 50
206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications ................... 51
207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications. ................. 52
208 - Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. ....... 53
209 - Approximation d’une fonction par des polynômes et polynômes trigonométriques. 54
213 - Espace de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications. .......... 55
214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et ap-
plications. .......................................... 56
215 - Applications différentiables sur un ouvert de Rn. Exemples et applications. . . . . 57
217 - Sous-variétés de Rn. Exemples .............................. 58
218 - Applications des formules de Taylor. ........................... 59
219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et Applications. . . . . 60
220 - Equations différentielles X0=f(t,X). Exemples d’étude des solutions en dimen-
sion 1 et 2. .......................................... 61
221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires.
Exemples et applications .................................. 62
222 - Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires ................. 63
223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications . 64
224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions. ....... 65
226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence
un+1=f(un). Exemples et applications. ......................... 66
228- Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et
contre-exemples ....................................... 67
229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications ........ 68
230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes
partielles des séries numériques. Exemples. ....................... 69
232 - Méthodes d’approximation des solutions d’une équation F(X)=0. Exemples . . . . 70
234 - Espaces Lp, 1 ≤p≤+∞................................... 71
235 - Problèmes d’inversion de limites et d’intégrales .................... 72
236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions
d’une ou plusieurs variables réelles. ........................... 73
239 - Fonctions définie par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et ap-
plications. .......................................... 74
240 - Produit de convolution. Transformation de Fourier. Applications .......... 75
241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples. .............. 76
243- Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications. 77
244 - Fonctions développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples. ..... 78
245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications. ....... 79
246 - Séries de Fourier. Exemples et applications. ....................... 80
249 - Suites de variables de Bernoulli indépendantes. .................... 81
253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. .................... 82
2

254 - Espaces de Schwartz S(Rd)et distributions tempérées. Transformation de Fourier
dans S(Rd)et S0(Rd).................................... 83
255 - Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions. ..... 84
260 - Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire ............... 85
261 - Fonction caractéristique et transformée de Laplace d’une variable aléatoire.
Exemples et applications. ................................. 86
262 - Modes de convergence d’une suite de variables aléatoires. Exemples et applications. 87
263 - Variables aléatoires à densités. Exemples et applications. ............... 88
264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications. ................ 89
3

101 - Groupe opérant sur un ensemble. Ex et applis 1 2
I - Définitions et premières propriétés
1) Actions de groupe
,→Ulmer : Def de action à gauche de G sur X, Def de G-ensemble. Rmq action à droite. Notation de l’action GyX. Ex S(X)y
X. Thm/def du morphisme structurel. Rmq H<Get GyX⇒HyX. Def de point fixe, orbite, stabilisateur, action libre,
action transitive, action k-transitive. Ex An(n-2) transitif pour n≥5(Perrin). Prop noyau du morphisme structurel= intersection des
stabilisateurs. Def action fidèle. Rmq libre⇒fidèle. Prop partition de X en orbite pour l’action de G sur X. Ex : décomposition des
permutations en produit de cycles de supports disjoints.
2) Action d’un groupe fini sur un ensemble fini
,→Ulmer : Prop : Bijection entre G/Gxet G.x. Coro : G fini ⇒ | G.x|=|G|/|Gx|. Coro : G fini et X G-ens fini si X=tr
i=1Xipartition
en orbites ss action de G et si xi=Xialors |X|=∑r
i=1|G|/|Gxi|. Thm de Burnside sur le nbre d’orbites. Coro : p premier, G
p-groupe, X G-ens fini ⇒ | XG|≡| X|[p]. Appli : centre d’un p-groupe distinct de {1}non réduit à {1}(Perrin). Thm Cauchy : G
groupe fini avec p| | G|p premier alors ∃un élément d’ordre p dans G.
II - Groupe agissant sur lui-même
1) Action par translation
,→Ulmer : Def de l’action par translation. Thm de Cayley. Appli : thm de Lagrange. Ex GL(2, 2)'S3
2) Action par conjugaison
,→Ulmer : Def de l’action par conjug. Def de l’orbite=classe de conjug pour cette action. Def d’éléments conjugués, du stabilisateur
pour cette action. Rmq : action jamais libre ni transitive pour G6={1}. Rmq : centre= ens des points fixe pour cette action. Appli :
groupe d’ordre p2toujours abélien. Ex : classe de conj de rjdans Dn. Ex : deux permut conjuguées ⇔elles sont de même type. Thm
Ansimple pour n≥5
3) thm de Sylow
,→Ulmer : Def d’un p-Sylow.
,→Perrin : Ex p-Sylow des matrices triang sup avec 1 sur diag dans GLn(Fp). thm de Sylow . Coro : S p−Sylow S/G⇔S unique
p-Sylow. Ex : groupe d’ordre 63 pas simple.
III - Actions de groupe et algèbre linéaire
1) Actions sur les matrices
,→Gourdon : Action d’équivalence ((P,Q),M)→PMQ P,Q ∈GLn(K)M∈Mn(K). Appl : matrices dans même orbite ⇔même rang.
Action de Steinitz Action de conjugaison (P,M)→P−1MP. Def de matrices semblables. Appli : réduction d’endomorphisme.
Action de congruence (P,M)→tPMP. Appli matrices congrues sont même forme quadratique dans 2 bases.
2) Représentations
,→Ulmer : Def de représentation en exhibant le morphisme structurel. Ex de rep triviale, rep par permutation, rep régulière.
IV - Applications des actions de groupe à la géométrie
1) Groupe projectif
,→Ulmer : Def du groupe linéaire projectif PGL(V), du groupe spécial linéaire projectif PSL(V). Action de GL(V) sur P(V). Appli
PSL(2, 2)'S3,PSL(2, 3)'A4,PSL(2, 4)'A5
2) Espace affine
,→Mercier : def d’un espace affine avec action de −→ E×Esur E. Action fidèle et transitive.
,→Alessandri : Ex action de SO2(R)sur S1×S1, orbite de cette action correspond aux angles orientés.
3) Groupe d’isométrie
,→Alessandri : Prop : isométrie du cube opère sur les sommets. Prop Dnagit sur racine n ieme de l’unité.
1.- [PER] : Daniel Perrin, Cours d’algèbre (pour exemples, th de sylow)
- [ULM] : Ulmer, Théorie des groupes (pour une grande majorité)
- [GOU] : Gourdon, Algèbre, 2ème édition (III.1)
- [MER] : Dany-Jack Mercier, Fondamentaux de géométrie pour les concours (IV.2)
- [ALE] : Alessandri, Thèmes de géométrie (pour IV.2, IV.3)
2. Rapport du Jury Dominer deux approches de l’action : naturelle et par morphisme structurel. Des ex différents doivent être
présentés :sur ens fini, sur espace vect (représentations), sur un ens de matrices, sur des polynômes. Bcp d’exemples en géométrie (groupes
d’isométries d’un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de PGL(2,q) sur la droite projective qui donnent des injections
intéressantes pour q=2,3. Généralisation en petit cardinal à des isomorphismes de groupes. Enfin, l’injection du groupe de permutations
dans le groupe linéaire par les matrices de permutations ⇒représentations : calcul caractère.
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