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ROYAUME DU MAROC
Minist` eredel’´ Education Nationale, de l’Enseignement
Sup´ erieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Pr´ esidence du Concours National Commun 2008
´
Ecole Nationale de l’Industrie Min´ erale
ENIM
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes ´ Ecoles d’Ing´ enieurs ou Assimil´ ees
Session 2008
´
EPREUVE DE MATH ´
EMATIQUES II
Dur´ ee 4 heures
Fili` ere MP
Cette ´ epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit
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Concours National Commun – Session 2008 – MP
L’ ´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats de la fili`ere MP,
comporte 4 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont inform´es que la qualit´edelar´edaction et de la pr´esentation, la clart´eetlapr´ecision des
raisonnements constitueront des ´el´ements importants pour l’appr´eciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec pr´ecision les r´
ef´ erences des questions abord´ees.
Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amen´ e` a prendre.
Sur les classes de similitude de matrices carr´ees d’ordre 2
L’objectif de ce probl` eme est d’´ etudier quelques propri´ et´ es topologiques des classes de simili-
tudes de matrices carr´ ees ` a coefficients r´ eels ou complexes en liaison avec la diagonalisabilit´ e.
Notations et rappels
Dans ce probl` eme, Kd´ esigne le corps des r´ eels ou celui des complexes (K=Rou C)etM2(K)
l’alg` ebre des matrices carr´ ees d’ordre 2` a coefficients dans K; la matrice identit´ e se notera I2.GL2(K)
d´ esigne le groupe des matrices inversibles de M2(K).
Pour toute matrice Ade M2(K),t
Ad´ esigne la matrice transpos´ ee de A,tr (A)sa trace, detAson
d´ eterminant et SpK(A)l’ensemble des valeurs propres de Aappartenant `
aK.
Si A∈M
2(C), on appelle matrice conjugu´
ee de Aet on note A, la matrice de M2(C)dont les
coefficients sont les conjugu´ es de ceux de A; la matrice transpos´ ee de la matrice Ase notera A∗.
On rappelle que deux matrices Aet Bde M2(K)sont dites semblables dans M2(K)s’il existe une
matrice P∈GL2(K)telle que A=PBP−1. Il s’agit d’une relation d’´
equivalence sur M2(K); les
classes d’´ equivalence de cette relation sont dites les classes de similitude de M2(K).
I. R´esultats pr´eliminaires
1. (a) V´ erifier que si A∈M
2(K), la classe de similitude de la matrice Adans M2(K), not´
ee
SK(A), est ´
egale ` a{PAP−1;P∈GL2(K)}.
(b) Donner la classe de similitude d’une matrice scalaire, c’est ` a dire une matrice de la forme
xI2avec x∈K.
2. Pour tout λ∈K, on pose Eλ=1λ
01
et Fλ=10
λ1.
(a) Justifier que, pour tout λ∈K,Eλet Fλsont inversibles et exprimer leur inverses.
(b) Soit A=ab
cd
∈M
2(K); calculer les produits EλAE−1
λet FλAF −1 λo`
uλ∈K.
(c) On suppose que la classe de similitude SK(A)de A∈M
2(K)est r´
eduite ` a un singleton.
Montrer que Aest une matrice scalaire.
3. Pour A=ab
cd
∈M
2(K), on pose AS=|a|2+|b|2+|c|2+|d|21/2.
(a) Montrer que A−→ ASest une norme sur M2(K).
(b) V´ erifier que, pour tout A∈M
2(K),AS=tr (AA∗)et que si U∈M 2(K)est une
matrice v´ erifiant UU∗=I2alors AS=UAU∗S=U∗AUS.
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Epreuve de Math´ ematiques II 1 / 4 Tournez la page S.V.P.
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4. On suppose que la classe de similitude SK(A)de la matrice A∈M
2(K)est born´
ee.
(a) Justifier que les parties {EλAE−1
λ;λ∈K}et {FλAF −1 λ;λ∈K}de M2(K)sont born´
ees.
(b) En d´ eduire que Aest une matrice scalaire.
5. Que peut-on dire d’une matrice B∈M
2(K)dont la classe de similitude est compacte ?
6. Montrer que les applications A−→ tr (A)et A−→ detAsont continues sur M2(K).
7. Montrer que si Aet Bsont deux matrices semblables de M2(K), elles ont le mˆ
eme d´ eterminant,
la mˆ eme trace et le mˆ eme polynˆ ome caract´ eristique.
II. Condition pour qu’une classe de similitude de M2(K)soit ferm´ee
1. Soit A∈M
2(K).
(a) Si SpK(A)={λ, µ}, justifier que Aest semblable dans M2(K)`
a la matrice λ0
0µ.
(b) Si SpK(A)={λ}, montrer que Aest diagonalisable dans M2(K)si et seulement si
A=λI2.
(c) Si SpK(A)={λ}et An’est pas une matrice scalaire, montrer que Aest semblable dans
M2(K)`
a la matrice λ1
0λ.
2. Soit A∈M
2(K).
(a) Si Aest une matrice scalaire, justifier que la classe de similitude SK(A)de Adans M2(K)
est ferm´ ee.
(b) Si SpK(A)={λ}et Anon diagonalisable, on pose Ak=2−k0
01
λ1
0λ2k0
01
,k∈N.
´
Etudier la suite (Ak)k∈Net en d´
eduire que la classe de similitude SK(A)n’est pas ferm´ ee.
(c) Si SpK(A)={λ, µ}, soit PkAP −1
kk∈Nune suite d’´
el´ ements de SK(A)qui converge vers
une matrice B∈M
2(K). Soit α∈{λ, µ}.
i. ´ Etudier la suite Pk(A−αI2)P−1
kk∈Net en d´
eduire que det(B−αI2)=0.
ii. Montrer alors que B∈SK(A)et conclure que SK(A)est ferm´
ee.
3. Montrer que si A∈M
2(C)alors SC(A)est ferm´
ee si et seulement si Aest diagonalisable dans
M2(C).
4. Soit A∈M
2(R)une matrice telle que SpR(A)=∅.
(a) Justifier que 4detA−(tr (A))2>0. Dans la suite, on pose
A=2
δA−tr (A) 2I2et A =1 2tr (A)−δ
δtr (A)avec δ:=4detA−(tr (A))2.
(b) Montrer que A2=−I2.
(c) On note fl’endomorphisme de R2canoniquement associ´
e` aAet on consid` ere un vecteur
non nul ede R2. Montrer que la famille (e, f(e)) est une base de R2et ´
ecrire la matrice A1
de fdans cette base.
(d) Exprimer Aen fonction de A1et en d´
eduire que les matrices Aet A sont semblables
dans M2(R).
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Epreuve de Math´ ematiques II 2 / 4 −→
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(e) Soit PkAP −1
kk∈Nune suite d’´
el´ ements de SR(A)qui converge vers une matrice ˜ A
´
el´ ement de M2(R).
i. Montrer que tr ( ˜ A)=tr(A)et det ˜ A=detA.
ii. Justifier alors que les matrices Aet ˜ Asont semblables dans M2(R).
5. Montrer que si A∈M
2(R)alors SR(A)est ferm´
ee dans M2(R)si et seulement si Aest
diagonalisable dans M2(R)ou bien SpR(A)=∅.
III. Une caract´erisation des matrices diagonalisables de M2(K)
1. Un r´esultat de r´eduction
On muni le K-espace vectoriel K2de son produit scalaire canonique not´
e(.|.); la norme
associ´ ee est not´ ee .. Ainsi (K2,(.|.)) est un espace euclidien si K=Ret hermitien si K=C.
Soit G∈M
2(K); on note gl’endomorphisme de K2canoniquement associ´
e` aG. On suppose
de plus que SpK(G)=∅si K=R.
(a) Justifier que les racines du polynˆ ome caract´ eristique χGde Gsont toutes dans K.
Dans la suite, on d´ esigne par λet µles racines de χG(´
eventuellement confondues) ;
ce sont les valeurs propres de g. On choisi un vecteur propre u
1de g, associ´
e` ala
valeur propre λ, qu’on compl` ete en une base (u
1,u 2)de K2et on note (u1,u
2)la base
orthonorm´ ee de (K2,(.|.)) obtenue en appliquant le proc´
ed´ e de Schmidt ` a(u
1,u 2).
(b) Rappeler les expressions des vecteurs u1et u2en fonction des vecteurs u
1et u 2.
(c) On note Ula matrice de passage de la base canonique (e1,e
2)de K2`
a la base (u1,u
2).
Montrer que UU∗=I2.(on pourra exprimer les coefficients de U`a l’aide du produit scalaire).
(d) On note Tla matrice de gdans la base (u1,u
2). Justifier que Test de la forme λα
0µet
que G=UTU∗. Que vaut GS?
2. Calcul d’une borne inf´erieure
On consid` ere une matrice A∈M
2(K)avec SpK(A)=∅si K=R,etond
´
esigne par λet µles
valeurs propres de A(´ eventuellement confondues).
(a) Justifier que l’ensemble {PAP−1S;P∈GL2(K)}poss`
ede une borne inf´ erieure.
(b) Montrer que, pour toute matrice B∈SK(A),BS|λ|2+|µ|2.
(c) Montrer qu’il existe α∈Ktel que, pour tout r´ eel non nul t, la matrice λtα
0µ∈SK(A).
(d) D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede que inf
B∈SK(A)BS=|λ|2+|µ|2.
(e) Montrer que Aest diagonalisable dans M2(K)si et seulement si la borne inf´
erieure de
l’ensemble {PAP−1S;P∈GL2(K)}est atteinte. (pour montrer que la condition est
suffisante, on pourra utiliser le r´esultat de la question 1.)
3. Application
On consid` ere une matrice A∈M
2(K)avec SpK(A)=∅si K=R,etond
´
esigne par λet µles
valeurs propres de A(´ eventuellement confondues).
On suppose que la classe de similitude SK(A)de Aest ferm´
ee.
(a) Justifier qu’il existe une suite Pkk∈Nd’´
el´ ements de GL2(K)telle que, pour tout entier
naturel k,PkAP −1
kS|λ|2+|µ|2+1
k+1 .
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