Travaux dirigés 4

Universit´e Lille I 2009/10
Alg`ebre et th´eorie des nombres Math308
Fiche n◦4: Th´eor`emes de Sylow
Exercice 1 Soient Gun groupe fini et Hun sous-groupe distingu´e de G. Montrer que si Het
G/H sont des p-groupes, il en est de mˆeme de G.
Exercice 2 Soit Gun p-groupe et Hun sous-groupe distingu´e de G. Montrer que H∩Z(G)
n’est pas r´eduit `a l’´el´ement neutre. En d´eduire que le centre Z(G) d’un p-groupe est non trivial.
Exercice 3 Soit Gun p-groupe d’ordre pr.
(a) Montrer que pour tout entier k6r,Gposs`ede un sous-groupe distingu´e d’ordre pk.
(b) Montrer qu’il existe une suite G0={1} ⊂ G1⊂. . . ⊂Gr=Gde sous-groupes Gidistingu´es
d’ordre pi(i= 1, . . . , r).
(c) Montrer que pour tout sous-groupe Hde Gd’ordre psavec s < r, il existe un sous-groupe
d’ordre ps+1 de Gqui contient H.
Exercice 4 Soit Gun groupe d’ordre 2p, o`u pest un nombre premier sup´erieur ou ´egal `a 3.
Montrer que Gcontient un unique sous-groupe Hd’ordre pet que ce sous-groupe est distingu´e.
V´erifier que les seuls automorphismes d’ordre 2 d’un groupe cyclique d’ordre psont l’identit´e
et le passage `a l’inverse. En d´eduire que le groupe Gest soit cyclique, soit non commutatif,
auquel cas il poss`ede deux g´en´erateurs set tv´erifiant les relations sp= 1, t2= 1 et tst−1=s−1.
Exercice 5 Soit Gun groupe non commutatif d’ordre 8.
(a) Montrer que Gcontient un ´el´ement ad’ordre 4 et que le sous-groupe Hde Gengendr´e par
aest distingu´e dans G.
(b) On suppose ici qu’il existe un ´el´ement bde G\Hqui est d’ordre 2. Soit Kle sous-groupe
engendr´e par b. Montrer que dans ce cas Gest isomorphe au produit semi-direct de Hpar K, le
g´en´erateur bde Kagissant sur Hvia l’automorphisme x→x−1. Le groupe est alors isomorphe
au groupe di´edral D4.
(c) Dans le cas contraire, soit bun ´el´ement d’ordre 4 de Gn’appartenant pas `a H. Montrer
que a2est le seul ´el´ement d’ordre 2 de G, que le centre Z(G) de Gest ´egal `a {1, a2}. On pose
−1 = a2. Montrer que aet bv´erifient les relations suivantes : a2=b2=−1, bab−1=a−1. Enfin
on pose ab =c. V´erifier les relations suivantes :
a2=b2=c2=−1ab =−ba =c bc =−cb =a ca =−ac =b
(l’´ecriture −xsignifiant ici (−1)x). Ce dernier groupe est le groupe des quaternions.
Exercice 6 Montrer que le groupe di´edral D6est isomorphe au produit direct Z/2Z×S3.
Exercice 7 (a) Soit Gun groupe non ab´elien d’ordre 12. Soit Hun 3-Sylow de G. On consid`ere
le morphisme θ:G→SG/H correspondant `a l’action de Gpar translation de Gsur G/H.
Montrer que ce morphisme n’est pas injectif si et seulement si Hest distingu´e dans G. En
d´eduire que si Hn’est pas distingu´e dans G, le groupe Gest isomorphe `a A4.
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(b) On suppose que Gn’est pas isomorphe `a A4. Montrer qu’alors Gadmet un unique 3-Sylow
H={1, a, a2}. Montrer ensuite que si Gcontient un ´el´ement bd’ordre 4, aet bv´erifient les
relations :
a3=b4= 1 bab−1=a2=a−1
Montrer que dans le cas contraire G'D6.
(c) Donner la liste des classes d’isomorphisme de groupes d’ordre 12.
Exercice 8 Soient Gun groupe et Hun sous-groupe distingu´e de G. On se donne un nombre
premier pet l’on suppose que Hadmet un unique p-Sylow S. Montrer que Sest distingu´e dans
G.
Exercice 9 Soient Gun groupe et Hun sous-groupe distingu´e de G. On se donne un nombre
premier pet un p-Sylow Pde G. Montrer que H∩Pest un p-Sylow de Het que HP/H est
un p-Sylow de G/H.
Exercice 10 Montrer qu’un groupe d’ordre 200 n’est pas simple.
Exercice 11 Pour pun nombre premier, d´eterminer le nombre de p-sous-groupes de Sylow du
groupe sym´etrique Sp.
Exercice 12 (a) Donner l’ensemble Ddes ordres possibles des ´el´ements du groupe altern´e A5
et pour chaque d∈ D, indiquer le nombre d’´el´ements de A5d’ordre d.
(b) Montrer que, pour d= 2 et d= 3, les ´el´ements d’ordre dsont conjugu´es, et que les
sous-groupes d’ordre 5 sont conjugu´es.
(c) D´eduire une preuve de la simplicit´e de A5.
Exercice 13 D´eterminer les sous-groupes de Sylow du groupe altern´e A5.
Exercice 14 Soit Gun groupe simple d’ordre 60.
(a) Montrer que Gadmet 6 5-Sylow, et que l’action de conjugaison sur ses 5-Sylow d´efinit un
morphisme injectif α:G→S6, une fois une num´erotation des 5-Sylow de Gchoisie. Montrer
que l’image α(G) = Hest contenue dans A6.
(b) On consid`ere l’action de A6par translation `a gauche sur l’ensemble A6/.H des classes `a
gauche. Montrer qu’elle d´efinit un isomorphisme ϕ:A6→A6, une fois une num´erotation des
´el´ements de A6/.H choisie.
(c) Montrer que ϕ(H) est le fixateur de la classe de l’´el´ement neutre H, et en conclure que
G'A5.
Exercice 15 Soient p<qdeux nombres premiers distincts et Gun groupe d’ordre pq. Montrer
que Gadmet un unique q-Sylow Qqui est distingu´e et que G=QP , o`u Pest un p-Sylow de
G. Montrer que Gest isomorphe au produit semi-direct d’un groupe cyclique d’ordre qpar un
groupe cyclique d’ordre p. Montrer que si q−1 n’est pas divisible par p, ce produit semi-direct
est en fait un produit direct.
Exercice 16 Montrer qu’un groupe d’ordre 35 est cyclique.
Exercice 17 Soient pet qdeux nombres premiers et Gun groupe d’ordre p2q. On suppose
que p2−1 n’est pas divisible par qet que q−1 n’est pas divisible par p. Montrer que Gest
ab´elien.
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Exercice 18 Soient pet qdeux nombres premiers. Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple
d’ordre p2q.
Exercice 19 Soit Gun groupe d’ordre 399.
(a) Montrer que Gadmet un unique 19-Sylow Pqui est distingu´e dans G.
(b) Soit Qun 7-Sylow. Montrer que N=P Q est un sous-groupe d’ordre 133 de Get que ce
groupe est cyclique.
(c) On suppose que Qn’est pas distingu´e dans G. Montrer que Gadmet 57 sous-groupes
cycliques d’ordre 133 distincts deux `a deux. Quel serait le nombre d’´el´ements d’ordre 133 dans
G? Aboutir `a une contradiction. En d´eduire que Qest distingu´e dans Get que Nest distingu´e
dans G.
(d) Montrer que G=NR, o`u Rest un 3-Sylow. En d´eduire que Gest isomorphe au produit
semi-direct d’un groupe cyclique d’ordre 133 par un groupe cyclique d’ordre 3.
Exercice 20 Soit Gun groupe simple d’ordre 60.
(a) Montrer que Gn’admet pas de sous-groupe d’ordre 20.
(b) Montrer que si Gadmet un sous-groupe Kd’ordre 12, alors Kadmet 4 3-Sylow.
(c) Montrer que si Het Ksont deux sous-groupes distinct d’ordre 4 de Galors H∩K={1}.
(d) Montrer que si Hest un 2-Sylow, alors H6= NorG(H).
(e) Montrer que Gposs`ede 5 2-Sylow.
(f) Conclure en consid´erant l’action de Gpar conjugaison sur les 5-Sylow.
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Alg`ebre et th´eorie des nombres Math308
Fiche n◦4: Th´eor`emes de Sylow
Indication 1 |G|=|G/H| |H|.
Indication 3 Pour les trois ´enonc´es (a), (b) et (c), raisonner par r´ecurrence sur ren utilisant
le fait que le centre d’un p-groupe n’est pas trivial.
Indication 6 On a
D6=Z/6Z×
|Z/2Z'(Z/2Z×Z/3Z)× |Z/2Z'Z/2Z×(Z/3Z× |Z/2Z)'Z/2Z×S3
Le premier isomorphisme est une application standard du lemme chinois. Pour le deuxi`eme, no-
ter que le premier Z/2Zest dans le centre du groupe et donc que l’action sur lui par conjugaison
du second Z/2Zest triviale. L’isomorphisme Z/3Z×
|Z/2Z'S3est classique.
Indication 8 Pour tout g∈G,gSg−1est un p-Sylow de gHg−1=Het donc gSg−1=S.
Indication 12 Pour le (c), pour H6={1}sous-groupe distingu´e de A5, raisonner sur les
´el´ements d’ordre 2, 3 et 5 contenus dans H.
Indication 13 L’identification de chacun des p-Sylow ne pose pas de difficult´e. Observer en-
suite que les sous-groupes de Sylow sont deux `a deux d’intersection r´eduite `a {1}et determiner
leur nombre en comptant les ´el´ements d’ordre 2, 3 et 5.
Indication 15 les th´eor`emes de Sylow montrent qu’il n’y a qu’un seul q-Sylow, n´ecessairement
distingu´e. La suite est standard. Pour le dernier point, utiliser que Aut(Z/qZ)'(Z/qZ)×(fiche
2 exercice 19) et donc que Z/pZne peut agir non trivialement sur Z/qZque si pdivise q−1.
Indication 16 D’apr`es l’exercice 15, un groupe d’ordre 35 est isomorphe `a Z/5Z×Z/7Z,
lequel est isomorphe au groupe cyclique Z/35Zpar le lemme chinois.
Indication 18 Soit Gun groupe d’ordre p2qqu’on suppose simple. On distinguera deux cas :
p > q et p < q. Dans le premier, montrer que Gadmet q p-Sylow d’ordre p2et que l’action
par conjugaison de Gsur les p-Sylow d´efinit un morphisme injectif G →Sqet aboutir `a
une contradiction. Dans le second, raisonner sur le nombre de q-Sylow pour aboutir `a une
contradiction (on sera notamment amen´e `a ´eliminer le cas p= 2 et q= 3).
Indication 20 (a) Si Kest un sous-groupe d’ordre 20, Ka un seul 5-Sylow Let donc K⊂
NorG(L) ce qui entraine que l’ordre de NorG(L) est 20 ou 60. Mais alors il y aurait 1 ou 3
5-Sylow dans G. Or 1 est impossible car Gest simple et 3 contredit les pr´edictions du th´eor`eme
de Sylow.
(b) Si Ka un unique 3-Sylow L,K⊂NorG(L), et donc l’ordre de NorG(L) serait 12 ou 60. Il
y aurait alors 5 ou 1 3-Sylow dans G. Comme ci-dessus, c’est impossible.
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(c) Supposons que H∩K=< a > soit d’ordre 2. Le centralisateur CenG(a) de acontient Het
K, donc H∪K. Son ordre est au moins 6 et est divisible par 4. Les seules possibilit´es sont 12,
20, 60 :
- 60 est impossible, car < a > serait distingu´e dans G
- 20 est impossible, d’apr`es la question (a)
- 12 est impossible, car CenG(a) aurait 4 3-Sylow d’apr`es la question (b). Il ne resterait de la
place que pour un seul 2-Sylow ce qui contredit H∪K⊂CenG(a).
(d) Si H= NorG(H), il y a 15 2-Sylow, et donc 46 ´el´ements d’ordre une puissance de 2. Or il
y a 6 5-Sylow d’intersections deux `a deux triviales, et donc 24 ´el´ements d’ordre 5. L’in´egalit´e
46 + 24 >60 fournit une contradiction.
(e) Si Hest un 2-Sylow, l’ordre de NorG(H) est 12, 20 ou 60. Mais 20 est exclu (question (a))
de mˆeme que 60 (Gest simple). La seule possibilit´e est 12 ; il y a donc 5 2-Sylow.
(f) L’action de Gpar conjugaison sur les 5-Sylow fournit un morphisme c:G→S5qui est
injectif (car Gest simple). Le groupe Gest donc isomorphe `a son image c(G) qui est un
sous-groupe d’ordre 60, donc d’indice 2 dans S5. C’est donc A5.
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