Matrices - ChingAtome

Terminales S - Spécialité/Matrices
1. Addition :
Exercice 6809
Effectuer les additions de matrices suivantes :
a. 1 2
−1 0+2−3 −1−2
b. −4 0 1
1 2 0+1 1 −3 0 1 4
2. Multiplication :
Exercice 3107
Effectuer les produits de matrices suivantes :
a. 2 1 −1
−3 1 0·Ü0 4
1−1
2 1êb. 5 2
−1 2·2−1 −3 1
Exercice 5072
Effectuer les produits de matrices suivantes :
a. −1 1 0
2−1 1·Ü4
1
2êb. Ü−1 2 1
0 2 2
−2 3 1ê·Ü1
−2
1ê
Exercice 5144
On souhaite déterminer l’ensemble des matrices carrées de
dimensions 2vérifiant : A2=I2
Pour cela, on considère la matrice A=a b
c doù a,b,cet
dsont quatre réels quelconques.
1. a. Exprimer la matrice A2en fonction des réels a,b,c
et d.
b. Déterminer un système d’équations vérifié par les réels
a,b,cet d.
2. Pour étudier ce problème, nous allons effectuer une dis-
jonction de cas :
a. Si b=0, exprimer la matrice Aen fonction du réel c.
b. Si b̸=0, exprimer la matrice Aen fonction des réels a
et b.
Exercice 5355
Effectuer les produits suivants de matrices :
a. 2 1
−1 3·4−1 0 2
b. Ü2−1 1
0−2 1
1 0 1ê·Ü2−1 1
1 3 −1
0 1 1ê
3. Système d’équations :
Exercice 5073
Soit aet bdeux nombres réels vérifiant l’égalité ci-dessous :
a. 5 2
−1 3·a b=4 -11b. −1 3 2 1·a b=−2 11
Exercice 5074
Soit a,bet csont trois nombres réels. Pour chaque question,
déterminer la valeur de ces réels afin de vérifier l’égalité :
1. Ü3 1 4
2−1 0
1−1 1ê·Üa
b
cê=Ü5
0
−1ê
2. Ü2−1 1
3 1 −1
1 1 1ê·Üa
b
cê=Ü2
8
2ê
Exercice 5075
Soit a,bet csont trois nombres réels. Pour chaque question,
déterminer la valeur de ces réels afin de vérifier l’égalité :
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a. Ü4−2 1
1 2 3
2−6−5ê·Üa
b
cê=Ü7
7
−7ê
b. Ü−1 3 1
1 0 2
−1 6 4ê·Üa
b
cê=Ü5
7
6ê
4. Commutativité de la multiplication :
Exercice 5076
On considère les deux matrices suivantes :
A=1−2
2−4;B=2 6 1 3
1. Démontrer que : A·B= 0
2. Déterminer la matrice produit B·A.
Exercice 5078
On considère les deux matrices suivantes :
A=2 1
5 3;B=1 6 −1 2
1. Calculer : A+B.
2. a. Calculer : A+B2
b. Calculer : A2+2·A·B+B2
3. Avec le produit matriciel, donner l’expression du déve-
loppement de A+B2.
Exercice 5093
Pour chaque question, montrer que le produit des matrices A
et Best commutatif.
a. A=−4−2
−1 0;B=−3−2 −1 1
b. A=−4−2
2 4;B=−2−1 1 2
c. A=−2−1
1 3;B=−3−1 1 2
d. A=2 2
3 4;B=1 2 3 3
Exercice 5098
Soit Aune matrice carrée d’ordre net la matrice unité In
d’ordre n.
1. Développer les expressions suivantes :
a. 2·A+In·In−Ab. A+ 2·In2
2. Evaluer chacune de ces deux expressions dans le cas où :
n=2 ;A=4−1
2−2
Exercice 5099
Soit Aet Bdeux matrices d’ordre ndont le produit est com-
mutatif.
1. Développer les expressions suivantes :
a. A+ 2·B·B−Ab. 2·A−B2
2. Dans le cas d’ordre 2, évaluer les deux expressions pré-
cédentes avec les deux matrices ci-dessous commutative
entre elles :
A=1−3
−1−1;B=−2 3 1 0
Exercice 6824
On définit les matrices A,Bet Mpar :
A=0;8 0;8
0;2 0;2;B=0;2−0;8 −0;2 0;8;M=0;9 0;4 0;1 0;6
1. Démontrer que : M=A+0;5·B
2. Vérifier que A2=A, et que : A×B=B×A=0 0
0 0
3. Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence
que, pour tout entier naturel nstrictement positif :
An=A
On admet que, pour tout entier naturel nstrictement positif :
Bn=B.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel n:
Mn=A+ 0;5n·B.
5. Puissances de matrices :
Exercice 5100
Pour chacune des matrices ci-dessous, déterminer l’expression
des matrices A2et A3:
a. A=1 3
−1 1b. A=1−1 2 3c. A=−2 1 −3 1
Exercice 5082
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On considère la matrice A=1 1
0 1
Etablir, que pour tout n∈N,ona: An=1n
0 1
Exercice 5083
On considère la matrice A=2 0
1 1
Etablir, que pour tout entier naturel n:An=2n0
2n−1 1
Exercice 5129
On considère les matrices A,Bet Cdéfinies par :
a. A=3−2
4−3b. B=1−1 3−2c. C=−3−1 3 3
Déterminer l’expression de de la puissance n-ième de chacune
de ces matrices pour tout entier naturel nnon-nul.
6. Puissances de matrices et congruence :
Exercice 5145
On considère la matrice Acarrée de dimension 3définie par :
A=Ü1−3−2
−1 1 −4
−1 2 −2ê
1. Etablir que : A3=2·I3.
2. Donner une expression de Anpour tout entier naturel n.
Exercice 5126
On considère la matrice Adéfinie par :
A=Ü1−4−4
−1 1 2
1−2−3ê
Déterminer l’expression de Anpour tout entier naturel nnon-
nul.
Exercice 5128
On considère la matrice Adéfinie par :
A=Ü1−3−2
−3 1 2
3−3−4ê
Déterminer l’expression de Anpour tout entier naturel nnon-
nul.
Exercice 5115
On considère la suite Adéfinie par : A=Ü1 0 1
0 1 0
0 0 2ê
et la suite undéfinie par :
u0= 0 ;un+1 =un+ 2npour tout n∈N
Etablir que pour tout entier naturel nnon-nul, on a l’égalité :
An=Ü1 0 un
0 1 0
0 0 2nê
Indication : on utilisera : An+1 =A·An
Exercice 5127
On considère la matrice Adéfinie par :
A=Ü1−3−2
−1−4−3
2 4 3ê
Déterminer l’expression de Anpour tout entier naturel nnon-
nul.
7. Puissances et raisonnement par récurrence :
Exercice 6870
On considère les matrices Met Rdéfinies par :
M=0;9 0;15
0;1 0;85;R=−5 5
On définit la suite de matrice Xndéfinie par :
X0=1100
1100;Xn+1 =M·Xn+Rpour tout n∈N
A l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour
tout entier naturel n,ona:
Xn=1300 −200×0;75n
900 + 200×0;75n
8. Inverse :
Exercice 5094
On considère les deux matrices Aet Bsuivantes : A=Ü−1 1 3
1−2−5
−1 2 4ê;B=Ü−2−2−1
−1 1 2
0−1−1ê
1. Déterminer les matrices des produits A·Bet B·A.
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2. Que peut-on dire des matrices Aet B?
Exercice 5095
On considère les deux matrices Aet Bsuivantes :
A=Ü1−2−2
−2 1 2
−1 1 1ê;B=Ü−1 0 −2
0−1 2
−1 1 −3ê
1. Déterminer les produits A·Bet B·A.
2. Que peut-on dire des matrices Aet B?
Exercice 5096
On considère les deux matrices Aet Bsuivantes :
A=Ü1−2−2
−2 1 0
−2 2 2ê;B=Ü−2 0 −2
−4 2 −4
2−2 3ê
1. Déterminer les produits A·Bet B·A.
2. En déduire la matrice inverse de la matrice A.
Exercice 5116
On considère la matrice carrée Ad’ordre 3définie par :
A=Ü1−2−2
−1 0 −2
−1−2 0ê
1. Déterminer l’expression de la matrice A2+A.
2. En déduire l’expression de la matrice inverse de A.
Exercice 5117
On considère la matrice carrée Ad’ordre 3définie par :
A=Ü1−2−1
−2 1 1
−2 2 0ê
1. Déterminer l’expression de la matrice A2−3×A.
2. En déduire l’expression de la matrice inverse de A.
Exercice 6825
On donne les matrices :
M=Ü1 1 1
1−1 1
4 2 1ê;I=Ü100
010
001ê
1. Déterminer la matrice M2.
On donne : M3=Ü20 10 11
12 2 9
42 20 21ê
2. Vérifier que : M3=M2+8·M+6·I3
3. En déduire que Mest inversible et que :
M−1=1
6·M2−M−8·I
Exercice 6871
On considère la matrice carrée Ad’ordre 3définie par :
A=Ü1−4−2
−2 3 −1
−4−4 3ê
1. a. Déterminer l’expression de la matrice A2.
b. Déterminer l’expression de A2−2·A.
2. En déduire que la matrice Aest inversible et donner l’ex-
pression de l’inverse de A.
9. Inverses de matrices d’ordre 2 :
Exercice 5097
Déterminer les inverses des matrices suivantes :
a. −3 2
−2 2b. −2−1 −1−1c. 3 4 4 4
d. 1 2
1 3e. 1 0 −4−4f. 2 0 3−4
Exercice 5112
1. Soit nun entier naturel non-nul. On considère Aet B
deux matrices carrées d’ordre ninversible et –un nombre
réel non-nul.
a. Montrer que le produit A·Best une matrice inversible
dont on précisera l’inverse.
b. Montrer que la matrice –·Aest une matrice inversible
dont on précisera l’inverse.
2. On considère les deux matrices Aet Bsuivantes :
A=4 3
1 0;B=3−4 −2 3
Montrer que la relation suivante est fausse :
A+B−1=A−1+B−1
Exercice 6828
Etablir que chacune des matrices ci-dessous sont inversibles
et déterminer l’expression de leurs matrices inverses :
a. 1−1
−3 2b. 2 1 −1−1c. 3−1 −1 0
10. Résolution de systèmes :
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Exercice 5110
1. On considère la matrice Adéfinie par :
A=3−4
1−1
Déterminer l’inverse de la matrice A.
2. On considère le système d’équations suivant :
ß3x−4y= 1
x−y= 1
a. Traduire ce système d’équation par une relation ma-
tricielle.
b. En déduire l’ensemble des solutions de ce système.
Exercice 5111
1. On considère les deux matrices suivants :
A=Ü1−2−2
212
201ê;B=Ü1 2 −2
2 5 −6
−2−4 5ê
Montrer que ces deux matrices sont inverses l’une de
l’autre.
2. Résoudre les systèmes suivants d’équations :
x−2y−2z= 0
2x+y+ 2z=−9
2x+z=−8
;
x+ 2y−2z=−2
2x+ 5y−6z=−7
−2x−4y+ 5z= 8
Exercice 6869
On considère la matrice Adéfinie par : A=1 1
−2 3
1. a. Effectuer le calcul : 4·A−A2
b. En déduire l’expression de la matrice inverse de la ma-
trice A.
c. Donner l’expression de la matrice : B=4
5·I2−1 5·A.
2. On considère les deux matrices Xet Ydéfinies par :
X=x
y;Y=3 1
En utilisant la question 1. , résoudre le système :
®x+y= 3
−2·x+ 3·y= 1
11. Avec un logiciel de calcul formel :
Exercice 5113
On considère la matrice carrée Ad’ordre 3définie par :
A=Ü1−2−2
−1 1 2
0 2 −1ê
1. a. A l’aide d’un logiciel de calcul matriciel, établir que
la matrice Aest inversible et donner l’expression de la
matrice A−1.
b. A la main, vérifier que : A·A−1=I3
2. A l’aide du logiciel de calcul matriciel, résoudre le sys-
tème d’équations suivant :
x−2y−2z= 11
−x+y+ 2z=−9
2y−z=−3
Exercice 5114
Résoudre chacun des systèmes d’équations suivants à l’aide
d’un logiciel de calcul matriciel :
a. 
3x−3y−2z= 0
3x+y+z=−2
−2x+ 3y+ 2y=−1
b. 
2x−3y+z=−8
−3x+ 2y−3z= 3
x−y+z=−1
c. 
−x−3y−2z=−1
−3x−2y+ 2z= 0
3x+ 3y−y=−1
d. 
−2x−3y−2z= 2
−3x−3y+ 2z= 1
x+ 2y+ 3z=−2
12. Matrice diagonalisable :
Exercice 5161
On considère les matrice Aet Pdéfinies par :
A=5 3
−6−4;P=1−1 −1 2
1. Montrer que la matrice Pest une matrice inversible et
donner l’expression de la matrice P−1.
2. a. Etablir l’existence d’une matrice Dvérifiant l’éga-
lité :
A=P·D·P−1
b. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir que
pour tout entier naturel n, on a l’égalité :
An=P·Dn·P−1
c. En déduire, pour tout entier naturel nnon-nul, l’ex-
pression de An.
Exercice 5160
On considère les matrice Aet Pdéfinies par :
A=4 3
−2−1;P=3 1 −2−1
1. Montrer que la matrice Pest une matrice inversible et
donner l’expression de la matrice P−1.
2. a. Etablir l’égalité suivante :
A=P·2 0
0 1·P−1
b. En déduire, pour tout entier naturel nnon-nul, l’ex-
pression de An.
Exercice 5158
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